高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市深圳盟校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)在平面Oxy上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.不確定【答案】A【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面Oxy上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)，其豎坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與該點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相同，故點(diǎn)在平面Oxy上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，設(shè)傾斜角為且，則，所以.故選：B3.方程表示圓，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得：.故選：B.4.已知直線：：，：，則“”是“”的（）A充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，解得或,當(dāng)時(shí)，直線：，：，此時(shí)兩條直線重合，舍掉，當(dāng)時(shí)，直線：，：，此時(shí)兩條直線平行，“”是“”的充分必要條件.故選：.5.圓和圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】圓的圓心，半徑；和圓的圓心，半徑，，則，所以兩圓相交，故選：C.6.設(shè)點(diǎn)、，若直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】如圖所示：由題意得，所求直線的斜率滿足或，∵，，∴直線的斜率的取值范圍是或，故選：A.7.已知圓，直線l：，若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圓的圓心是，半徑，圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離等于1，所以圓心到直線l的距離，則，解得或，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是．故選：D．8.在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)的直線l交曲線于點(diǎn)A，B，沿x軸把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角，則線段長度的最小值為（）A. B.4 C. D.2【答案】D【解析】作垂直下半平面于點(diǎn)Q，作軸于H，連接，設(shè)，因?yàn)槠矫?，x軸在平面內(nèi)，所以軸，又軸，，平面，所以x軸平面，又平面，所以軸，則即為沿x軸把平面直角坐標(biāo)系折成的二面角的平面角，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，則，又，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以線段長度的最小值為2．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對于直線l：與圓C：，下列說法正確的是（）A.l過定點(diǎn) B.C的半徑為3C.l與C可能相切 D.l被C截得的弦長最小值為【答案】ABD【解析】對于A，可變形為，由，得，所以直線l過定點(diǎn)，故A正確：對于B，圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓C的圓心，半徑為，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以點(diǎn))在圓C內(nèi)部，所以直線l與C不可能相切，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)直線l所過定點(diǎn)為，則當(dāng)直線時(shí)，直線l被C截得的弦長最小．因?yàn)閳A心，所以，所以直線l的斜率，解得，此時(shí)直線．因?yàn)閳A心到直線l的距離，所以弦長為，故D正確．故選：ABD．10.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面 B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在棱上C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值 D.時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)P，使得【答案】AC【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，得，即，所以點(diǎn)P與重合，即為，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，即平面，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，得，即，因?yàn)椋渣c(diǎn)P在線段上，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，得，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在線段上，平面，即平面，所以，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，則，則，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，則，，，若，則，則，則，所以，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓C，則下列說法正確的是（）A.圓C的方程是B.過點(diǎn)A向圓C引切線，兩條切線的夾角為C.若x，y滿足圓C的方程，則的最大值是D.過直線上的一點(diǎn)P向圓C引切線，則四邊形的面積的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，設(shè)，因?yàn)?，，，則，化簡得，即，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，圓心，半徑，，點(diǎn)在圓外，設(shè)兩條切線的夾角為，所以，又，解得，則，故B正確；對于C，設(shè)，由題意直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即，解得，故的最大值是，故C正確；對于D，由題意可得四邊形的面積為，故只需求的最小值即可，的最小值為點(diǎn)C到直線的距離，即．所以四邊形的面積的最小值為，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，如果，則__________．【答案】15【解析】因，依題意，必有，即存在唯一的實(shí)數(shù)，使，即，則，解得：，故.故答案為：15.13.設(shè)直線與圓和圓均相切，則_____；b=______．【答案】①.②.【解析】設(shè)，，由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：.【點(diǎn)晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.14.已知，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則的最小值是________.【答案】【解析】可轉(zhuǎn)化為：，則圓心為C(2,1)，半徑為.設(shè)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)，則.最小值是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線與圓相切，求直線的方程．解：（1）聯(lián)立兩直線和，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，即，根據(jù)題意得：圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為：.綜上：直線的方程為或.16.如圖，在棱長為2的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)F到平面的距離．（1）證明：以D為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．解法一：因，，則，所以，又因?yàn)锳，E，F(xiàn)，四點(diǎn)不共線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．解法二：因?yàn)?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，即，取，所以，因?yàn)?，所以，得，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：設(shè)直線與平面所成角為，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：設(shè)點(diǎn)F到平面的距離為d，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)F到平面的距離為．17.已知圓C的圓心C在x軸上，并且過和兩點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，的面積為2，求實(shí)數(shù)m的值．解：（1）解法一：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，因?yàn)锳，B是圓上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，有，解得，所以圓心C的坐標(biāo)是．圓的半徑．所以所求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．解法二：設(shè)線段的中點(diǎn)為D．因?yàn)?，，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的斜率為．因此線段的垂直平分線的方程是，即．直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以圓心C的坐標(biāo)是，圓的半徑．所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）解法一：設(shè)圓心到直線的距離為d，，直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，則，所以，解得，即，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，解得．解法二：因?yàn)閳AC的半徑，則，又因?yàn)?，所以，所以是等腰直角三角形，所以圓心C到直線的距離，所以，解得．18.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成角的余弦值最大？并求出這個(gè)最大值．（1）證明：因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，因?yàn)榈酌?，所以，因?yàn)?，，所以，又，，平面，所以平面．?）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，，兩兩垂直．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，，，，，，，．由題設(shè)（）．因?yàn)?，，所以，所以．?）解：設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，即．令，則．因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面所成角為，，則．因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，平面與平面所成角的余弦值最大，最大值是．19.設(shè)圓C過點(diǎn)且與圓：相切于點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）已知，，三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值；（3）已知直線l：與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G的直線m與圓C交于D，E兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出這個(gè)定值.（1）解：由已知，將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的圓心，半徑，因?yàn)閳AC與圓相切于點(diǎn)，所以點(diǎn)C，，N三點(diǎn)共線，即圓C的圓心在直線上，因?yàn)橹本€的方程為，所以設(shè)圓C的圓心，因?yàn)?，在圓C上，所以，所以