高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西南寧市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.3.已知點是點在平面內(nèi)的射影，則（）A. B.9 C. D.18【答案】C【解析】因為點是點在平面內(nèi)的射影，所以，所以，所以.故選：C.4.橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和為（）A8 B.12 C.32 D.72【答案】B【解析】由橢圓方程可知，所以橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和為.故選：B.5.若構(gòu)成空間一個基底，則下列選項中的向量也可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】選項A，若共面，則存在實數(shù)使得，即，因為不共面，所以，解得，所以為共面向量，所以不能作為基底，故A錯誤；選項B，若共面，則存在實數(shù)使得，因為不共面，所以，解得，所以存在實數(shù)使得，即共面，所以不能作為基底，故B錯誤；選項C，若共面，則存在實數(shù)使得，即，因為不共面，所以，解得，所以共面，所以不能作為基底，故C錯誤；選項D，若共面，則存在實數(shù)使得，即，因為不共面，所以，方程組無解，所以不為共面向量，所以能作為基底，故D正確.故選：D.6.已知函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】因為函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，所以.故選：B.7.已知直線與圓交于兩點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得圓心，半徑，由直線，可得直線恒過定點，又越小，則圓心到直線的距離越大，又，所以圓心到直線的距離的最大值為，此時，所以，所以的最大值為.8.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一條直線上．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點，，則的歐拉線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以的重心，即，又因為，，所以，所以，所以的外心為的中點，即，所以直線的方程為，即，又三角形的外心、垂心和重心都在同一條直線上，所以的歐拉線方程為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，直線，則下列選項正確的是（）A.直線在軸上的截距為B.直線的斜率為C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】對于選項A，B：直線，令，解得，可知直線在軸上的截距為，故A正確；整理可得，可知直線的斜率為，故B錯誤；對于選項C：若，則，解得，故C正確；對于選項D：若，則直線，即，可知直線與直線重合，故D錯誤；故選：AC.10.如圖，這是某一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則（）A.樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻數(shù)為48B.樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為0.1C.樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為11.52D.樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為13【答案】ACD【解析】由題意可知：各組的頻率依次為，，，，.對于選項A：樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻數(shù)為，故A正確；對于選項B：樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為，故B錯誤；對于選項C：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為，故C正確；對于選項D：因為，，可知樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)，則，解得，所以樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為13，故D正確；故選：ACD.11.將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再將所得圖像向左平移個單位長度，得到偶函數(shù)的圖像，則下列正確的有（）A.B.C.圖像的一個對稱中心為D.的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】BCD【解析】由圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的得函數(shù)的圖像，再將所得圖像向左平移個單位長度得函數(shù)，即，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，又，所以，故A錯誤；所以，故B正確；所以，又因為，所以圖像的一個對稱中心為，故C正確；由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在一段線路中并聯(lián)兩個自動控制的常用開關(guān)，只要其中有一個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是，則這段時間內(nèi)線路正常工作的概率為________.【答案】0.91或【解析】線路不能正常工作的概率為：，∴能夠正常工作的概率為，故答案為：0.91.13.雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，則雙曲線的離心率為___________．【答案】【解析】由題意可得，又，可解得，所以.故答案為：.14.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則___________．【答案】12【解析】由題意可知：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)，，則，，因為，則，解得，所以.故答案為：12.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求的面積；（2）求的值；（3）求外接圓的面積．解：（1）因為，所以.（2）在中，，由余弦定理可得，所以.（3）由（2）可得，又，在中，由正弦定理可得，所以，所以外接圓的面積為．16.已知圓，直線過點．（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線的方程；（2）若直線與圓相切，求直線的方程．解：（1）由題意可知：滿足條件的直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，令，解得；令，解得；可知直線在坐標(biāo)軸上的截距分別為，則，解得或，所以直線的方程為或.（2）圓即為，可知圓心為，半徑，若直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，可得圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為；若直線的斜率不存在，直線的方程為，可得圓心到直線的距離，符合題意；綜上所述：直線的方程為或.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，．（1）求；（2）求異面直線與夾角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的大?。猓海?）因為平面，，以為坐標(biāo)原點，分別為軸，與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，，則，，所以.（2）由（1）可知：，，則，所以異面直線與夾角的余弦值為.（3）由（1）可知：，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，可得，所以直線與平面所成角的大小為.18.曲率半徑可用來描述曲線上某點處的彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點處的彎曲程度越?。阎獧E圓上點處的曲率半徑公式為．已知橢圓上所有點相應(yīng)的曲率半徑的最大值為，最小值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程：（3）記橢圓的左焦點為，為橢圓上一動點，定點，求的最大值．解：（1）因為點在橢圓上，則，即，可得，因為，則，可得，所以，則，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因為，可知點在橢圓內(nèi)，直線與橢圓必相交，設(shè)，，則線段的中點坐標(biāo)為，可得，，，因為點，在橢圓內(nèi)，則，兩式相減得，整理可得，即，可得，所以直線方程為，即.（3）由題意可知：，則橢圓的左、右焦點分別為，，因為，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)點在的延長線上時，等號成立，所以的最大值為.19.已知雙曲線左頂點為，過點的直線與圓交于兩點，且的最小值為，當(dāng)直線平行于雙曲線的漸近線時，點到直線的距離為．（1）求雙曲線的方程．（2）若直線，與雙曲線分別交于，兩點（均不與重合），試判斷直線是否過定點．若過定點，請求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．解：（1）圓的圓心為，半徑，因為直線過點，可知當(dāng)且僅當(dāng)直線，取得最小值，此時，即，解得，則，雙曲線的漸近線方程為，即，直線平行于雙曲線的漸近線時，直線的方程為，且點到直線的距離為，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知：直線的斜率可能不存在，但不為0，直線與圓必相交，設(shè)直線，，，，聯(lián)立方程，消去x可得