一、教學(xué)目標(biāo)與知識(shí)鋪墊演講人教學(xué)目標(biāo)與知識(shí)鋪墊01規(guī)律應(yīng)用與典型例題分析02相似三角形坐標(biāo)變換的核心規(guī)律探究03總結(jié)與升華04目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)相似三角形坐標(biāo)變換規(guī)律課件各位同學(xué)、老師們：今天，我們將共同探索“相似三角形坐標(biāo)變換規(guī)律”這一核心內(nèi)容。作為九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“圖形的相似”章節(jié)的重要延伸，這部分知識(shí)既是對(duì)相似三角形基本性質(zhì)的深化，也是坐標(biāo)系中圖形變換規(guī)律的綜合應(yīng)用。我將以“從觀察到猜想，從驗(yàn)證到歸納”的思維路徑，帶大家逐步揭開坐標(biāo)變換與相似三角形之間的內(nèi)在聯(lián)系。01教學(xué)目標(biāo)與知識(shí)鋪墊1教學(xué)目標(biāo)定位本節(jié)課的學(xué)習(xí)需達(dá)成以下三個(gè)維度的目標(biāo)：知識(shí)與技能：掌握相似三角形在坐標(biāo)系中平移、旋轉(zhuǎn)、位似等變換下的坐標(biāo)規(guī)律；能根據(jù)變換前后的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，判斷三角形的相似性并計(jì)算相似比。過程與方法：通過“觀察特例—?dú)w納規(guī)律—驗(yàn)證猜想—應(yīng)用拓展”的探究過程，提升數(shù)形結(jié)合能力與邏輯推理能力；體會(huì)從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價(jià)值觀：感受坐標(biāo)系作為“數(shù)與形橋梁”的獨(dú)特價(jià)值，在解決實(shí)際問題（如地圖縮放、建筑設(shè)計(jì)圖）中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用美，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的意識(shí)。2前置知識(shí)回顧為順利推進(jìn)本節(jié)課，我們需要先回顧兩組關(guān)鍵概念：（1）相似三角形的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例（相似比k）；周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。（2）坐標(biāo)系中的基本變換：平移變換：點(diǎn)(x,y)向右（左）平移a個(gè)單位→(x±a,y)；向上（下）平移b個(gè)單位→(x,y±b)。旋轉(zhuǎn)變換（繞原點(diǎn)順時(shí)針/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ）：點(diǎn)(x,y)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)可通過三角函數(shù)計(jì)算（如旋轉(zhuǎn)90時(shí)，(x,y)→(y,-x)或(-y,x)）。位似變換：以某點(diǎn)為位似中心，將圖形放大或縮小，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線過位似中心，且到位似中心的距離比等于相似比。2前置知識(shí)回顧過渡：這些知識(shí)是我們探索坐標(biāo)變換規(guī)律的“工具包”。接下來，我們將聚焦“相似三角形”這一特定圖形，研究其在坐標(biāo)變換中的“不變性”與“可變性”。02相似三角形坐標(biāo)變換的核心規(guī)律探究1從“位似變換”切入：最直接的相似關(guān)聯(lián)位似變換是相似變換的特殊形式（相似比為k，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)），因此我們首先以位似變換為切入點(diǎn)，分析坐標(biāo)規(guī)律。1從“位似變換”切入：最直接的相似關(guān)聯(lián)1.1位似中心在原點(diǎn)的情形案例1：如圖1所示，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)；△A'B'C'是△ABC以原點(diǎn)O為位似中心，相似比k=2的位似圖形。計(jì)算△A'B'C'的坐標(biāo)：A'(1×2,2×2)=(2,4)B'(3×2,4×2)=(6,8)C'(5×2,1×2)=(10,2)觀察規(guī)律：若位似中心在原點(diǎn)，相似比為k，則原圖形上任意一點(diǎn)P(x,y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'(x',y')滿足x'=kx，y'=ky。