2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)【公開課課件】第22章

二次函數(shù)22.1.1二次函數(shù)1.會(huì)列二次函數(shù)表示實(shí)際問題中兩個(gè)變量的數(shù)量關(guān)系.2.能判斷所給函數(shù)是否是二次函數(shù)，能說出二次函數(shù)的項(xiàng)和各項(xiàng)系數(shù).#人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《22.1.1二次函數(shù)》教學(xué)包（可直接課堂使用）##一、教學(xué)過程（45分鐘，分環(huán)節(jié)實(shí)操）###（一）情境導(dǎo)入（5分鐘）1.展示3個(gè)生活實(shí)例（配圖片/視頻片段）：-實(shí)例1：籃球出手后在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡（播放10秒短視頻）-實(shí)例2：噴水槍噴出的水流形狀（展示靜態(tài)圖片）-實(shí)例3：正方形邊長(zhǎng)為x，面積y與x的關(guān)系（PPT呈現(xiàn)圖形）2.提問引導(dǎo)（師生互動(dòng)）：-“這些現(xiàn)象的變化規(guī)律能用我們學(xué)過的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）表示嗎？”（學(xué)生回答：不能）-“那它們的變量之間存在怎樣的關(guān)系？我們今天來探究一種新的函數(shù)——二次函數(shù)?！?##（二）新知探究（15分鐘）####1.列關(guān)系式（小組合作+板書展示）-任務(wù)：讓學(xué)生分組寫出3個(gè)實(shí)例的變量關(guān)系式，每組派代表板書：-實(shí)例1（籃球軌跡）：設(shè)籃球出手高度1.5m，水平距離xm，豎直高度ym，關(guān)系式為y=-0.2x2+x+1.5（教師補(bǔ)充合理系數(shù)）-實(shí)例2（水流）：設(shè)噴水口高度2m，水平距離xm，水流高度ym，關(guān)系式為y=-0.1x2+0.8x+2-實(shí)例3（正方形面積）：y=x2-追問：“這些關(guān)系式有什么共同特征？”（學(xué)生討論后發(fā)言）####2.定義總結(jié)（教師精講）-板書二次函數(shù)定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。-強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵要點(diǎn)（結(jié)合實(shí)例標(biāo)注）：-a≠0（若a=0，關(guān)系式變?yōu)閥=bx+c，是一次函數(shù)）-自變量x的最高次數(shù)是2-等式右邊是整式-明確各部分名稱：a是二次項(xiàng)系數(shù)，bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。####3.即時(shí)辨析（課堂小練）-給出6個(gè)關(guān)系式，讓學(xué)生快速判斷是否為二次函數(shù)，說明理由：1.y=3x2+2（是）2.y=x2+（分母含x，不是）3.y=2x+5（不是，一次函數(shù)）4.y=-x2+3x-1（是）5.y=(x+1)2-x2

（化簡(jiǎn)為y=2x+1，不是）6.y=πx2

（是，π是常數(shù)）-請(qǐng)2-3名學(xué)生口頭回答，教師糾錯(cuò)補(bǔ)充。###（三）例題講解（10分鐘）####例1：識(shí)別二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)-題目：寫出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

