湘教版（2024）數(shù)學8年級上冊第2章

分式2.1.1分式的概念1.了解分式的概念；2.理解分式有意義的條件及分式值為零的條件；（重點）3.能熟練地求出分式有意義的條件及分式的值為零的條件．（難點）2.1.1分式的概念一、分式的定義$\frac{A}{B}$（$A$、$B$為整式，$B$含字母）-整式：分母不含字母（如$\frac{x}{3}$、$2x+1$）-分式：分母含字母（如$\frac{3}{x}$、$\frac{x+1}{x-2}$）二、三個關(guān)鍵條件1.有意義：分母$B≠0$2.無意義：分母$B=0$3.值為0：$\begin{cases}分子A=0\\分母B≠0\end{cases}$（缺一不可）#2.1.1分式的概念（七年級數(shù)學課件+教案）##一、幻燈片分頁內(nèi)容（可直接復制制作PPT）###第1頁：標題頁-標題：2.1.1分式的概念-副標題：——從分數(shù)到分式的跨越-作者：XXX（教師姓名）-班級：七年級（X）班-日期：XXXX年XX月XX日###第2頁：學習目標1.理解分式的定義，能準確區(qū)分整式與分式2.掌握分式有意義、無意義及值為0的條件3.能根據(jù)條件求分式中字母的取值范圍，提升代數(shù)推理能力4.體會類比思想（分數(shù)→分式）在數(shù)學學習中的應(yīng)用###第3頁：復習回顧1.什么是整式？請舉例說明（單項式和多項式統(tǒng)稱為整式，如：$3x$、$2a+b$、$-5$）2.分數(shù)的結(jié)構(gòu)：$\frac{a}$（$a$、$b$為整數(shù)，且$b≠0$），思考：若$a$、$b$為整式，且分母含有字母，這樣的式子是什么？3.計算：$\frac{10}{3}$表示把10平均分成3份，若把10kg蘋果平均分給$x$個同學，每人分得多少kg？（引出$\frac{10}{x}$）###第4頁：情境導入1.問題1：某長方形草坪的面積為$20m^2$，長為$3m$，則寬為______$m$；若長為$am$，則寬為______$m$（答案：$\frac{20}{3}$，$\frac{20}{a}$）2.問題2：一輛汽車行駛了$s$km，用時$t$小時，則它的速度為______km/h；若速度為$v$km/h，行駛$s$km需要______小時（答案：$\frac{s}{t}$，$\frac{s}{v}$）3.問題3：有兩塊稻田，第一塊產(chǎn)稻谷$m$kg，面積為$n$畝，第二塊產(chǎn)稻谷$p$kg，面積為$q$畝，則兩塊稻田的平均畝產(chǎn)量為______kg/畝（答案：$\frac{m+p}{n+q}$）4.觀察：上述式子$\frac{20}{a}$、$\frac{s}{t}$、$\frac{s}{v}$、$\frac{m+p}{n+q}$與分數(shù)$\frac{20}{3}$有什么異同？（引出分式概念）###第5頁：核心概念——分式的定義1.定義：一般地，如果$A$、$B$表示兩個整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式（fraction）2.各部分名稱：-$A$叫做分式的分子（numerator）-$B$叫做分式的分母（denominator）3.關(guān)鍵詞：$A$、$B$是整式、分母$B$含字母（缺一不可）4.辨析：分式與整式的區(qū)別-整式：分母中不含字母（如：$3x$、$\frac{5}{2}a-b$、$-7$）-分式：分母中含有字母（如：$\frac{1}{x}$、$\frac{a}{b+2}$、$\frac{x^2-1}{x+1}$）###第6頁：即時練習——判斷整式與分式1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？-（1）$\frac{3}{x}$（2）$\frac{x}{3}$（3）$\frac{1}{x+y}$（4）$\frac{x+y}{5}$（5）$\frac{2a-3b}{7}$（6）$\frac{5}{x^2-1}$2.答案：-整式：（2）、（4）、（5）（分母不含字母）-分式：（1）、（3）、（6）（分母含字母）3.易錯提醒：$\frac{x}{3}$是整式（單項式），不是分式；$\frac{3}{x}$是分式（分母含字母$x$）###第7頁：分式有意義、無意義的條件（重點）1.類比分數(shù)：分數(shù)$\frac{2}{0}$無意義，因為分母不能為02.分式有意義的條件：分母$B≠0$（分子$A$可以為任意整式）3.分式無意義的條件：分母$B=0$（與分子無關(guān)）4.例題1：當$x$取什么值時，分式$\frac{x+2}{3x-1}$有意義？無意義？-解：要使分式有意義，分母不為0→$3x-1≠0$→$x≠\frac{1}{3}$-要使分式無意義，分母為0→$3x-1=0$→$x=\frac{1}{3}$-答：當$x≠\frac{1}{3}$時，分式有意義；當$x=\frac{1}{3}$時，分式無意義###第8頁：分式值為0的條件（難點）1.思考：分式$\frac{A}{B}$的值為0，需要滿足什么條件？-類比：分數(shù)$\frac{0}{5}=0$，$\frac{5}{0}$無意義，$\frac{2}{3}≠0$→

