第二節(jié)簡諧運(yùn)動(dòng)的描述學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)思

維

導(dǎo)

圖1.知道簡諧運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，知道數(shù)學(xué)表達(dá)式中各物理量的意義．2.知道簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像是正弦或余弦曲線．01.知識點(diǎn)一03.隨堂自主檢測04.課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)11內(nèi)容索引02.知識點(diǎn)二01.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)描述【情境導(dǎo)學(xué)】(1)如圖是彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)的x-t圖像，它是一條正弦曲線．請根據(jù)數(shù)學(xué)知識用圖中符號寫出此圖像的函數(shù)表達(dá)式，并說明各量的物理意義．

提示：它們的振幅分別為3a和9a，比值為1∶3，頻率分別為2b和4b.【知識梳理】1．振動(dòng)曲線：

物體做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)________與時(shí)間關(guān)系的曲線叫振動(dòng)曲線，簡稱x-t圖線．2．描述簡諧運(yùn)動(dòng)位移—時(shí)間圖像的函數(shù)表達(dá)式為x＝___________．(1)A是簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅，ω為簡諧運(yùn)動(dòng)的角頻率．(2)ω與周期T或者頻率f的關(guān)系為ω＝________＝________．狀元隨筆簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式既可以用正弦函數(shù)表示，又可以用余弦函數(shù)表示，只是對應(yīng)的初相位不同．位移Acos(ωt＋φ)

2πf

(3)相位①φ表示t＝0時(shí)，簡諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所處的狀態(tài)，稱為初相位或初相．②(ωt＋φ)代表了做簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻，處在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中的哪個(gè)狀態(tài)，所以代表簡諧運(yùn)動(dòng)的相位．相位每增加2π就意味著完成了一次全振動(dòng)．(4)相位差頻率相同的兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)有固定的相位差：Δφ＝φ1－φ2.①若Δφ＝0，表明兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)步調(diào)相同，即同相．②若Δφ＝π，表明兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)步調(diào)相反，即反相．③若Δφ＝φ1－φ2>0，則1的相位比2的相位超前Δφ或2的相位比1的相位落后Δφ.④若Δφ＝φ1－φ2<0，則1的相位比2的相位落后|Δφ|或2的相位比1的相位超前|Δφ|.例1(多選)如圖所示，水平彈簧振子沿x軸在M、N間做簡諧運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為振子的平衡位置，其振動(dòng)方程為x＝5cos(10πt)cm.下列說法正確的是(

)A．M、N間距離為5cmB．振子的振動(dòng)周期是0.2sC．t＝0時(shí)，振子位于N點(diǎn)D．t＝0.05s，振子具有最大加速度答案：BC

答案：CD

02.知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像【情境導(dǎo)學(xué)】如圖是應(yīng)用頻閃照相法，拍攝得到的小球和彈簧的一系列的像．如何證明彈簧振子運(yùn)動(dòng)的x-t圖像是正弦曲線？提示：方法一在圖中，測量小球在各個(gè)位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，把測量值輸入計(jì)算機(jī)中作出這條曲線，然后按照計(jì)算機(jī)提示用一個(gè)周期性函數(shù)擬合這條曲線，看一看彈簧振子的位移與時(shí)間的關(guān)系可以用什么函數(shù)表示．方法二假定是正弦曲線，可用刻度尺測量它的振幅和周期，寫出對應(yīng)的表達(dá)式，然后在曲線中選小球的若干個(gè)位置，用刻度尺在圖中測量它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，代入所寫出的正弦函數(shù)表達(dá)式中進(jìn)行檢驗(yàn)，看一看這條曲線是否真的是一條正弦曲線．【知識梳理】位移—時(shí)間圖像建立坐標(biāo)系，橫軸代表________，縱軸代表小球__________________，它就是小球在平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像，稱為彈簧振子的振動(dòng)圖像．時(shí)間t相對平衡位置的位移x【重難突破】1．對簡諧運(yùn)動(dòng)圖像(x-t圖像)的認(rèn)識(1)圖像形狀：正(余)弦曲線．(2)物理意義：表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻偏離平衡位置的位移，是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律．2．從簡諧運(yùn)動(dòng)圖像獲取的信息(1)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移的大小和方向．如圖甲所示，質(zhì)點(diǎn)在t1、t2時(shí)刻的位移分別為x1和－x2.(2)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向：看下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置，如圖乙中質(zhì)點(diǎn)在a位置時(shí)，下一時(shí)刻離平衡位置更遠(yuǎn)，故此刻質(zhì)點(diǎn)向x軸正方向振動(dòng)．(3)簡諧運(yùn)動(dòng)中速度和位移的關(guān)系：看下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置，判斷是遠(yuǎn)離還是靠近平衡位置．若遠(yuǎn)離平衡位置，則速度越來越小，位移越來越大，若靠近平衡位置，則速度越來越大，位移越來越小，如圖乙中質(zhì)點(diǎn)在b位置時(shí)，從正向位移處向著平衡位置運(yùn)動(dòng)，則速度為負(fù)且增大，位移正在減小，質(zhì)點(diǎn)在c位置時(shí)，從負(fù)向位移處遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng)，則速度為負(fù)且減小，位移正在增大．例2如圖所示為某彈簧振子在0～5s內(nèi)的振動(dòng)圖像，由圖可知，下列說法中正確的是(