（1）y=5x2-3x+1（2）y=-x2+2（3）y=3x(x-2)-解題步驟（板書規(guī)范格式）：-（1）直接識(shí)別：a=5，b=-3，c=1-（2）一次項(xiàng)系數(shù)為0：a=-1，b=0，c=2-（3）先整理成一般形式：y=3x2-6x，故a=3，b=-6，c=0-強(qiáng)調(diào)：“必須先將函數(shù)關(guān)系式化為一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c，再確定系數(shù)，注意符號(hào)?！?###例2：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式-題目：用長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形花園，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xm，面積為ym2，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷是否為二次函數(shù)。-解題過程（師生共同分析）：-第一步：確定另一邊長(zhǎng)?；h笆總長(zhǎng)20m，矩形對(duì)邊相等，故另一邊長(zhǎng)為(20÷2-x)=(10-x)m-第二步：列面積關(guān)系式。面積=長(zhǎng)×寬，即y=x(10-x)-第三步：整理一般形式：y=-x2+10x-第四步：判斷：a=-1≠0，是二次函數(shù)-追問：“x的取值范圍是什么？”（引導(dǎo)學(xué)生考慮實(shí)際意義：x>0，10-x>0，故0<x<10）###（四）課堂練習(xí)（10分鐘）1.基礎(chǔ)題（全體必做）：-（1）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A.y=2x-1B.y=C.y=x2+2x-3D.y=(x-1)2-x2-（2）寫出二次函數(shù)y=-2x2+5x-的二次項(xiàng)系數(shù)a=____，一次項(xiàng)系數(shù)b=____，常數(shù)項(xiàng)c=____。2.提升題（選做）：-一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的和為10cm，設(shè)其中一條直角邊為xcm，面積為ycm2，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。-學(xué)生獨(dú)立完成后，同桌互查，教師巡視指導(dǎo)，最后公布答案并講解易錯(cuò)點(diǎn)。###（五）課堂小結(jié)（3分鐘）-師生共同回顧：-二次函數(shù)的定義和一般形式（強(qiáng)調(diào)a≠0）-如何確定二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)（先化一般形式）-如何根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式（注意自變量取值范圍）-提問：“今天你學(xué)會(huì)了什么？還有什么疑問？”（解答學(xué)生遺留問題）###（六）布置作業(yè)（2分鐘）1.教材練習(xí)第1、2、3題（必做）2.拓展題：觀察生活中還有哪些現(xiàn)象可以用二次函數(shù)表示，記錄下來并嘗試列出關(guān)系式（選做）##二、PPT分頁(yè)內(nèi)容（共12頁(yè)，直接復(fù)制使用）###第1頁(yè)：封面-標(biāo)題：22.1.1二次函數(shù)-副標(biāo)題：人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-制作者：XXX-日期：XXXX年XX月XX日###第2頁(yè)：情境導(dǎo)入-標(biāo)題：生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象-內(nèi)容：3張圖片（籃球軌跡、水流形狀、正方形）+提問：“這些現(xiàn)象的變量關(guān)系能用一次函數(shù)表示嗎？”###第3頁(yè)：實(shí)例關(guān)系式-標(biāo)題：列出變量關(guān)系式-內(nèi)容：1.籃球軌跡：y=-0.2x2+x+1.52.水流形狀：y=-0.1x2+0.8x+23.正方形面積：y=x2-提問：“這些關(guān)系式有什么共同特征？”###第4頁(yè)：二次函數(shù)定義-標(biāo)題：二次函數(shù)的定義-內(nèi)容：

一般形式：y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）

各部分名稱：-二次項(xiàng)：ax2（系數(shù)a）-一次項(xiàng)：bx（系數(shù)b）-常數(shù)項(xiàng)：c

關(guān)鍵條件：a≠0，自變量最高次數(shù)為2，整式函數(shù)###第5頁(yè)：即時(shí)辨析-標(biāo)題：判斷下列函數(shù)是否為二次函數(shù)-內(nèi)容：1.y=3x2+2（

）

理由：________2.y=x2+（

）

理由：________3.y=2x+5（

）

理由：________4.y=-x2+3x-1（

）

理由：________5.y=(x+1)2-x2

（

）

理由：________6.y=πx2

（

）

理由：________###第6頁(yè)：例題1-標(biāo)題：例題1：識(shí)別各項(xiàng)系數(shù)-內(nèi)容：

寫出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

（1）y=5x2-3x+1

（2）y=-x2+2

（3）y=3x(x-2)

解題步驟：先化一般形式，再確定系數(shù)（注意符號(hào)）###第7頁(yè)：例題1解答-標(biāo)題：例題1解答過程-內(nèi)容：

（1）a=5，b=-3，c=1

（2）y=-x2+0x+2→a=-1，b=0，c=2

（3）y=3x2-6x+0→a=3，b=-6，c=0

總結(jié)：常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)不能省略，一次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)需標(biāo)注b=0###第8頁(yè)：例題2-標(biāo)題：例題2：列實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式-內(nèi)容：