分子為0且分母不為02.分式值為0的條件：$\begin{cases}分子A=0\\分母B≠0\end{cases}$（兩者同時滿足，缺一不可）3.例題2：當$x$取什么值時，分式$\frac{x^2-4}{x+2}$的值為0？-解：要使分式值為0，需同時滿足：

（1）分子為0：$x^2-4=0$→$x=2$或$x=-2$

（2）分母不為0：$x+2≠0$→$x≠-2$-綜上：$x=2$-答：當$x=2$時，分式的值為0###第9頁：綜合例題講解例3：當$x$取什么值時，分式$\frac{2x-6}{x^2-5x+6}$（1）有意義？（2）無意義？（3）值為0？-解：先對分母因式分解：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$-（1）有意義：分母≠0→$(x-2)(x-3)≠0$→$x≠2$且$x≠3$-（2）無意義：分母=0→$(x-2)(x-3)=0$→$x=2$或$x=3$-（3）值為0：$\begin{cases}分子=0→2x-6=0→x=3\\分母≠0→x≠2且x≠3\end{cases}$

→

沒有滿足條件的$x$，故分式的值不可能為0-答：（1）$x≠2$且$x≠3$；（2）$x=2$或$x=3$；（3）不存在這樣的$x$###第10頁：易錯點警示1.混淆整式與分式：認為$\frac{x}{5}$是分式（錯誤，分母不含字母，是整式）2.分式有意義條件遺漏：如$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+2}$，只考慮$x-1≠0$，忽略$x+2≠0$（需所有分母均不為0）3.分式值為0忽略分母不為0：如$\frac{x-3}{x+1}$，只看分子$x-3=0$得$x=3$，未檢驗分母（雖$x=3$時分母≠0，但需養(yǎng)成檢驗習慣）4.分母因式分解不徹底：如例3中分母未分解，導致判斷$x$的取值錯誤###第11頁：課堂練習（分層）####基礎(chǔ)題（必做）1.下列式子中，屬于分式的是（

