第五單元數(shù)列第28講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課前雙擊鞏固1.數(shù)列的有關(guān)概念有關(guān)概念定義數(shù)列按照排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的

數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與之間的關(guān)系式

前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中,Sn=

2.數(shù)列的表示法表示法定義列表法通過表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖像法用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的y軸一系列孤立的點(diǎn)表示

公式法通項(xiàng)公式an=

遞推公式an+1=f(an);an+1=f(an,an1)3.數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件單調(diào)性遞增數(shù)列n∈N*

遞減數(shù)列

常數(shù)列an+1=an周期性周期數(shù)列對(duì)n∈N*,存在正整數(shù)常數(shù)k,使an+k=

其他標(biāo)準(zhǔn)有界數(shù)列存在正數(shù)M,使

擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)4.an與Sn的關(guān)系已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,則an=S1常用結(jié)論求數(shù)列的最大(小)項(xiàng),一般可以利用數(shù)列的單調(diào)性,即用an≥an-1,an≥an+1(n≥2,n∈N*)或an題組一常識(shí)題1.[教材改編]已知數(shù)列的前幾項(xiàng)為1,322,532,72.[教材改編]已知數(shù)列an滿足an=(nλ)2n(n∈N*),若{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是3.[教材改編]在數(shù)列an中,若a1=1,an=1+1an-1(n≥2),則題組二常錯(cuò)題◆索引:忽視數(shù)列是特殊的函數(shù),其自變量為正整數(shù)集N*或其子集{1,2,…,n};求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)忽視項(xiàng)為零的情況;根據(jù)Sn求an時(shí)忽視對(duì)n=1的驗(yàn)證.4.在數(shù)列1,0,19,18,…,n-2n2中,05.在數(shù)列{an}中,an=n2+6n+7,當(dāng)其前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí),n=.

6.已知Sn=2n+3,則an=.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式1(1)數(shù)列an的前幾項(xiàng)為12,3,112,8,212,…,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是 A.an=5n-42C.an=6n-5(2)數(shù)列32,54,78,916,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為A.an=(1)n·2B.an=(1)n·2C.an=(1)n+1·2D.an=(1)n+1·2(3)數(shù)列an的前幾項(xiàng)為7,77,777,7777,…,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是[總結(jié)反思]由數(shù)列前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略:(1)常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.同時(shí)也可以使用添項(xiàng)、還原、分割等方法,轉(zhuǎn)化為一個(gè)常見數(shù)列,通過常見數(shù)列的通項(xiàng)公式求得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)具體策略:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項(xiàng)的變化特征,如遞增時(shí)可考慮關(guān)于n為一次遞增或以2n,3n等形式遞增;③拆項(xiàng)后的特征;④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值的特征;⑤化異為同,對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系;⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可用(1)n或(1)n+1,n∈N*來處理.式題(1)數(shù)列152,245,3510,4817,6326(2)數(shù)列13,45,97,169探究點(diǎn)二由an與Sn求通項(xiàng)公式an2(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+n2+1(n∈N*),則通項(xiàng)公式為an=.