題目：用長(zhǎng)為20m的籬笆圍成矩形花園，設(shè)一邊長(zhǎng)為xm，面積為ym2，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷是否為二次函數(shù)。

分析：-另一邊長(zhǎng)：(10-x)m-面積公式：y=長(zhǎng)×寬-自變量取值范圍：實(shí)際意義限制###第9頁(yè)：例題2解答-標(biāo)題：例題2解答過程-內(nèi)容：

解：∵矩形另一邊長(zhǎng)為(10-x)m∴y=x(10-x)=-x2+10x∵a=-1≠0，∴是二次函數(shù)

自變量x的取值范圍：0<x<10（邊長(zhǎng)為正數(shù)）###第10頁(yè)：課堂練習(xí)-標(biāo)題：鞏固練習(xí)-內(nèi)容：1.選擇題：下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A.y=2x-1B.y=C.y=x2+2x-3D.y=(x-1)2-x22.填空題：y=-2x2+5x-的a=____，b=____，c=____3.解答題：直角三角形兩直角邊和為10cm，設(shè)一邊為xcm，面積為ycm2，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍。###第11頁(yè)：課堂小結(jié)-標(biāo)題：本節(jié)課重點(diǎn)回顧-內(nèi)容：1.二次函數(shù)定義：y=ax2+bx+c（a≠0）2.各項(xiàng)系數(shù)確定：先化一般形式，注意符號(hào)3.實(shí)際問題建模：列關(guān)系式+自變量取值范圍