)A．振動(dòng)周期為5s，振幅為8cmB．第2s末振子的速度為零，加速度為正向的最大值C．從第1s末到第2s末振子在做加速運(yùn)動(dòng)D．第3s末振子的速度為負(fù)向的最大值答案：B解析：振幅等于最大位移的大小，故振幅為4cm，而周期是完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，所以振動(dòng)周期為4s，A錯(cuò)誤；第2s末振子的速度為零，加速度為正向的最大值，B正確；從第1s末到第2s末振子向負(fù)的最大位移處運(yùn)動(dòng)，所以振子速度減小，做減速運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；第3s末振子的位移為零，振子正經(jīng)過平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，故速度最大且方向?yàn)檎?，D錯(cuò)誤．【變式訓(xùn)練2】如圖所示是揚(yáng)聲器紙盆中心做簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像，下列判斷正確的是(

)A．t＝2×10－3s時(shí)刻紙盆中心的速度最大B．t＝3×10－3s時(shí)刻紙盆中心的加速度最大C．在0～1×10－3s之間紙盆中心的速度方向與加速度方向相同D．紙盆中心做簡諧運(yùn)動(dòng)的方程為x＝1.5×10－4cos(50πt)m答案：C

2．對稱性(1)時(shí)間的對稱①物體來回通過相同兩點(diǎn)間的時(shí)間相等，即tDB＝tBD.②物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段的時(shí)間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.(2)速度的對稱①物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(diǎn)(如D點(diǎn))的速度大小相等，方向相反．②物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)(如C與D)時(shí)，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．(3)位移的對稱①物體經(jīng)過同一點(diǎn)(如C點(diǎn))時(shí)，位移相同．②物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)(如C與D)時(shí)，位移大小相等、方向相反．例3質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，從質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過某一位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，下列說法正確的是(

)A．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)再次經(jīng)過此位置時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為一個(gè)周期B．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度再次與零時(shí)刻的速度相同時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為一個(gè)周期C．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的加速度再次與零時(shí)刻的加速度相同時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為一個(gè)周期D．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為振幅的2倍時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為半個(gè)周期答案：D解析：質(zhì)點(diǎn)連續(xù)兩次經(jīng)過同一位置的時(shí)間不一定是一個(gè)周期，A錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)同向經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的兩點(diǎn)速度相同，但經(jīng)過的時(shí)間不為一個(gè)周期，B錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)連續(xù)兩次經(jīng)過同一位置時(shí)，加速度相同，但經(jīng)歷的時(shí)間一般不等于一個(gè)周期，C錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在任何半個(gè)周期內(nèi)通過的路程一定是振幅的2倍，D正確．【變式訓(xùn)練3】一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，它從最大位移處經(jīng)0.3s第一次到達(dá)某點(diǎn)M處，再經(jīng)0.2s第二次到達(dá)M點(diǎn)，則其振動(dòng)頻率為(

)A．0.4Hz B．0.8HzC．2.5Hz D．1.25Hz答案：D

03.隨堂自主檢測1．如圖所示，彈簧振子在M、N之間做簡諧運(yùn)動(dòng)．以平衡位置O為原點(diǎn)，建立Ox軸，向右為x軸正方向．若振子位于N點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，則其振動(dòng)圖像為(

)答案：A解析：由題意，向右為x軸的正方向，振子位于N點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，因此t＝0時(shí)，振子的位移為正的最大值，振動(dòng)圖像為余弦函數(shù)，A正確．

答案：AD

答案：A

4．圖甲所示為以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在A、B兩點(diǎn)間做簡諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子，圖乙為這個(gè)彈簧振子的振動(dòng)圖像，由圖可知下列說法中正確的是(

