壓軸題07統(tǒng)計與概率壓軸題

題型/考向一：統(tǒng)計與概率

題型/考向二：統(tǒng)計案例

一、統(tǒng)計與概率

壓軸題要頒

熱點(diǎn)一用樣本估計總體

I核心歸納

頻率

1.頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示靛，頻率=組

頻率

距乂贏?

2.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.

3.利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).

(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù).

(2)中位數(shù)左勁和右邊的小長方形的面積和相等.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形

的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

熱點(diǎn)二概率

I核心歸納

1.古典概型的概率公式

明一事件A中包含的樣本點(diǎn)數(shù)

“A)一試驗的樣本點(diǎn)總數(shù)

2.條件概率公式

設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(4)>0,

小P(AB)

則P(3H)=/(A).

3.全概率公式

設(shè)4,A2,…,A〃是一組兩兩互斥的事件，A1UA2U…UA〃=O,且尸(4)>0,

n

/=1,2,…，n,則對任意的事件有尸(3)=￡P(guān)(Ai)P(B\Ai).

i=1

鰻⑥③回—統(tǒng)計與概率

壓軸題通騎

一、單選題

1.對某校中學(xué)學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計，并將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布

直方圖（如圖），則該校學(xué)生身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

C.166D.166.25

2.如圖，一組數(shù)據(jù)不，與，0…，為，與，的平均數(shù)為5,方差為s：,去除為,丁這兩個數(shù)據(jù)

后，平均數(shù)為了，萬差為片，則（）

,看

9—

5

O910i

A.4>5,B.x<5,s；<$2C.x=5>s；<$2D.x=5,S]>sg

3.已知數(shù)據(jù)為,多，，匕是某市〃（〃之5,個普通職二的年收入，如果再加上世界首富的

年收入，組成〃+1個數(shù)據(jù),則下列說法正確的是（）

A.年收入的平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變

B.年收入的平均數(shù)大大增加,中位數(shù)可能不變,方差變大

C.年收入的平均數(shù)大大增加,中位數(shù)可能不變,方差變小

D.年收入的平均數(shù)大大增加,中位數(shù)一定變大,方差可能不變

4.甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在8場比賽中的單場得分用莖葉圖表示（圖1）,莖葉圖中甲的得

分有部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖（圖2）完好，則（）

甲乙

909

321458976

86020

圖1

A.甲的單場平均得分比乙低B.乙的60%分位數(shù)為19

C.甲、乙的極差均為11D.乙得分的中位數(shù)是16.5

5.某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選

擇考〃成績根據(jù)學(xué)生考試時的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進(jìn)行排序，評定為五個等

級.某高中2022年參加“選擇考"總?cè)藬?shù)是2020年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分

析該校學(xué)生“選擇考〃的水平，統(tǒng)計了該校2020年和2022年“選擇考〃成績等級結(jié)果，得到如

卜統(tǒng)計圖.針對該?！斑x擇否"情況，2022年與2020年比較，卜列說法正確的是（）

。等級8%4等級2%

（\/等級

C等劭儂也

2020年該?！斑x擇考”等級統(tǒng)計圖

A.獲得A等級的人數(shù)減少了B.獲得B等級的人數(shù)增加了1.5倍

C.獲得。等級的人數(shù)減少了一半D.獲得E等級的人數(shù)相同

6.在“2,3,5,7,11,13,17,19〃這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)之和

仍為素數(shù)的概率是（）

1

&7D

A.專-17

7.2022年11月30日，神舟十五號、神舟十四號乘組在太空“勝利會師"，在中國人自己的

“太空家園〃里留下「一張足以載入史冊的太空合影.某班級開展了關(guān)于太空知識的分享交流

活動，活動中有2名男生、3名女生發(fā)言，活動后從這5人中任選2人進(jìn)行采訪，則這2人

中至少有1名男生的概率為（）

8.不透明箱子中裝有大小相同標(biāo)號為1,2,3,4,5的5個冰墩墩（北京冬奧會吉祥物）,

隨機(jī)抽取2個冰墩墩，則被抽到的2個冰墩墩標(biāo)號相鄰的概率是（）

234

A.B.—C.-D.

555

9.春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為了解春節(jié)期間

車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初三上午9：20~10：40這一時間段內(nèi)有600

輛車通過，將其通過該收究點(diǎn)的時刻繪成頻率分布直方圖.其中時間段9：20~9：40記作區(qū)

間［20,40),9；40~10；00記作［40,60),10；00~10：20記作［60,80),10；20~10；40記作

［80,100］,例如:10點(diǎn)04分，記作時刻64.

⑴估計這600輛車在9：20~10：40時間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)：

⑵為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這6CQ輛車中抽取5輛，再從這5輛車

中隨機(jī)抽取3輛，則恰有1輛為9：20~10：00之間通過的概率是多少？

10.我國某醫(yī)藥研究所在針對某種世界疾病難題的解決方案中提到了中醫(yī)療法，為證實此方

法的效用，該研究所購進(jìn)若干副某種中草藥，現(xiàn)按照每副該中草藥的重量大小(單位：克)

分為4組：［0,20),［20,40),［40.60),［60,80］,并繪制頻率分布直方圖如下所示：

⑴估計每副該中草藥的平均重量(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

⑵現(xiàn)從每副重量在［20,40),［60,80］內(nèi)的中草藥中按照分層抽樣的方式一共抽取6副該中草

藥，再從這6副中草藥中隨機(jī)取出2副進(jìn)行分析，求取出的2副中僅有1副重量在［60,80］中

的概率.