1從“位似變換”切入：最直接的相似關(guān)聯(lián)1.1位似中心在原點(diǎn)的情形驗(yàn)證猜想：若相似比k=1/2，△A''B''C''的坐標(biāo)應(yīng)為A''(0.5,1)、B''(1.5,2)、C''(2.5,0.5)。通過計(jì)算AB=√[(3-1)2+(4-2)2]=√8，A''B''=√[(1.5-0.5)2+(2-1)2]=√2，AB/A''B''=√8/√2=2=1/k，符合相似比定義。1從“位似變換”切入：最直接的相似關(guān)聯(lián)1.2位似中心不在原點(diǎn)的情形案例2：如圖2所示，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,1)、B(4,3)、C(6,2)；△A'B'C'是以點(diǎn)D(1,0)為位似中心，相似比k=3的位似圖形。如何推導(dǎo)A'的坐標(biāo)？位似變換中，位似中心D到A的向量為(2-1,1-0)=(1,1)，放大k=3倍后，向量變?yōu)?1×3,1×3)=(3,3)，因此A'=D+(3,3)=(1+3,0+3)=(4,3)。同理，B到D的向量為(4-1,3-0)=(3,3)，放大后為(9,9)，B'=(1+9,0+9)=(10,9)；C到D的向量為(6-1,2-0)=(5,2)，放大后為(15,6)，C'=(1+15,0+6)=(16,6)。1從“位似變換”切入：最直接的相似關(guān)聯(lián)1.2位似中心不在原點(diǎn)的情形歸納規(guī)律：若位似中心為點(diǎn)H(h_x,h_y)，相似比為k，原圖形上點(diǎn)P(x,y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'(x',y')滿足：x'=h_x+k(x-h_x)y'=h_y+k(y-h_y)幾何意義：該公式本質(zhì)是“向量放大”——將原圖形各頂點(diǎn)相對(duì)于位似中心的位置向量（即P-H）放大k倍，再平移回位似中心的位置。2.2一般相似變換的坐標(biāo)規(guī)律：從位似到任意相似位似變換是“中心對(duì)稱+縮放”的組合，而一般相似變換還可能包含平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱。但無論哪種變換，相似三角形的坐標(biāo)規(guī)律都可通過“保持形狀不變，大小按比例縮放”這一本質(zhì)推導(dǎo)。1從“位似變換”切入：最直接的相似關(guān)聯(lián)2.1平移變換與相似性結(jié)論：平移變換不改變圖形的形狀和大?。聪嗨票萲=1），因此平移后的三角形與原三角形全等（特殊的相似）。案例3：△ABC平移后得到△A'B'C'，若A(1,2)→A'(4,5)（即向右平移3，向上平移3），則B(3,4)→B'(6,7)，C(5,1)→C'(8,4)。計(jì)算AB=√[(3-1)2+(4-2)2]=√8，A'B'=√[(6-4)2+(7-5)2]=√8，AB=A'B'，故全等。1從“位似變換”切入：最直接的相似關(guān)聯(lián)2.2旋轉(zhuǎn)變換與相似性結(jié)論：旋轉(zhuǎn)變換同樣不改變圖形的形狀和大?。╧=1），旋轉(zhuǎn)后的三角形與原三角形全等。案例4：△ABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，A(1,2)→A'(-2,1)，B(3,4)→B'(-4,3)，C(5,1)→C'(-1,5)。計(jì)算AB=√8，A'B'=√[(-4+2)2+(3-1)2]=√[(-2)2+22]=√8，故全等。1從“位似變換”切入：最直接的相似關(guān)聯(lián)2.3軸對(duì)稱變換與相似性結(jié)論：軸對(duì)稱變換（關(guān)于x軸、y軸或任意直線對(duì)稱）是保距變換（k=1），對(duì)稱后的三角形與原三角形全等。案例5：△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱，A(1,2)→A'(-1,2)，B(3,4)→B'(-3,4)，C(5,1)→C'(-5,1)。AB=√8，A'B'=√[(-3+1)2+(4-2)2]=√[(-2)2+22]=√8，全等。過渡：通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱是“保相似比”的變換（k=1），而位似變換是“改變大小但保持形狀”的變換（k≠1）。接下來，我們需要將這些變換組合，探索更復(fù)雜的相似三角形坐標(biāo)規(guī)律。3組合變換下的相似三角形坐標(biāo)規(guī)律STEP5STEP4STEP3STEP2STEP1實(shí)際問題中，相似三角形可能由多種變換組合而成（如先平移后位似，或先旋轉(zhuǎn)后縮放）。此時(shí)，坐標(biāo)規(guī)律需分步分析。案例6：△ABC先向右平移2個(gè)單位，再以原點(diǎn)為位似中心放大k=2倍，得到△A'B'C'。原A(1,2)→平移后A1(3,2)→位似后A'(3×2,2×2)=(6,4)。