）A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{x}{4}$C.$\frac{1}{x-1}$D.$\frac{2x+3}{5}$（答案：C）2.當$x$______時，分式$\frac{5}{2x-3}$有意義；當$x$______時，分式無意義（答案：$≠\frac{3}{2}$；$=\frac{3}{2}$）3.當$x$______時，分式$\frac{x^2-1}{x-1}$的值為0（答案：$=-1$）####提升題（選做）1.當$x$取整數(shù)時，分式$\frac{2x+1}{x-1}$的值為整數(shù)，求$x$的取值（答案：$x=0$、$2$、$-2$、$3$）2.已知分式$\frac{ax+b}{cx+d}$（$a$、$b$、$c$、$d$為常數(shù)，$c≠0$），當$x=1$時無意義，當$x=2$時值為0，當$x=0$時值為$-2$，求這個分式（答案：$\frac{2x-4}{x-1}$）###第12頁：課堂小結(jié)1.核心概念：分式的定義（$A$、$B$為整式，$B$含字母）2.三個關(guān)鍵條件：-有意義：分母$B≠0$-無意義：分母$B=0$-值為0：分子$A=0$且分母$B≠0$3.數(shù)學思想：類比思想（分數(shù)→分式）、分類討論思想（字母取值范圍）###第13頁：布置作業(yè)1.基礎(chǔ)題：課本習題2.1第1、2、3題2.提升題：-（1）當$x$為何值時，分式$\frac{x-2}{x^2-4x+4}$有意義？值為0？（答案：$x≠2$；無值為0的情況）-（2）已知分式$\frac{2-|x|}{x+2}$的值為0，求$x$的值（答案：$x=2$）3.思考題：當$x$取什么值時，分式$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$有意義？（提示：多層分母均不為0，答案：$x≠0$且$x≠-1$）###第14頁：結(jié)束頁-感謝觀看！-疑問解答：XXX（教師聯(lián)系方式）##二、配套教案（詳細教學過程）###課題：2.1.1分式的概念###教學目標：1.知識與技能：理解分式的定義，能區(qū)分整式與分式；掌握分式有意義、無意義及值為0的條件；能熟練求分式中字母的取值范圍2.過程與方法：通過類比分數(shù)的概念和性質(zhì)，探究分式的相關(guān)知識，培養(yǎng)學生的類比推理能力和抽象概括能力；通過例題和練習，提升學生的代數(shù)運算和邏輯推理能力3.情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學知識的連貫性和類比思想的實用性，激發(fā)學生的學習興趣；培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣和主動探究的意識###教學重難點：-重點：分式的定義，分式有意義、無意義的條件-難點：分式值為0的條件（分子為0且分母不為0），多層分母分式有意義的條件###教學準備：-多媒體課件（上述幻燈片內(nèi)容）-課堂練習單（打印分層練習題）-預習任務(wù)單（提前讓學生復習整式和分數(shù)的相關(guān)知識）###教學過程：####一、復習導入（5分鐘）1.回顧舊知：-提問1：同學們，我們之前學過整式，誰能說說什么是整式？請舉幾個例子（學生口答，教師板書：整式包括單項式和多項式，如$3x$、$2a+b$、$-5$）-提問2：我們還學過分數(shù)，比如$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{7}$，分數(shù)的分母可以為0嗎？（學生回答：不能，分母為0時分數(shù)無意義）2.情境引入：-教師：出示課件第4頁的實際問題，讓學生列式表示結(jié)果（學生口答，教師板書式子：$\frac{20}{a}$、$\frac{s}{t}$、$\frac{m+p}{n+q}$）-追問：這些式子和我們學過的分數(shù)有什么相同點和不同點？（相同點：都有分子和分母，都是除法形式；不同點：這些式子的分母中含有字母）-引出課題：像這樣分母中含有字母的式子，就是我們今天要學習的新內(nèi)容——分式（板書課題：2.1.1分式的概念）####二、探究新知（20分鐘）###（一）分式的定義與辨析（7分鐘）1.給出定義：-教師：出示課件第5頁，板書分式的定義：一般地，如果$A$、$B$表示兩個整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。強調(diào)定義中的兩個關(guān)鍵條件：$A$、$B$是整式；分母$B$含有字母。2.各部分名稱：-指出分式中$A$是分子，$B$是分母，舉例說明（如分式$\frac{x+1}{x-2}$中，分子是$x+1$，分母是$x-2$）3.