二、統(tǒng)計案例

『壓軸題要頒

熱點(diǎn)一回歸分析

I核心歸納

求經(jīng)驗回歸方程的步驟

⑴依據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系(有時可省

略).

nn

(2)計算出x,y,EmL孫的值.

i=1z=1

(3)計算。，b.

(4)寫出經(jīng)驗回歸方程.

熱點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗

I核心歸納

獨(dú)立性檢驗的一般步驟

⑴根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2X2列聯(lián)表；

(2)根據(jù)公式/1/+匕)(：：丁震，計算’的值；

(3)查表比較/與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.爐越大，對應(yīng)假設(shè)事件M)成立

(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，不成立的概率越大.

伺二統(tǒng)計案例

「壓軸題壺噴

一、單選題

1.以模型)，=咫”00)去擬合一組數(shù)據(jù)時，設(shè)z=l”，將其變換后得到線性回歸方程

z=2x-l,則。=()

A.gB.e-2C.e-1D.e

2.下列說法正確的有()

①對于分類變量x與y,它們的隨機(jī)變量片的觀測值A(chǔ)越大，說明“X與y有關(guān)系〃的把握

越大；

②我校高一、高二、高三共有學(xué)生4800人，其中高三有1200人.為調(diào)查需要，用分層抽樣

的方法從全校學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本，那么應(yīng)從高三年級抽取40人；

③若數(shù)據(jù)4、/、L、匕的方差為5,則另一?組數(shù)據(jù)內(nèi)+1、9+1、L、乙+1的方差為6；

2

④把六進(jìn)制數(shù)21。⑹轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為：2I0（6）=0X6°4-IX6'+2X6=78.

A.①④B.①②C.③④D.①③

3.給出以下四個命題：

①在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)尸的值判斷模型的擬合效果，咒越大，模型的擬合效果越

好；

②回歸模型中離差是實際值￡與估計值§，的差，離差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明模

型擬合精度越高；

③在一組樣本數(shù)據(jù)（4x）,（w，%）「?，（%”）（n>2,不修，…，與不全相等）的散點(diǎn)圖中，

若所有樣本點(diǎn)（4y）（i=i2…都在直線y=-1+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)

為-g；

④對分類變量x與y的統(tǒng)計量/來說，/值越小，判斷“x與），有關(guān)系，，的把握程度越大.

其中，真命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.如圖是近十年來全國城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的折線圖（數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局）.

人口數(shù)（單位：萬人）

根據(jù)該折線圖，下列說法錯誤的是（）

A.城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)B.鄉(xiāng)村人口與年份的相關(guān)系數(shù)〃接近1

C.城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同D.可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢

5.已知變量乂），之間的線性回歸方程為$，=-04X+7.6,且變量乂），之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如

表所示，

X681012

y6m32

則下列說法中錯誤的有（）A.變量X，），之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B.變量x，y之間的相關(guān)系

數(shù)r=-0.4

C.機(jī)的值為5D.該回歸直線必過點(diǎn)（9,4）

6.設(shè)兩個相關(guān)變量x和V分別滿足下表：

Xi2345

yi28816

若相關(guān)變量X和y可擬合為非線性回歸方程》=2叱。，則當(dāng)x=6時，y的估計值為（）

（參考公式:對于一組數(shù)據(jù)（%,匕）,（…2），…，（心匕），其回歸直線￡=&+血的斜

Z/匕.-/2M?V

率和截距的最小二乘估計公式分別為：8=*,---------,a=v-flu；1.155?2）A.33

￡〃：一而2

r=l

B.37C.65D.73

7.通過隨機(jī)詢問相同數(shù)量的不同性別大學(xué)生在購買食物時是否看營養(yǎng)說明，得知有。的男

O

大學(xué)生"不看"，有:的女大學(xué)生“不看"，若有99%的把握認(rèn)為性別與是否看營養(yǎng)說明之間有

關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為（）

A.150B.170C.240D.175

8.已知一組樣本數(shù)據(jù)（%,%）,（￡,%），，（土，”），根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析x與y之間的

線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為$=。.851-85.7,則在樣本點(diǎn)（165,57）處的殘差為

（）

A.-2.45R.74SC.Z4SD.S4ss

9.國家發(fā)改委和住建部等六部門發(fā)布通知，提到：2025年，農(nóng)村生活垃圾無害化處理水平

將明顯提升.現(xiàn)階段我國生活垃圾有填埋、焚燒、堆肥等三種處理方式，隨著我國生態(tài)文明建

設(shè)的不斷深入，焚燒處理已逐漸成為主要方式.根據(jù)國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，對2013-2020

年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)），（單位：座）進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下表格：

年份20132014201520162017201820192020

年份代碼X12345678

垃圾焚燒無害化

166188220249286331389463

處理廠的個數(shù)），

⑴根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量r之間的線性相關(guān)關(guān)系，造

用相關(guān)系數(shù)加以說明（精確到0.01）;

（2）求出），關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)；

⑶對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，還能用（2）所求的經(jīng)驗回歸方程

預(yù)測嗎？請簡要說明理由.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，二|「“，回歸方程$，=去+4中斜率和截距的最小

\歷（入；-元）藝（y一方2

、i=lr=l

2—%-反）

二乘法估計公式分別為〃=上―-----------/=y-bx

r=l

8*88

參考數(shù)據(jù)：E>,/=2292,Zx；=204,￡y-=730348,￡0斗=12041,

；=!i=li=lr=1

5732=328329.x/105?10.25.J7369?85.84

10.為加快推動旅