(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足an+2SnSn1=0(n≥2,n∈N*),a1=12,則通項(xiàng)公式為an=[總結(jié)反思]已知Sn求an的常用方法是利用an=S1,n=1,Sn-S(1)先利用a1=S1,求得a1;(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系式,利用an=SnSn1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí)的通項(xiàng);(3)對(duì)n=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合n≥2,n∈N*時(shí)an的表達(dá)式,如果符合則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.式題(1)[2017·西寧五中月考]已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=13n2+23,則通項(xiàng)公式為an=(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an2,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=探究點(diǎn)三數(shù)列的函數(shù)特征考向1求最大(小)項(xiàng)3(1)[2017·臨川實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考]已知an=n-2017n-2016(n∈N*),則在數(shù)列an的前100A.a1,a100 B.a100,a44C.a45,a44 D.a44,a45(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(n+1)1011n(n∈N*),則該數(shù)列的最大項(xiàng)是第[總結(jié)反思]求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法:(1)將數(shù)列視為函數(shù)fx當(dāng)x∈N*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,根據(jù)fx的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖像,或利用求函數(shù)最值的方法,求出fx的最值,進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng);(2)通過通項(xiàng)公式an研究數(shù)列的單調(diào)性,利用an≥an-1,an≥an+1(n≥(3)比較法:若有an+1an=f(n+1)f(n)>0或an>0時(shí),an+1an>1,則an+1>an,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1=f(若有an+1an=f(n+1)f(n)<0或an>0時(shí),an+1an<1,則an+1<an,則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1=f(1考向2單調(diào)性的應(yīng)用4[2017·永州二模]已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n(λn)6,若an為遞減數(shù)列,則λ的取值范圍是 (A.-∞,2 B.C.-∞,4 D.[總結(jié)反思]數(shù)列的單調(diào)性是數(shù)列最重要的性質(zhì)之一,它在求參數(shù)的取值范圍、證明不等式及恒成立等問題中有著廣泛應(yīng)用.應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷單調(diào)性,判斷數(shù)列單調(diào)性的常用方法有兩個(gè):(1)利用數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷;(2)對(duì)數(shù)列的前后項(xiàng)作差(或作商),利用比較法判斷.強(qiáng)化演練1.【考向1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-23n,則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為 A.a1 B.a2C.a3 D.a42.【考向1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=49n-123n-1,則數(shù)列A.有最大項(xiàng),沒有最小項(xiàng)B.有最小項(xiàng),沒有最大項(xiàng)C.既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)D.既沒有最大項(xiàng)又沒有最小項(xiàng)3.【考向2】設(shè)函數(shù)fx=12x-1,x<2,(k-2)x,x≥2,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為anA.-∞,2 B.C.-∞,74 D4.【考向1】數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(2n+1)12n1,則數(shù)列a5.【考向2】若an=2n2+λn+3(其中λ為實(shí)常數(shù)),n∈N*,且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.

探究點(diǎn)四由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式考向1形如an+1=an+fn,求an5[2017·衡水中學(xué)六調(diào)]若數(shù)列an滿足a1=1,且對(duì)于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,則1a1+1a2+…+1aA.20172018 B.C.40322017 D.[總結(jié)反思]形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí),常用累加法求出ana1與n的關(guān)系式,進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式.考向2形如an+1=an·fn,求an6[2017·成都二診]在數(shù)列an中,a1=1,an=n2n2-1an1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列ann2[總結(jié)反思]形如an+1=an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí),常用累乘法求出ana1與n的關(guān)系式,進(jìn)而得到a考向3形如an+1=pan+q,求an7[2017·黃岡中學(xué)三模]已知數(shù)列an滿足an+1=3an+2,且a1=2.(1)求證:數(shù)列an+1(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

[總結(jié)反思]形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí),一般先構(gòu)造公比為p的等比數(shù)列{an+x},即將原遞推關(guān)系式化為an+1+x=p(an+x)的形式,再求出數(shù)列{an+x}的通項(xiàng)公式,最后求{an}的通項(xiàng)公式.考向4形如an+1=AanBan+C(A,B8[2017·湖北六校聯(lián)合體聯(lián)考]已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=anan+2(n∈N*),若bn+1=(n2λ)·1an+1(n∈N*),b1=32λ,且數(shù)列bn是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)A.λ<45 B.λ<C.λ<32 D.λ<[總結(jié)反思]形如an+1=AanBan+C(A,B,C為常數(shù))的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí),一般對(duì)遞推式兩邊同時(shí)取倒數(shù),化為1an+1+x=CA1an+x的形式,構(gòu)造公比為C強(qiáng)化演練1.【考向2】已知a1=2,an+1=2nan,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an等于 (A.2n2-nC.2n2-n2.【考向4】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2anan+2(n∈N*),則數(shù)列{an}A.an=2n+1 C.an=nn+1 3.【考向3】[2017·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]在數(shù)列an中,a1=3,且點(diǎn)Pn(an,an+1)(n∈N*)在直線4xy+1=0上,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為4.【考向1】已知數(shù)列an滿足an+1an=2n,且a1=1.求數(shù)列an

第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課前雙擊鞏固1.等差數(shù)列中的有關(guān)公式已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差是d,前n項(xiàng)和為Sn,則等差數(shù)列定義式(n≥2,d為常數(shù))

等差中項(xiàng)A=(A是a與b的等差中項(xiàng))

通項(xiàng)公式或

前n項(xiàng)和公式Sn==

2.等差數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和.(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則有am+an==.