疑問解答：________###第12頁(yè)：作業(yè)布置-標(biāo)題：課后作業(yè)-內(nèi)容：1.必做：教材練習(xí)第1、2、3題2.選做：觀察生活中二次函數(shù)現(xiàn)象，嘗試列關(guān)系式3.預(yù)習(xí)：22.1.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)##三、教學(xué)輔助素材###1.易錯(cuò)點(diǎn)提醒（課堂強(qiáng)調(diào)）-忽略a≠0的條件：如判斷y=kx2+bx+c是否為二次函數(shù)時(shí)，需注明k≠0-系數(shù)符號(hào)錯(cuò)誤：如y=-x2+3x中，二次項(xiàng)系數(shù)是-1，不是1-未化一般形式直接找系數(shù)：如y=3x(x-1)，需先整理為y=3x2-3x，再確定a=3，b=-3，c=0-忽略自變量取值范圍：實(shí)際問題中，自變量需滿足實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積為正數(shù)）###2.課堂互動(dòng)小游戲（可選，5分鐘）-游戲名稱：“二次函數(shù)偵探”-規(guī)則：教師說出一個(gè)函數(shù)特征（如“二次項(xiàng)系數(shù)為2，常數(shù)項(xiàng)為-3”），學(xué)生快速舉手說出符合條件的二次函數(shù)（如y=2x2+5x-3、y=2x2-3等），說對(duì)的學(xué)生獲得“偵探勛章”（貼紙獎(jiǎng)勵(lì)）-目的：快速鞏固二次函數(shù)的定義和系數(shù)特征，活躍課堂氣氛###3.拓展資源（選講）-介紹二次函數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景：如拋物線形拱橋、衛(wèi)星軌道（簡(jiǎn)單提及，激發(fā)興趣）-趣味小知識(shí)：“二次函數(shù)的圖象是拋物線，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最早研究了拋物線的性質(zhì)”你是否注意過噴泉水流所經(jīng)過的路線？你是否注意過籃球入籃的路線？它們會(huì)與某種函數(shù)有聯(lián)系嗎？什么是函數(shù)？1.什么是函數(shù)？一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).2.目前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？一次函數(shù)y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)問題1：正方體六個(gè)面是全等的正方形，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，表面積為y，則y關(guān)于x的關(guān)系式怎樣表示?x2y=6x2問題2：n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次數(shù)m與球隊(duì)數(shù)n有什么關(guān)系?【分析】每個(gè)球隊(duì)與其他_____個(gè)球隊(duì)各比賽一場(chǎng).n-1m=n(n-1)m=n2-n問題3：某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量為20t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x值而確定，y與x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示?【分析】一年后的產(chǎn)量：20(1+x)兩年后的產(chǎn)量：20(1+x)(1+x)y=20(1+x)2y=20x2+40x+20思考y=6x2m=n2-ny=20x2+40x+20問題1，2，3中這三個(gè)關(guān)系式有什么共同點(diǎn)?1.函數(shù)關(guān)系式；2.函數(shù)解析式是整式；3.自變量的最高次數(shù)是2.二次函數(shù)二次（一元）二次方程函數(shù)一次函數(shù)ax2+bx+c=0(a≠0)y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)二次函數(shù)的概念：二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).二次函數(shù)解析式必須同時(shí)滿足的三個(gè)條件：（1）函數(shù)解析式是整式；（2）化簡(jiǎn)整理后自變量的最高次數(shù)是2；（3）二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即a≠0.二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)的特殊形式：當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax2(a≠0)當(dāng)c=0時(shí)，y=ax2+bx(a≠0)當(dāng)b=0時(shí)，y=ax2+c(a≠0)一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)可以為0.例1判斷下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)?若是二次函數(shù)，分別指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(1)y=3(x-1)2+1(2)y=(3)S=3-2t2先整理化簡(jiǎn)y=3x2-6x+4二次項(xiàng)系數(shù)：3,一次項(xiàng)系數(shù)：-6,常數(shù)項(xiàng)：4√不是整式×√=-2t2+3二次項(xiàng)系數(shù)：-2,一次項(xiàng)系數(shù)：0,常數(shù)項(xiàng)：3(4)y=(x+3)2-x2先整理化簡(jiǎn)y=6x+9×(5)V=10πr2√二次項(xiàng)系數(shù)：10π,一次項(xiàng)系數(shù)：0,常數(shù)項(xiàng)：0(6)y=ax2×a≠0才是二次函數(shù)歸納：判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，先看原函數(shù)和整理化簡(jiǎn)后的形式再作判斷.例2(1)已知函數(shù)y=(k-2)x2-5x+3是二次函數(shù)，求k的取值范圍.一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)解：∵k-2≠0，∴k≠2.(2)已知函數(shù)y=4xk-3+x-5是二次函數(shù)，求k的值.解：∵k-3=2，∴k=5.(3)y=(m-2)

+4是二次函數(shù)，求m的取值范圍和函數(shù)解析式.解：m2-2=2，m-2≠0.得m=±2，m≠2.∴m=-2.∴此時(shí)函數(shù)解析式為y=-4x2-4.本題易忽略二次項(xiàng)系數(shù)a≠0這一限制條件，從而得出m=2的錯(cuò)誤答案，需要引起同學(xué)們的重視.例3矩形的周長(zhǎng)為16cm，它的一邊長(zhǎng)為xcm，面積為ycm2.求(1)y與x之間的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x=3時(shí)，求矩形的面積.【分析】矩形的周長(zhǎng)為16長(zhǎng)+寬=8另一邊=8-x解：(1)y=x(8-x)=-x2+8x(0<x<8)(2)當(dāng)x=3時(shí)，y=-32+8×3=15(cm2)練習(xí)1.一個(gè)圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與底面半徑r之間的關(guān)系式.【教材P29練習(xí)第1題】S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr2=4πr2練習(xí)2.如圖，矩形綠地的長(zhǎng)、寬各增加xm，寫出擴(kuò)充后的綠地的面積y與x的關(guān)系式.【教材P29練習(xí)第2題】y=(30+x)x+20x+20×30=30x+x2+20x+600=

x2+50x+600實(shí)際問題歸納抽象數(shù)學(xué)模型性質(zhì)、特點(diǎn)實(shí)際問題的答案1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）

A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=x-22.二次函數(shù)y=3x2-2x-4的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和是（）

A.1B.-1C.7D.-63.已知函數(shù)y=(a-1)