整式與分式的辨析：-出示課件第6頁的即時練習，讓學生分組討論判斷哪些是整式，哪些是分式-指名回答，教師點評：重點強調(diào)$\frac{x}{3}$是整式（分母不含字母），$\frac{3}{x}$是分式（分母含字母），糾正學生的易錯認知###（二）分式有意義、無意義的條件（6分鐘）1.類比遷移：-教師：分數(shù)的分母不能為0，否則無意義，那么分式呢？（引導學生類比分數(shù)，得出分式的分母也不能為0）-總結(jié)：分式有意義的條件是分母$B≠0$；分式無意義的條件是分母$B=0$（與分子無關(guān)）2.例題講解：-出示例題1（$\frac{x+2}{3x-1}$），教師板書完整解題過程，強調(diào)“列不等式→解不等式→得出結(jié)論”的步驟-讓學生模仿練習：當$x$取什么值時，分式$\frac{4}{x^2-9}$有意義？（指名板演，教師糾錯，強調(diào)分母是多項式時，需先判斷分母不為0的條件）###（三）分式值為0的條件（7分鐘）1.探究規(guī)律：-提問：分式的值為0，是不是只要分子為0就可以了？比如分式$\frac{0}{x-1}$，當$x=1$時，分子為0，但分母也為0，分式無意義，所以值不能為0（引導學生發(fā)現(xiàn)需同時滿足分子為0和分母不為0）-總結(jié)：分式值為0的條件是$\begin{cases}分子A=0\\分母B≠0\end{cases}$（兩者缺一不可）2.例題講解：-出示例題2（$\frac{x^2-4}{x+2}$），教師板書解題過程，強調(diào)“先求分子為0的解→再排除分母為0的解→得出最終答案”的邏輯-出示綜合例題3，引導學生先對分母因式分解，再分別判斷有意義、無意義、值為0的條件，突破“分母為多項式”和“值為0時無解”的難點####三、鞏固練習（12分鐘）1.基礎(chǔ)題練習（8分鐘）：-出示課堂練習單上的基礎(chǔ)題，讓學生獨立完成，教師巡視，重點關(guān)注學困生對“分式值為0”條件的掌握情況-集體訂正：針對第3題（$\frac{x^2-1}{x-1}$），強調(diào)分子為0時$x=1$或$x=-1$，但$x=1$時分母為0，故只能取$x=-1$，強化“分子為0且分母不為0”的核心條件2.提升題練習（4分鐘）：-讓學有余力的學生嘗試完成提升題，鼓勵小組合作討論-指名分享解題思路（如第1題需將分式變形為$\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$，再分析整數(shù)解），教師補充講解，拓展學生思維####四、課堂小結(jié)（2分鐘）1.學生自主總結(jié)：-提問：今天我們學習了分式的哪些知識？分式有意義、無意義、值為0的條件分別是什么？（讓學生自由發(fā)言）2.教師梳理升華：-核心內(nèi)容：分式的定義、三個關(guān)鍵條件（有意義、無意義、值為0）-解題技巧：判斷字母取值范圍時，先看分母（有意義/無意義），再看分子（值為0）；分母為多項式時，需保證所有因式均不為0-數(shù)學思想：類比思想（分數(shù)→分式）、分類討論思想（字母不同取值情況）####五、布置作業(yè)（1分鐘）1.基礎(chǔ)題：課本習題2.1第1、2、3題（鞏固分式的基本概念和條件判斷）2.提升題：分解因式相關(guān)題目（強化分母因式分解能力）和分式值為0的綜合題（提升邏輯推理能力）3.思考題：多層分母分式有意義的條件（為后續(xù)復雜分式學習做鋪墊）###板書設(shè)計：```2.1.1分式的概念一、分式的定義$\frac{A}{B}$（$A$、$B$為整式，$B$含字母）-整式：分母不含字母（如$\frac{x}{3}$、$2x+1$）-分式：分母含字母（如$\frac{3}{x}$、$\frac{x+1}{x-2}$）二、三個關(guān)鍵條件1.有意義：分母$B≠0$2.無意義：分母$B=0$3.值為0：$\begin{cases}分子A=0\\分母B≠0\end{cases}$（缺一不可）三、例題例1：$\frac{x+2}{3x-1}$有意義→$3x-1≠0$→$x≠\frac{1}{3}$例2：$\frac{x^2-4}{x+2}$值為0→$\begin{cases}x^2-4=0→x=±2\\x+2≠0→x≠-2\end{cases}$→$x=2$四、易錯點1.混淆整式與分式2.分式值為0忽略分母不為03.分母為多項式時未全面考慮不為0的條件```三、例題例1：$\frac{x+2}{3x-1}$有意義→$3x-1≠0$→$x≠\frac{1}{3}$例2：$\frac{x^2-4}{x+2}$值為0→$\begin{cases}x^2-4=0→x=±2\\x+2≠0→x≠-2\end{cases}$→$x=2$四、易錯點1.混淆整式與分式2.分式值為0忽略分母不為03.分母為多項式時未全面考慮不為0的條件問題1：已知6=3×2，那從這個式子能得到什么除法運算結(jié)果？問題2(類比數(shù)的整除)：已知