(2)數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m,…成數(shù)列.

3.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an=,當(dāng)d≠0時(shí),它是關(guān)于n的,它的圖像是直線y=dx+(a1d)上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的均勻分布的一群的點(diǎn).

注:當(dāng)d>0時(shí),{an}是數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),{an}是數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),{an}是.

(2)前n項(xiàng)和公式可變形為Sn=,當(dāng)d≠0時(shí),它是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的,它的圖像是拋物線y=d2x2+a1-d2注:若a1>0,d<0,則Sn存在最值;若a1<0,d>0,則Sn存在最值.

常用結(jié)論等差數(shù)列的性質(zhì)1.已知{an},{bn}是公差分別為d1,d2的等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,則有以下結(jié)論:(1){a2n}是等差數(shù)列,公差為2d1.(2){pan+qbn}是等差數(shù)列(p,q都是常數(shù)),且公差為pd1+qd2.(3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md1的等差數(shù)列.(4)Snn成等差數(shù)列,其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同,公差是{an}的公差的1(5)數(shù)列{pan},{an+p}都是等差數(shù)列(p,q都是常數(shù)),且公差分別為pd1,d1.2.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)(1)若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶S奇=nd,S奇S偶(2)若項(xiàng)數(shù)為2n1,則S偶=(n1)an,S奇=nan,S奇S偶=an,S奇S偶=3.兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,它們之間的關(guān)系為anbn題組一常識(shí)題1.[教材改編]在等差數(shù)列an中,a5=9,且2a3=a2+6,則a1=2.[教材改編]在等差數(shù)列an中,a2=1,a6=5,則S7=3.[教材改編]在等差數(shù)列an中,S4=4,S8=12,則S12=4.[教材改編]已知等差數(shù)列an的公差為d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,則m=題組二常錯(cuò)題◆索引:忽視等差數(shù)列中項(xiàng)為0的情況,考慮不全而忽視相鄰項(xiàng)的符號(hào),等差數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)判斷不正確5.在等差數(shù)列{an}中,a1=28,公差d=4,則前n項(xiàng)和Sn取得最小值時(shí)n的值為.

6.首項(xiàng)為20的等差數(shù)列,從第10項(xiàng)起開始為正數(shù),則公差d的取值范圍是.

7.已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=11n,則|a1|+|a2|+…+|a20|=課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算1(1)[2017·蚌埠質(zhì)檢]已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S6=24,S9=63,則a4= ()A.4 B.5C.6 D.7(2)公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,則λ的值為 (A.15 B.21C.23 D.25[總結(jié)反思](1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,n,d,an,Sn,知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量,即首項(xiàng)a1和公差d.式題(1)[2017·鷹潭二模]等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn,且a3=1,a5=4,則S13= ()A.39 B.91C.48 D.51(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且3a3=a6+4,若S5<10,則a2的取值范圍是 (A.-∞,2 B.C.1,+∞ 探究點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用2(1)[2017·沈陽(yáng)東北育才學(xué)校模擬]在等差數(shù)列an中,a5+a6=4,則log2(2a1·2a2·…·2a10A.10 B.20C.40 D.2+log25(2)在等差數(shù)列an中,a1=2017,其前n項(xiàng)的和為Sn,若S20132013S20112011=2,則(3)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S672=2,S1344=12,則S2016= (A.22 B.26C.30 D.34[總結(jié)反思]利用等差數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則有am+an=ap+aq”,或者“常用結(jié)論”中的有關(guān)公式可以有效地簡(jiǎn)化計(jì)算.式題(1)在等差數(shù)列an中,若a3+a5+a7+a9+a11=45,S3=3,那么a5= ()A.4 B.5C.9 D.18(2)兩等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且SnTn=7n+2n(3)一個(gè)正項(xiàng)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為3,前3n項(xiàng)的和為21,則前2n項(xiàng)的和為 ()A.18 B.12C.10 D.6探究點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明3已知數(shù)列an滿足a1=23,an+1=-2an-33(1)證明:數(shù)列1an(2)求an的通項(xiàng)公式

