高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省中山市某校2026屆高三上學(xué)期第三次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，，所以.故選：B.2.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得或，即或，由，，則.故選：D.3.已知平面向量的夾角為，且，，則（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】由，所以，即，即，整理得，解得或（舍去），所以.故選：B.4.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.5.已知是拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)上一點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，可得，又由，所以，在等腰中，可得，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選：A.6.若是方程的實(shí)數(shù)解，則稱是函數(shù)與的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”．若函數(shù)且與有且僅有兩個(gè)不同的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】且與有且僅有兩個(gè)不同的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”，，即有兩個(gè)不同實(shí)根，令，則在上有兩個(gè)不同實(shí)根，，則的取值范圍為．故選：D．7.已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí),，設(shè)，則，，，所以即在上單調(diào)遞減,所以,所以在上單調(diào)遞減,又因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?,又因?yàn)?因?yàn)?，所以,所以，即,所以,所以,即.故選：D.8.已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，直線與圓交于點(diǎn)（點(diǎn)不在橢圓內(nèi)部），則（）A. B.4 C.3 D.1【答案】C【解析】連接,設(shè)橢圓的基本量為，故答案為：3.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知直線：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.存在使得直線與直線：垂直C.當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為D.若，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€：，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：圓：的圓心為，半徑，因?yàn)椋芍c(diǎn)在圓內(nèi)，則對(duì)任意，直線與圓相交，又因?yàn)橹本€：的斜率為，所以當(dāng)，則，兩直線垂直，所以存在使得直線與直線：垂直，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若取到最小值，等價(jià)于取到最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)直線：,，，又因?yàn)橹本€：不可能表示，所以,即無(wú)最小，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則直線：，則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故D正確；故選：BD.10.已知函數(shù)，若及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.的最大值為【答案】AB【解析】因?yàn)?，所以，根?jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，故，從而．又，所以，由得，故，．選項(xiàng)A：的最小正周期為，故，A正確．選項(xiàng)B：令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確．選項(xiàng)C：由于，，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D：，其中為銳角，且，（輔助角公式的應(yīng)用）,所以的最大值為，D錯(cuò)誤．故選：AB.11.已知函數(shù)，則（）A.B.是的極值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：由題可知：，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由得函數(shù)的定義域?yàn)椋谏虾愠闪?，所以函?shù)單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，由選項(xiàng)B知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，即，由選項(xiàng)B知函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是第一象限角，且，則__________.【答案】【解析】由題意可得，即，因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以，，，所以，，所以，故答案為?13.若函數(shù)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是周期為2的奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以?故答案為：.14.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M，N，且M，N分別位于第二、三象限，若，則C的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?，可得，且兩漸近線關(guān)于軸對(duì)稱，則，又因?yàn)橹本€斜率為，則，令，則，，在中，由正弦定理得，可得，解得，可得，所以的離心率.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.（1）證明：易知，，則為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，證畢；（2）解：由上的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，知的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以，即，，兩式相加得，所以.16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若的面積為，求邊上的高．解：（1）∵，由正余弦邊角關(guān)系得，①，又，②由①②得，，∴，∴.（2）由（1）得，，∵為銳角，∴，∴的面積，∴，設(shè)邊上的高為，則的面積，∴，即邊上的高為．17.已知函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，在中，角所對(duì)的邊分別為，且，求邊的取值范圍.解：（1）由，因?yàn)?，可?又因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)極值點(diǎn)，則滿足，解得，所以的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，可得，由，可得，即，因?yàn)椋傻?，所以，解得，所以，又由正弦定理，可得，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知雙曲線的右頂點(diǎn)到其漸近線的距離為．點(diǎn)在的漸近線上，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若的面積為，求的方程；（3）證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．（1）解：因?yàn)榈囊粭l漸近線方程為，到漸近線的距離為，過(guò)得，解得：，所以的方程為①．（2）解：顯然直線的斜率存在，設(shè)的方程為②，①②聯(lián)立得：．則有③，④，設(shè)，則⑤，⑥，把⑤⑥代入：，所以，得：，解得：．滿足③④式，則直線的方程為．（3）證明：設(shè)，不妨設(shè)．則直線⑦，聯(lián)立①⑦得：，則，則；同理：．而，，又三點(diǎn)共線，則有，則，得：，所以的中點(diǎn)為定點(diǎn)．19.已知函數(shù)．（1）時(shí)，求的極值；（2）若函數(shù)．（i）證明：曲線圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)處的切線均不重合；（ii）若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則其定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，無(wú)極小值.（2），其定義域?yàn)?，（i）證明：設(shè)為圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，，，在點(diǎn)處的切線方程分別為，，即，，若在點(diǎn)處的切線重合，則，，即，，即，設(shè)，，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，方程無(wú)解，曲線圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)處的切線均不重合.（ii）解：，令，