同理，B(3,4)→B1(5,4)→B'(10,8)；C(5,1)→C1(7,1)→C'(14,2)。規(guī)律總結(jié)：組合變換的坐標(biāo)規(guī)律滿足“變換順序的疊加”，即先執(zhí)行的變換先作用于原坐標(biāo)，后執(zhí)行的變換再作用于中間結(jié)果。03規(guī)律應(yīng)用與典型例題分析1基礎(chǔ)應(yīng)用：根據(jù)變換求坐標(biāo)或相似比03例2：△DEF以點(diǎn)G(2,1)為位似中心縮小k=1/2，D(4,5)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'坐標(biāo)是多少？02解析：由位似中心在原點(diǎn)的規(guī)律，x'=kx→6=k2→k=3；y'=ky→9=k3→k=3，故相似比k=3。01例1：已知△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為原點(diǎn)，A(2,3)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'(6,9)，求相似比k。04解析：D到G的向量為(4-2,5-1)=(2,4)，縮小1/2后為(1,2)，故D'=G+(1,2)=(2+1,1+2)=(3,3)。2綜合應(yīng)用：判斷相似性并推導(dǎo)變換過程例3：△PQR的頂點(diǎn)為P(1,1)、Q(3,2)、R(2,4)；△P'Q'R'的頂點(diǎn)為P'(2,2)、Q'(6,4)、R'(4,8)。判斷兩三角形是否相似，若相似，說明變換過程。解析：（1）計(jì)算PQ=√[(3-1)2+(2-1)2]=√5，P'Q'=√[(6-2)2+(4-2)2]=√(16+4)=√20=2√5；（2）QR=√[(2-3)2+(4-2)2]=√(1+4)=√5，Q'R'=√[(4-6)2+(8-4)2]=√(4+16)=√20=2√5；（3）PR=√[(2-1)2+(4-1)2]=√(1+9)=√10，P'R'=√[(4-2)2+(8-2)2]=√(4+36)=√40=2√10；2綜合應(yīng)用：判斷相似性并推導(dǎo)變換過程（4）三邊比均為2:1，故相似比k=2；（5）觀察坐標(biāo)：P'(2,2)=2×(1,1)=2×P，Q'(6,4)=2×(3,2)=2×Q，R'(4,8)=2×(2,4)=2×R，故△P'Q'R'是△PQR以原點(diǎn)為位似中心，k=2的位似圖形。3實(shí)際問題：地圖縮放中的相似坐標(biāo)例4：某區(qū)域地圖原比例尺為1:10000（即圖上1cm=實(shí)際100m），現(xiàn)需放大為1:5000的地圖（圖上1cm=實(shí)際50m）。原地圖中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)（單位：cm），B點(diǎn)坐標(biāo)為(7,9)，求放大后A'、B'的坐標(biāo)及實(shí)際距離的變化。解析：（1）比例尺從1:10000變?yōu)?:5000，相當(dāng)于相似比k=2（因?yàn)閳D上距離放大2倍，實(shí)際距離不變）；（2）放大后A'(3×2,5×2)=(6,10)，B'(7×2,9×2)=(14,18)；（3）原實(shí)際距離AB：圖上距離=√[(7-3)2+(9-5)2]=√(16+16)=√32=4√2cm，實(shí)際距離=4√2×100m=400√2m；3實(shí)際問題：地圖縮放中的相似坐標(biāo)（4）放大后圖上距離A'B'=√[(14-6)2+(18-10)2]=√(64+64)=√128=8√2cm，實(shí)際距離=8√2×50m=400√2m（與原實(shí)際距離一致，符合比例尺定義）。04總結(jié)與升華1核心規(guī)律回顧相似三角形在坐標(biāo)系中的變換規(guī)律可概括為“三不變、一比例”：01形狀不變：對(duì)應(yīng)角相等（由相似性保證）；02方向可能變：旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱會(huì)改變方向，但相似性不受影響；03位似中心是關(guān)鍵：位似變換的坐標(biāo)規(guī)律依賴位似中心的位置（原點(diǎn)或任意點(diǎn)）；04坐標(biāo)成比例：位似變換下，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足線性比例關(guān)系（k倍縮放）。052思想方法提煉本節(jié)課中，我們通過“特例觀察—規(guī)律猜想—驗(yàn)證歸納—應(yīng)用拓展”的研究路徑，深刻體會(huì)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想——坐標(biāo)系將幾何圖形的“形”轉(zhuǎn)化為代數(shù)的“數(shù)”，通過坐標(biāo)運(yùn)算揭示相似變換的本質(zhì)。這種“以數(shù)解形”的能力，是后續(xù)學(xué)習(xí)函