[總結(jié)反思]判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,通常有兩種方法:①定義法,證明anan1=d(n≥2,d為常數(shù)),用定義法證明等差數(shù)列時(shí),常選用兩個(gè)式子an+1an=d或anan1=d,但它們的意義不同,后者必須加上“n≥2”;②等差中項(xiàng)法,證明2an=an1+an+1(n≥2).式題[2018·齊齊哈爾八中月考]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1,a2(a1<a2)分別為方程x26x+5=0的兩個(gè)根.(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;(2)在(1)中,設(shè)bn=Snn+c,求證:當(dāng)c=12時(shí),數(shù)列{

探究點(diǎn)四等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題4(1)[2017·福州期末]設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若公差d=2,S3=21,則當(dāng)Sn取得最大值時(shí),n的值為 ()A.10 B.9C.6 D.5(2)在等差數(shù)列an中,a1<0,S18=S36,則當(dāng)Sn取得最小值時(shí),n的值為 (A.18 B.27C.36 D.54[總結(jié)反思]求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的常用方法:(1)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項(xiàng)和的最值,但要注意n∈N*.(2)圖像法:利用二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性來確定n的值,使Sn取得最值.(3)項(xiàng)的符號(hào)法:當(dāng)a1>0,d<0時(shí),滿足an≥0,an+1≤0的項(xiàng)數(shù)n,使Sn取最大值;當(dāng)a1<0,d>0時(shí),滿足an≤0,an+1≥0的項(xiàng)數(shù)n,使Sn取最小值式題(1)[2017·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考]設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1<0且a6a5=811,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n的值為A.11 B.10C.9 D.8(2)[2018·湖北長(zhǎng)陽(yáng)一中月考]已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a11a10<1,且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值,則使得Sn>0的n的最大值為 A.11 B.19C.20 D.21第30講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課前雙擊鞏固1.等比數(shù)列中的有關(guān)公式已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比是q,前n項(xiàng)和為Sn,則等比數(shù)列定義式(n≥2,q≠0且q為常數(shù))

等比中項(xiàng)Ga=bG(G是a與b通項(xiàng)公式或

前n項(xiàng)和公式當(dāng)q=1時(shí),Sn=;

當(dāng)q≠1時(shí),Sn==

2.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和.(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則有aman=.

(2)若q≠1,或q=1且m為奇數(shù),則數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m,…成數(shù)列,其公比為.

3.等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成an=a1qqn(q≠1),前n項(xiàng)和公式可以寫成Sn=a1q-1qna1(2)①滿足a1>0,q>1或a1<0,0<q<1時(shí),{a③當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列{an}是常數(shù)列;④當(dāng)q<0時(shí),數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列.常用結(jié)論1.若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),1an,{an2},{an·bn2.在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.3.一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)的k次冪,仍組成一個(gè)等比數(shù)列,新公比是原公比的k次冪.4.{an}為等比數(shù)列,若a1·a2·…·an=Tn,則Tn,T2nTn,5.當(dāng)q≠0,q≠1時(shí),Sn=kk·qn(k≠0)是{an}成等比數(shù)列的充要條件,此時(shí)k=a16.有窮等比數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等.特別地,若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),還等于中間項(xiàng)的平方.題組一常識(shí)題1.[教材改編]已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,若a2=2,a4a3=4,則此數(shù)列的公比q=2.[教材改編]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a6=8a3,S3=2,則S6=.

3.在14和4之間插入3個(gè)數(shù),使它們與這兩個(gè)數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列,則這3個(gè)數(shù)的積為題組二常錯(cuò)題◆索引:“G2=ab”是“a,G,b成等比數(shù)列”的必要不充分條件;運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),忽略q=1的情況;等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用不熟導(dǎo)致出錯(cuò).4.在等比數(shù)列{an}中,a3=4,a7=16,則a3與a7的等比中項(xiàng)為.

5.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an(a≠0),則其前n項(xiàng)和為Sn=.

6.若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+…+lna20=.

