高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省六校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因空間中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)分別是該點(diǎn)在軸上的投影的坐標(biāo)，故點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)為原豎坐標(biāo)的相反數(shù)，故所求點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.2.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】C【解析】，即，圓心，半徑，，圓心為，，，故兩圓外切.故選：C.3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】向量，，則，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.4.已知直線，互相平行，且之間的距離為，則（）A.或3 B.或4 C.或5 D.或2【答案】A【解析】由可得，解得，則直線的方程為，由，即，解得或，故或，即.故選：A.5.設(shè)是橢圓左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若最大值為5，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋詸E圓的焦點(diǎn)在軸上，可知，因?yàn)檫^的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，所以由橢圓的定義知：，所以，當(dāng)軸時(shí)，最小，的值最大，此時(shí)為橢圓的通徑，由通徑公式可得：所以，解得：，所以，，故選：A.6.已知為正方形的中心，分別為的中點(diǎn)，若將正方形沿對(duì)角線翻折，使得二面角的大小為，則此時(shí)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，易知，所以結(jié)合已知有，易知，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，所以，,故選：A.7.已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意得，半徑，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線恒過點(diǎn)，直線恒過點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，的中點(diǎn)為，，故點(diǎn)的軌跡為圓，但是去掉點(diǎn)，其中，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，位置關(guān)系如圖：，連接，由，易知，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，，直線，聯(lián)立與得或（舍去），又點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，，此時(shí).故選：D.8.如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之積為4，則下列結(jié)論不正確的是（）A.點(diǎn)在曲線上B.點(diǎn)在上，則C.點(diǎn)在橢圓上，若，則D.過作軸的垂線交于兩點(diǎn)，則【答案】B【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，由定義知，故A正確；對(duì)于B：點(diǎn)在上，則，化簡(jiǎn)得，所以，即，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：橢圓的焦點(diǎn)恰好為與，則，又，所以，故，所以，C正確；對(duì)于D：設(shè)，則，因?yàn)?，則，又，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），則，因?yàn)?，所以，因此，故，所以，故D正確.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下命題中，正確的有（）A.已知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底B.對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面C.直線的方向向量可以是D.直線與直線垂直，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，已知是空間的一個(gè)基底，故三個(gè)向量不共面，已知，假設(shè)共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，整理得，由于不共面，因此系數(shù)必須全0，則，顯然矛盾，因此不共面，因此也是空間的一個(gè)基底，故A正確；對(duì)于B，對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若四點(diǎn)共面，可設(shè)，其中，則，可得，由于，且，可知四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C：若直線的方向向量為，則其斜率為，而直線的斜率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，得，故D錯(cuò)誤故選：AB.10.若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】如圖：是以為圓心，1為半徑的圓.對(duì)于A，表示圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，由圖象知圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的傾斜角的范圍是，故，即，故A正確；對(duì)于B，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時(shí)取“”，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，圓上的點(diǎn)到直線的距離的5倍的最大值等于圓心到直線的距離加半徑的5倍，即，故D正確.故選：.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，B.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為C.若點(diǎn)為底面的中心，且，則面積的最大值為D.若，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，對(duì)于AB選項(xiàng)，由知：，則，，A正確；，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，故平面的一個(gè)法向量為，又，則點(diǎn)到平面的距離為：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，，平面，平面，平面，所以，，，所以，，所以，，由可得平面，所以，所以點(diǎn)的軌跡為線段，又，所以面積的最大值:，故C正確；對(duì)于D，平面，平面，所以，都是直角三角形.又，所以，因?yàn)?，所以，在?cè)面中以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，整理得到，圓，所以點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，又因?yàn)樵趥?cè)面（含邊界）上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡是圓上的一段劣?。ǚ謩e是圓與的交點(diǎn)），因?yàn)?，，所以，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與圓相交，則整數(shù)的一個(gè)取值可能是__________.【答案】3（或，只需填寫一個(gè)答案即可）【解析】由圓，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€與圓相交所以，解得，所以整數(shù)的所有可能取值為.故答案為：3.（或，只需填寫一個(gè)答案即可）13.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為____________．【答案】【解析】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因?yàn)?，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故答案為：.14.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長(zhǎng)、短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓就稱為橢圓的蒙日?qǐng)A，其方程為.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，均在橢圓上，則動(dòng)點(diǎn)與橢圓的蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)的距離最小值為________（用含的式子表示）；若，橢圓的蒙日?qǐng)A上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍為________.【答案】①.②.【解析】因?yàn)闄E圓，其離心率，則，所以，故該橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，其半徑為，由于原點(diǎn)到蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)的距離為，原點(diǎn)到橢圓上任意一點(diǎn)的距離最大值為，故橢圓上的點(diǎn)與橢圓的蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)的距離最小值為；.若，則橢圓的方程為，即，蒙日?qǐng)A方程為，不妨設(shè)，因?yàn)槠湓诿扇請(qǐng)A上，所以，設(shè)，，又，由蒙日?qǐng)A的性質(zhì)，，與橢圓相切，、分別為切點(diǎn)，故直線的方程為，直線的方程為，將代入，的直線方程中可得，所以直線的方程為，將其與橢圓的方程聯(lián)立，消去得，則有，，所以.，，即，，故.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為.（1）求的中垂線的一般方程；（2）求底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡.解：（1）因?yàn)?，則中點(diǎn)為，則，，的方程為：，即.（2）設(shè)底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為，為等腰三角形，，則，又,，，又，，不能共線，所以去掉和這兩個(gè)點(diǎn)，∴點(diǎn)的軌跡方程為：，（去掉點(diǎn)和）.即點(diǎn)軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，并去掉和這兩個(gè)點(diǎn).16.如圖所示，平行六面體中，，分別在和上，，.（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若底面為正方形，且，，，與相交于點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.（1）證明：設(shè)，，，以為空間一組基底，，，則，即且，所以四邊形為平行四邊形.（2）解：由題意可知，，，，，由（1）可知，為平行四邊形，為的中點(diǎn)，則，則.，則點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離為.17.已知雙曲線的一條漸近線為，其虛軸長(zhǎng)為為雙曲線上任意一點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）求證：到兩條漸近線的距離之積為定值，并求出此定值；（3）若雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，求的最小值．（1）解：由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程為（2）證明：設(shè)，則，漸近線為，P到兩條漸近線的距離之積.所以P到兩條漸近線的距離之積為定值，即定值為.（3）解：由已知，得，設(shè)或，在雙曲線上，所以，，因此或，函數(shù)對(duì)稱軸為，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.18.如圖，在三棱錐中，平面平面，，.（1）證明：；（2）若點(diǎn)，，，都在半徑為的球的表面上.（i）求；（ii）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?又平面，所以.（2）（i）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，過點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.設(shè)球心，，由，得，解得，，.由（1）知平面，所以設(shè)，由，，得，，解得，，，則.（ii）解：由（i）可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.19.我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線.已知雙曲線與橢圓是“姊妹”圓錐曲線，分別為和的離心率，.（1）求橢圓的方程；（2）試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；（3）若，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)（兩點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱），為坐標(biāo)原點(diǎn)，的斜率分別為，問是否存在非零常數(shù)，使得時(shí)，的面積為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）已知雙曲線，由“姊妹”圓錐曲線的定義，可設(shè)橢圓的方程為，則，整理得，解得，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