高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西賀州市普通高中2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量抽檢數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令分別取，，，，可知，所以故選：A.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】C【解析】由純虛數(shù)的定義可知，解得.故選：C.3.已知直線與垂直，則（）A.或2 B. C. D.0【答案】C【解析】直線與垂直，解得：.故選：C.4.雙曲線的其中一條漸近線的斜率為，則離心率的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線的漸近線方程為，所以由題可知，所以雙曲線的離心率為.故選：D.5.在等差數(shù)列中，，則（）A.14 B.16 C.18 D.28【答案】B【解析】因為等差數(shù)列中，，，故選：.6.若，，，則，，之間的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，即；，即；，即，所以.故選：D.7.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，且平面平面為線段上一點(diǎn)，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，，，所以，過作于，則，所以，，連接，則四邊形為矩形，其中，因為平面，平面平面所以平面，又因為平面所以，又，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，所以，所以，所以，所以，因為軸垂直于平面，所以取平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：A.8.點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】由圓方程知圓心為，半徑為1，因為為圓的切線，所以，，，，要使得最小，只要最小，由切線長公式知，只要最小.當(dāng)時，，此時,所以的最小值是，故選：C.C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知圓，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的方程為B.當(dāng)時，直線與圓相切C.當(dāng)時，直線截圓的弦長為D.當(dāng)時，圓上只有2個點(diǎn)到直線的距離為1【答案】AD【解析】對于A，由，所以直線的方程為，即，故A正確；對于B，當(dāng)時，圓，所以圓心到直線的距離為，則，所以圓與直線相交，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，圓心到直線的距離為，所以直線截圓的弦長為，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，圓心到直線的距離為，所以圓與直線相交，又，所以圓上只有兩個點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：AD.10.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（）A.若為線段的中點(diǎn)，則直線平面B.三棱錐的體積為C.在線段上存在點(diǎn)，使得D.若，則點(diǎn)軌跡長為【答案】ABD【解析】以為原點(diǎn)，方向為軸建立空間坐標(biāo)系，棱長為，,,,,,,,,，分別是，的中點(diǎn),,,點(diǎn)在正方形上，設(shè)，其中，對于A選項：為線段的中點(diǎn)，則,,又是正方體，則是平面的法向量，，即，又平行平面，所以直線平行平面，A選項正確；對于B，三棱錐體積與相同，的頂點(diǎn)，，，點(diǎn)到的距離恒為，于是，B選項正確對于C，在線段上：，設(shè)，，垂直條件即，，但，所以不存在這樣的點(diǎn),C選項錯誤；對于D，即，，，，，點(diǎn)限制在，且平面上，因此在這個范圍內(nèi)對應(yīng)一條線段：當(dāng)時，得；當(dāng)時，得，線段長度：，所以軌跡長為，D選項正確.故選：ABD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是B.面積的最小值是C.若，則的最小值為D.若，則可能為線段的中點(diǎn)【答案】ABC【解析】對于A選項，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，A對；對于B選項，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，此時該直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不符合題意，易知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故面積的最小值是，B對；對于C選項，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：由拋物線的定義可得，所以，故當(dāng)點(diǎn)、、共線時，即當(dāng)與拋物線準(zhǔn)線垂直時，取最小值，C對；對于D選項，若為線段的中點(diǎn)，則，解得，此時，直線的方程為，即，故直線的斜率為，又因為，則，不合乎題意，故點(diǎn)不可能為線段的中點(diǎn)，D錯.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在一次數(shù)學(xué)測驗中，某小組的7位同學(xué)的成績分別為89，109，122，126，131，134，140，則這7位同學(xué)成績的上四分位數(shù)與下四分位數(shù)的差為___________．【答案】25【解析】由，得這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為109，由，得這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為134，所以所求差為.故答案為：25.13.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若圓上存在動點(diǎn)滿足，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】設(shè)，，，，，，，即，化簡得，在以為圓心，為半徑的圓上，又點(diǎn)在圓上，兩個圓有公共點(diǎn)，設(shè)圓心距為，則，又，，解得，則的取值范圍是.故答案為：.14.2024央視春晚魔術(shù)表演的背景是約瑟夫問題，這是一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言描述為：將數(shù)字按順時針排列在圓周上，首先取走數(shù)字2，然后按照順時針方向，每隔一個數(shù)字就取走一個數(shù)字，直到圓周上只剩下一個數(shù)字，將這個數(shù)字記為．例如時，操作可知，則___________．【答案】17【解析】由題意，圓周上順時針排列時，可得，就是這個數(shù)中的第個數(shù)；當(dāng)圓周上順時針排列時，第一輪操作將劃去所有偶數(shù)，留下共個數(shù)，它們第個數(shù)是，所以，是這個數(shù)中的第個數(shù)；當(dāng)圓周上順時針排列時，第一輪操作將劃去所有偶數(shù)，留下共個數(shù)，它們的第個數(shù)是，所以，是這個數(shù)中的第個數(shù)；當(dāng)圓周上順時針排列時，第一輪操作將劃去所有偶數(shù)，留下共個數(shù)，它們的第個數(shù)是，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若的面積為，求邊上的高．解：（1）在中，由，得，由正弦定理得.（2）由（1）知，又的面積是，則，解得，由余弦定理得，設(shè)邊上的高為，而，因此，所以.16.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)名學(xué)生中抽取人，得到的日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：學(xué)業(yè)成績?nèi)站w育鍛煉時長/小時優(yōu)秀5603031不優(yōu)秀1351501304125（1）該地區(qū)名學(xué)生中日均體育鍛煉時長不少于小時的人數(shù)約為多少？（2）估計該地區(qū)初中學(xué)生的日均體育鍛煉時長．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，最后結(jié)果精確到）（3）在日均體育鍛煉時長在的小組中，按學(xué)業(yè)成績是否優(yōu)秀采用分層抽樣的方法抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查，并從人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談，求訪談的人中至少有人的學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的概率．解：（1）由表可知鍛煉時長不少于小時的人數(shù)占比為，所以，則估計該地區(qū)學(xué)生中體育鍛煉時長不少于小時的人數(shù)約為人；（2）因為樣本中該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為：，則估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉時長為小時．（3）因為該組中學(xué)業(yè)優(yōu)秀和不優(yōu)秀的學(xué)生比例為，所以用分層抽樣抽出人中，學(xué)業(yè)優(yōu)秀的學(xué)生占人，記為，學(xué)業(yè)不優(yōu)秀的學(xué)生占人，記為，則從人中抽取人樣本空間為，所以從人中抽取人的所有基本事件共有個，設(shè)訪談的人中至少有人是學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀為事件，則，共個基本事件，所以訪談人中至少有人是學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的概率：．17.如圖，與所在平面垂直，且．（1）證明：．（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（3）求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：延長，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接.由平面平面，平面平面，平面，則平面，由，得，故，.又，得，則，即.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，知，，，，所以，，因為，所以，即.（2）解：易知平面的法向量，又，設(shè)平面的法向量為，，令，則，故，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，故平面與平面的夾角的余弦值為；（3）解：，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.已知正項數(shù)列滿足（且），.（1）求；（2）求的通項公式；（3）設(shè)的前項和為，若恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為，（且），所以，又，所以，，又，所以，，又，所以；（2）因為，所以（且），即，又因為，所以，所以是以1為首項、1為公差等差數(shù)列，所以；（3）由（2）得.所以即為，又因為，所以該不等式等價于，又因為（當(dāng)且僅當(dāng)時，）.所以19.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，其左、右頂點(diǎn)分別為，為橢圓上異于的兩點(diǎn)．（1）