x2－1＝(x＋1)(x－1)，那

x2－1除以

x＋1的結(jié)果應(yīng)該是多少呢？(x2－1)÷(x＋1)＝x－1.6÷3＝2.問題3：已知

8=3×2＋2，顯然

8

不能被

3

整除，那我們怎么表示

8

除以

3

的結(jié)果呢？分式的概念1

問題4(類比數(shù)不能整除的表示)：已知

x2＋1＝(x＋1)(x－1)＋2，那

x2＋1能被

x＋1整除嗎？不能整除的話，該怎么表示這個結(jié)果呢？

分式的定義設(shè)

f和

g都是多項式，其中

g不為0.我們把

f除以

g的結(jié)果記作

，稱

是分式，其中

f稱為分子，g稱為分母.知識要點思考：（1）分式與分數(shù)有何聯(lián)系？②分數(shù)是分式中的字母取某些值的結(jié)果，更具一般性.整數(shù)整數(shù)整式整式(分母含有字母）分數(shù)分式類比思想特殊到一般的思想①7100a

+

1

100

(是一個數(shù)）判一判：下面的式子哪些是分式？分式:歸納：1.判斷時，注意含有

π的式子中

π是常數(shù).2.式子中含有多項時，若其中至少一項分母含有字母，其他項為整式，則該式也為分式，如：.問題3：

已知分式.(1)當x=3

時，分式的值是多少?(2)當

x=-2時，分式的值能算出來嗎?不能，當

x=-2時，分式分母為0，沒有意義.

當

x_____時，分式有意義.(3)當

x為何值時，分式有意義？一般到特殊的思想類比思想≠-2當x=3時，分式值為分式有意義的條件2對于分式

：當_______時分式有意義；當_______時無意義.g≠0g=0分式有意義的條件知識要點例1

已知分式有意義，則

x應(yīng)滿足的條件是(

)A．x≠1B．x≠2C．x≠1且

x≠2D．以上結(jié)果都不對方法總結(jié)：分式有意義的條件是分母不為零.如果分母是幾個因式乘積的形式，那么每個因式都不為零.C（4）當

時，分式有意義；（2）當

x

時，分式

有意義；（1）當

x

時，分式有意義；x≠y（3）當

b

時，分式有意義；（5）當

x

時，分式有意義.做一做：為任意實數(shù)≠0≠1想一想：分式的值為零應(yīng)滿足什么條件？當

f=0而g≠0

時，分式的值為零.注意：分式值為零是分式有意義的一種特殊情況.分式值為零的條件及求分式的值3解：當分子等于零而分母不等于零時，分式的值為零.的值為零.所以

當

x=1

時分式所以

x≠-1.而

x+1≠0，所以

x=±1.則

x2

-1=0，例2

當

x為何值時，分式的值為零?解：(1)由題意可得，若分母2x-

3的值為0，

則分式的值不存在，解方程

2x-

3=0，得

，

例3已知分式：（1）當

x

取哪個數(shù)時，

的值不存在？（2）當

x

取哪個數(shù)時，

的值等于

0

？

（2）當

x

取哪個數(shù)時，

的值等于

0

？(2)由題意可得，若分子

x－2的值為0，則分式的值為0，解方程

x－2＝0，得

x＝2.又因為此時分母2x－3的值為2×2－3＝1≠0，

議一議(1)當

x

取哪個數(shù)時，分式

的值不存在？(2)分式

的值可能等于0嗎？為什么？解：(1)由題意可得，若分母

x+1

的值為0，則分式的值不存在，解方程

x+1=0，得

x=-1.

因此當

x

取

-1時，

的值不存在.(2)不可能，因為由題意可得，若分子

x2+1的值為0，則分式的值為0