7.在等比數(shù)列{an}中,an>0,a5a1=15,a4a2=6,則a3=.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算1(1)[2017·揭陽(yáng)二模]已知等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a5= ()A.1 B.1C.14 D.(2)[2017·山西三區(qū)八校二模]設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=3,且a2016+a2017=0,則S101等于 (A.3 B.303C.3 D.303[總結(jié)反思](1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,q,n,Sn,已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”).(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),注意對(duì)q=1和q≠1的分類討論.式題(1)在等比數(shù)列{an}中,公比q=2,若a2與2a3的等差中項(xiàng)為5,則a1= ()A.3 B.2C.1 D.1(2)[2017·洛陽(yáng)三模]已知等比數(shù)列an滿足a1=12,a2a8=2a5+3,則a9= (A.12 B.C.648 D.18(3)[2017·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)三模]已知數(shù)列an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列且滿足a6a2=30,a3a1=3,則數(shù)列an的前5項(xiàng)和S5= (A.15 B.31C.40 D.121探究點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用2(1)在等比數(shù)列an中,a6+a8=4,則a8(a4+2a6+a8)的值為 ()A.2 B.4C.8 D.16(2)[2017·吉林大學(xué)附屬中學(xué)摸底]等比數(shù)列an的前5項(xiàng)的和S5=10,前10項(xiàng)的和S10=50,則它的前20項(xiàng)的和S20= (A.160 B.210C.640 D.850[總結(jié)反思](1)在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中,一般是利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,建立方程組求解,但如果靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則有aman=apaq”,則可減少運(yùn)算量.(2)等比數(shù)列的項(xiàng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后組成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì),例如在等比數(shù)列中,Sk,S2kSk,S3kS2k,…也成等比數(shù)列,公比為qk(q≠1).式題(1)在等比數(shù)列an中,a3,a15是方程x26x+8=0的根,則a1a17a9A.22 B.2C.1 D.2(2)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=3,S9S6=12,則S6=探究點(diǎn)三等比數(shù)列的判定與證明3[2017·重慶調(diào)研]已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=35,an+1=3an4an(1)求證:數(shù)列1an(2)記Sn=1a1+1a2+…+1an,若Sn<

[總結(jié)反思]判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法:(1)定義法:若an+1an=q(d是常數(shù)),(2)等比中項(xiàng)法:若an+12=anan+2(n∈N*),則數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法:若an=Aqn(p,q為常數(shù)),則數(shù)列an是等比數(shù)列式題[2017·北京海淀區(qū)模擬]在數(shù)列an中,an+12+2an+1=anan+2+an+an+2,且a1=2,a2(1)證明:數(shù)列an+1(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn

第31講數(shù)列求和課前雙擊鞏固1.公式法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn==.(其中a1為首項(xiàng),d為公差)

②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=;

當(dāng)q≠1時(shí),Sn==.(其中a1為首項(xiàng),q為公比).

(2)分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是由的數(shù)列的通項(xiàng)組成的,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和后再相加減.

2.倒序相加法與并項(xiàng)求和法(1)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an中,到首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法(2)并項(xiàng)求和法數(shù)列{an}滿足彼此相鄰的若干項(xiàng)的和為特殊數(shù)列時(shí),運(yùn)用求其前n項(xiàng)和.如通項(xiàng)公式形如an=(1)nf(n)的數(shù)列.

3.裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.

4.錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之構(gòu)成的,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)即可用錯(cuò)位相減法.

常用結(jié)論1.一些常見的前n項(xiàng)和公式(1)1+2+3+4+…+n=n((2)1+3+5+7+…+2n1=n2.(3)2+4+6+8+…+2n=n2+n.2.常用的裂項(xiàng)公式(1)1n(n+1(2)1(2n(3)1n+n+1題組一常識(shí)題1.[教材改編]若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n1+n,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2.[教材改編]若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=13n-23n+13.[教材改編]若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(n1)×2n1,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=題組二常錯(cuò)題◆索引:用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)不能準(zhǔn)確裂項(xiàng);用錯(cuò)位相減法求和時(shí)易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤、不能準(zhǔn)確“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”等錯(cuò)誤;并項(xiàng)求和時(shí)不能準(zhǔn)確分組.4.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=4n21(n∈N*),則數(shù)列1Sn的前n項(xiàng)和為5.3×21+4×22+5×23+…+(n+2)·2n=.

6.在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=2,an+2an=1+(1)n,n∈N*,則S60的值為.

