第十三章

軸對(duì)稱13.3.1

等腰三角形

第1課時(shí)

等腰三角形性質(zhì)1.探索并證明等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生探究精神、推理能力。2.會(huì)應(yīng)用等腰三角形概念和性質(zhì)解決問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。3.經(jīng)歷觀察實(shí)驗(yàn)、猜想證明,發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力.4.結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)的探索和證明過程，體會(huì)軸對(duì)稱在研究幾何問題中的作用，培養(yǎng)知識(shí)的遷移能力。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：探索并證明等腰三角形的性質(zhì).學(xué)習(xí)難點(diǎn)：性質(zhì)1中輔助線的添加和對(duì)性質(zhì)2的理解.看到下面三角形了嗎，它有何特點(diǎn)呢？腰腰頂角底角底角底邊我們今天來探討一下等腰三角形的性質(zhì).把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中的虛線對(duì)折，并剪去陰影部分（一個(gè)直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？等腰三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)學(xué)生活動(dòng)

【一起探究】ABCAB=AC等腰三角形【思考】△ABC

是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？ACDB折痕所在的直線是它的對(duì)稱軸.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBDAB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C∠BAD

與∠CAD∠ADB

與∠ADC【思考】由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.ABC已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C.【思考】如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？猜想:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.如何證明兩個(gè)角相等呢？可以運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)角相等”來證.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCABCD證明：

作底邊的中線AD，則BD=CD.AB=AC

(已知)，BD=CD

(已作)，AD=AD(公共邊)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C

(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線.還有其他的證法嗎？ABCD證明：作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.AB=AC

(已知),∠BAD=∠CAD

(已作),AD=AD(公共邊),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).方法二：作頂角的平分線在△BAD和△CAD中

由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到哪些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

ABCD【想一想】解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵

∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=

90°，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線.

ABCD性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角).ACB如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).歸納總結(jié)具備其中一條性質(zhì)2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.即：等腰三角形頂角平分線底邊上的高線底邊上的中線另外兩條成立歸納總結(jié)ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC.（等腰三角形三線合一）∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC.（等腰三角形三線合一）∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2.（等腰三角形三線合一）數(shù)學(xué)語言：如圖,在△ABC中,

畫出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、這個(gè)底角所對(duì)的腰上的中線和高，看看它們是否重合？三線合一不重合【思考】為什么不一樣？（1）等腰三角形的頂角一定是銳角.（2）等腰三角形的底角可能是銳角，也可能是直角、鈍角.（3）鈍角三角形不可能是等腰三角形.

（4）等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.（5）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.（6）等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（

）（

）（

）（

）（

）明辨是非.（

）×××√×√ABCD

例1

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).分析：（1）找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個(gè)等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)1ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）設(shè)∠A=x

,請(qǐng)把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x方法點(diǎn)撥在含多個(gè)等腰三角形的圖形中求角時(shí)，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).解：∵AB=AD=DC

∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.設(shè)∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得

2x+x+26°+x=180°，

解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.例2等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°

B．80°或40°C．65°或80°

D．50°或80°A等腰三角形的分類討論問題素養(yǎng)考點(diǎn)2方法點(diǎn)撥：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為_______；等腰三角形一個(gè)角為70°,它的另外兩個(gè)角為___________________；等腰三角形一個(gè)角為110°,它的另外兩個(gè)角為________.75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°例3已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，求證：AF⊥BC.圖②圖①利用等腰三角形的性質(zhì)證明線段間的關(guān)系素養(yǎng)考點(diǎn)3證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG–DG＝CG–EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.圖②圖①G方法點(diǎn)撥

在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，有時(shí)需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)求證：EF＝ED.

(2)證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，

∴ED⊥BC，

又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，

∴EF＝ED.2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°B．30°C．70°D．50°A11.等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為____________________；72°,72°或36°,108°

3.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則底角的大小為___________．ABCABC70°或20°1.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠B=30°，求∠BAD

和∠ADC的度數(shù).ABCD能力提升題解：∵AB=AC，

∴

∠C=

∠B=30°，∵BD=CD，∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.∴∠

BAD=90°–∠B=60°.ABCD2.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE為底角的平分線，∴等腰三角形的性質(zhì)等邊對(duì)等角三線合一注意是指同一個(gè)三角形中注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).而腰上的高和中線與底角的平分線不具有這一性質(zhì)易錯(cuò)點(diǎn)撥（1）求等腰三角形角的度數(shù)時(shí)，如果沒有明確是底角還是頂角必須分類討論（2）等腰三角形“三線合一”定理，角平分線指的是“頂角平分線”學(xué)前溫故新課早知1.有兩邊

的三角形是等腰三角形.2.三角形的內(nèi)角和是

.

3.在三角形中,任意兩邊之和

第三邊.

相等

180°大于

學(xué)前溫故新課早知1.等腰三角形的性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)

相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”);

性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、

、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).

2.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,底邊上的中線(頂角平分線、底邊上的高)所在

就是它的對(duì)稱軸.

3.在△ABC中,AB=AC,∠B=58°,則∠C的度數(shù)是

,∠A的度數(shù)

.

底角

底邊上的中線

直線

58°64°1.等腰三角形“等邊對(duì)等角”的應(yīng)用

【例1】

已知一個(gè)等腰三角形的兩角分別為(2x-2)°,(3x-5)°,求這個(gè)等腰三角形各角的度數(shù).分析:應(yīng)考慮3種情況,即(2x-2)°作頂角或(3x-5)°作頂角或(2x-2)°和(3x-5)°均不是頂角.解:若2x-2=3x-5,得x=3.故三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為4°,4°,172°;若2(2x-2)=180-(3x-5),得x=27.故三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為52°,52°,76°;若2(3x-5)=180-(2x-2),得x=24.故三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為46°,67°,67°.【例2】如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F.求證:DE=DF.

分析:利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.證明:連接AD(圖略).∵D為BC的中點(diǎn),AB=AC,∴AD平分∠BAC.又DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.2.等腰三角形“