)A．在t＝0.2s時(shí)，彈簧振子運(yùn)動(dòng)到O位置B．在t＝0.1s與t＝0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子的速度相同C．從t＝0到t＝0.2s的時(shí)間內(nèi)，彈簧振子的動(dòng)能持續(xù)地減小D．在t＝0.2s與t＝0.6s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子的加速度相同答案：C解析：由題圖知，若從平衡位置開始計(jì)時(shí)，則在t＝0.2s時(shí)，彈簧振子運(yùn)動(dòng)到B或A位置，A錯(cuò)誤；在t＝0.1s與t＝0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子的速度大小相等、方向相反，B錯(cuò)誤；

從t＝0到t＝0.2s的時(shí)間內(nèi)，彈簧振子的位移越來越大，彈簧的彈性勢能越來越大，其動(dòng)能越來越小，C正確；

在t＝0.2s與t＝0.6s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子的加速度大小相等、方向相反，D錯(cuò)誤．04.課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)11

答案：A

2．某彈簧振子沿x軸的簡諧運(yùn)動(dòng)圖像如圖所示，下列描述正確的是(

)A．t＝1s時(shí)，振子的速度為零，加速度為正的最大值B．t＝2s時(shí)，振子的速度為負(fù)，加速度為零C．t＝3s時(shí)，振子的速度為負(fù)的最大值，加速度為零D．t＝4s時(shí)，振子的速度為正，加速度為負(fù)的最大值答案：B解析：t＝1s時(shí)，振子的位移為正的最大值，速度為零，加速度為負(fù)的最大值，A錯(cuò)誤；t＝2s時(shí)，振子的位移為零，速度為負(fù)的最大值，加速度為零，B正確；t＝3s時(shí)，振子的位移為負(fù)的最大值，速度為零，加速度為正的最大值，C錯(cuò)誤；t＝4s時(shí)，振子的位移為零，速度為正的最大值，加速度為零，D錯(cuò)誤．3．圖甲為由物塊和輕彈簧制作的一個(gè)豎直放置的振動(dòng)裝置．圖乙記錄了物塊振動(dòng)過程中速度v隨時(shí)間t變化的曲線，以向上為正方向．關(guān)于該振動(dòng)過程，下列說法正確的是(

)A．t＝0時(shí)，彈簧處于原長狀態(tài)B．t＝0.4s時(shí)，物塊加速度為零C．t＝0.2s時(shí)，物塊位于平衡位置上方D．t＝0.6s時(shí)，物塊位于平衡位置下方答案：B解析：t＝0時(shí)，加速度為零，此時(shí)物塊處于平衡狀態(tài)，彈簧處于伸長狀態(tài)，A錯(cuò)誤；t＝0.4s時(shí)，物塊的速度最大，則加速度為零，B正確；t＝0.2s時(shí)，物塊速度為零，之后向正方向運(yùn)動(dòng)，所以物塊位于最低點(diǎn)，即物塊位于平衡位置下方，C錯(cuò)誤；t＝0.6s時(shí)，物塊速度為零，之后向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，即物塊位于最高點(diǎn)，即物塊處于平衡位置上方，D錯(cuò)誤．

答案：C

5.一彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示，下列說法正確的是(

)A．振子的振幅為8cmB．振子的運(yùn)動(dòng)軌跡為余弦曲線C．在0.1s末振子的速度方向沿x軸正方向D．在0.2s末振子的加速度達(dá)到最大答案：D解析：振子的振幅為A＝4cm，A錯(cuò)誤；x-t圖像不是振子的運(yùn)動(dòng)軌跡，B錯(cuò)誤；由圖像可知，在0.1s末振子的速度方向沿x軸負(fù)方向，C錯(cuò)誤；在0.2s末振子位移負(fù)向最大，則回復(fù)力最大，加速度達(dá)到最大，D正確．

答案：C

答案：C解析：該振子的周期為4s，A錯(cuò)誤；在1.5～2s時(shí)間內(nèi)，振子的位移不斷減小，則加速度不斷減小，B錯(cuò)誤；在3.5s時(shí)，振子的速度和加速度都沿x軸負(fù)方向，C正確；在3.5～5.5s時(shí)間，剛好是半個(gè)周期，振子通過的路程為s＝2A＝10cm，D錯(cuò)誤．

答案：CD

答案：B

10．(12分)某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像如圖所示，求：(1)在前4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的路程s；答案：0.4m解析：質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期為4s，在一個(gè)周期內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的路程是4A，所以在前4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的路程s＝4A＝4×0.1m＝0.4m.(2)質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)