高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省惠州市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所?故選：B.2.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，又雙曲線的漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為.故選：D．3.若經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)榻?jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，所以該直線斜率，即，解得.故選：C.4.若直線與直線平行，那么這兩條直線之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有已知直線與直線平行，則，即，此時(shí)直線與直線，即滿足平行，則兩直線間距離，故選：D.5.已知圓，直線l過(guò)點(diǎn)且傾斜角為，則“直線l與圓C相切”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)直線l沒(méi)有斜率時(shí)，,與圓不相切.當(dāng)直線l有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，由題得或者.所以或者.所以“直線l與圓C相切”成立，則“”不一定成立；“”成立，則“直線l與圓C相切”成立.所以“直線l與圓C相切”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則是鈍角；B.直線l的方向向量，平面的法向量，則C.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則到的距離為D.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【答案】D【解析】對(duì)于A，若，則是鈍角或平角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，則，故與不共線，即不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，，則，，，故到的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)三個(gè)向量共面，則，所以，又是空間的一組基底，所以，無(wú)解，即不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確；故選：D.7.、是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為16，則=（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】∵，的面積為16，∴，，又，則，即有，∴.故選：C.8.月光石不能頻繁遇水，因?yàn)槠渲饕煞质氢涒c硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，半橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)，與半橢圓交于點(diǎn)，則的面積是（）A. ·B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，半圓的方程為，設(shè)半橢圓的方程為，則，所以，故半橢圓的方程為，設(shè)，則，所以，設(shè)，則，所以，故，．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓和圓，下列說(shuō)法正確的是（）A.兩圓的公共弦所在的直線方程為B.圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為C.兩圓有兩條公切線D.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于C，因?yàn)閳A，所以圓心，半徑為，因?yàn)閳A，可化為，所以圓心，半徑為，則，所以兩圓相交，則兩圓有兩條公切線，故C正確；對(duì)于A，兩圓作差得，即，所以公共弦所在的直線方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓心到直線的距離為，則，所以圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；對(duì)于D，，故D正確．故選：BCD．10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.直線與平面所成的角為 D.到平面的距離為【答案】ABC【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，即，故A正確；，，則，且，平面，所以平面，故B正確；，，,，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面的夾角為，則，所以，故C正確；由B選項(xiàng)可知，平面，所以平面的法向量為，，，,點(diǎn)到平面的距離，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.下列說(shuō)法正確是（）A.直線的傾斜角的范圍是B.方程表示的曲線是雙曲線的右支C.已知向量，，則在方向上的投影向量為D.直線恒過(guò)定點(diǎn)【答案】AB【解析】對(duì)于A，直線的斜率，∴直線的傾斜角的范圍是，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，，，則方程等價(jià)為，則根據(jù)雙曲線的定義可知，的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，故B正確；對(duì)于C，在方向上的投影向量為，故C不正確；對(duì)于D，直線方程整理為：，由，解得，故該直線恒過(guò)定點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分.12.雙曲線的離心率為_(kāi)________.【答案】【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知，則.故答案為：．13.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接點(diǎn)P與定點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，因M是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.故答案為：.14.平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且，，為，的交點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意可知：，則，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，，，，.（1）求；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；（3）若，，求的坐標(biāo).解：（1）因?yàn)?，，，，所以，，則.（2）因?yàn)?，，所以?又與垂直，所以，解得或.（3）由題可知，，由，知存在實(shí)數(shù)，使得，即.因?yàn)?，所以，解得，所以?16.已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為（），因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，所以，解得，所以圓的方程為.（2）由，可得圓心，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相交于兩點(diǎn)，且，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，所以直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.17.已知橢圓：的離心率為，焦距為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且.求弦長(zhǎng).解：（1）∵橢圓：的離心率為，故，又焦距為，故，即有，，則，∴橢圓的方程為.（2）聯(lián)立，消去整理得，由，則，設(shè)，，則，，故，則，化簡(jiǎn)得，即，滿足，故.18.如圖1，正三角形的邊長(zhǎng)為4，是邊上的高，分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成直二面角，如圖2．（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）在中，∵分別是中點(diǎn)，∴．又平面，平面，∴平面．（2）因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，即平面平?且,平面平面,所以平面.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．易知平面的法向量．設(shè)平面的法向量，則即,取，則，所以所以二面角的余弦值為．（3）存在．設(shè)，有，則，∴.又，，，∴，∴．把代入上式得，∴，在線段上存在點(diǎn)，使，此時(shí)，．19.二次函數(shù)的圖象是拋物線，現(xiàn)在我們用“圖象平移”的方式討論其焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，舉例如下:二次函數(shù)的圖象可以由的圖象沿向量平移得到;拋物線，即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為;故二次函數(shù)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.（1）求二次函數(shù)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）求二次函數(shù)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（3）設(shè)過(guò)的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn).是否存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線?若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）二次函數(shù)，它的圖象可以由拋物線沿向量平移得到；拋物線即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；所以二次函數(shù)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．（2）二次函數(shù)，它的圖象可以由拋物線沿向量平移得到；拋物線即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；所以二次函數(shù)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；即二次函數(shù)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為