7.已知數(shù)列{an}滿足an+1=12+an-an2,且a1=1課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一分組求和法求和1在公差不為零的等差數(shù)列an中,a2=4,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)若bn=an+2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和

[總結(jié)反思]某些數(shù)列在求和時(shí)是將數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列通項(xiàng)的和或差,從而間接求得原數(shù)列的和.注意在含有字母的數(shù)列中要對(duì)字母進(jìn)行討論.式題已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+n2(n∈(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)設(shè)bn=2n+(1)nan,求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和

探究點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和2在等差數(shù)列an中,a2=2,a3+a5=8,在數(shù)列bn中,b1=2,其前n項(xiàng)和Sn滿足bn+1=Sn+2(n∈N*)(1)求數(shù)列an,bn(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列cn的前n

[總結(jié)反思]錯(cuò)位相減法求和,主要用于求{an·bn}的前n項(xiàng)和,其中an,{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列.式題[2017·哈爾濱二模]設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)令bn=(2n1)an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn

探究點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和考向1形如an=13已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1,1an+1+1an1an+11an=4,數(shù)列bn滿足1bn=1an+1+1an,[總結(jié)反思]數(shù)列的通項(xiàng)公式形如an=1n+n+k時(shí),可轉(zhuǎn)化為an=1k考向2形如an=14[2017·青島二模]在公差不為0的等差數(shù)列an中,a22=a3+a6,且a3為a1與a11(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)設(shè)bn=-1nnan-12a

[總結(jié)反思](1)數(shù)列的通項(xiàng)公式形如an=1n(n+k)時(shí),可轉(zhuǎn)化為an=1k(2)裂項(xiàng)相消法求和的基本思路是變換通項(xiàng),把每一項(xiàng)分裂為兩項(xiàng),裂項(xiàng)的目的是產(chǎn)生可以相互抵消的項(xiàng).強(qiáng)化演練1.【考向1】數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=1n+n+1,若該數(shù)列的前k項(xiàng)之和等于9,A.98 B.99C.96 D.972.【考向1】數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1n+n+2(n∈N*),若該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則SnA.n+2B.n+2+n+1C.1D.13.【考向2】若數(shù)列an滿足a1=1,且對(duì)任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,則1a1+1a2+…+1A.4021 B.C.1910 D.4.【考向2】[2017·成都九校聯(lián)考]已知等比數(shù)列an滿足a1=14,a3a5=4(a41(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn=log2(16·an),求證:數(shù)列1bnbn+1的前n

第32講數(shù)列的綜合問題課前雙擊鞏固1.數(shù)列的綜合應(yīng)用(1)等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題主要是應(yīng)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,建立關(guān)于兩個(gè)基本量:首項(xiàng)a1和公差d(或公比q)的方程組,以及解決等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)等問題.(2)數(shù)列和函數(shù)數(shù)列是特殊的函數(shù),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式分別是關(guān)于n的一次函數(shù)和二次函數(shù),等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在公比不等于1的情況下是公比q的指數(shù)型函數(shù),可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些數(shù)列問題.(3)數(shù)列和不等式以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題,體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn).這類問題一般通過數(shù)列求通項(xiàng)以及求和去解決一個(gè)不等式問題,這里的不等式通常是關(guān)于正整數(shù)的不等式,可以通過比較法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)方法和數(shù)學(xué)歸納法解決.2.數(shù)列應(yīng)用題常見模型等差數(shù)列模型如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí),該模型是等差數(shù)列模型,增加(或減少)的量就是公差等比數(shù)列模型如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí),該模型是等比數(shù)列模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比遞推數(shù)列模型如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,即隨著項(xiàng)的變化而變化時(shí),應(yīng)考慮an與an1的遞推關(guān)系,或前n項(xiàng)和Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系題組一常識(shí)題1.[教材改編]在等比數(shù)列an中,2a1,32a2,a3成等差數(shù)列,則等比數(shù)列an2.[教材改編]設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x+1,則數(shù)列1fn(n∈N*)的前n項(xiàng)和為3.[教材改編]從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升,然后填滿水(視為操作一次),再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此繼續(xù)下去,要使酒精濃度低于10%,則至少應(yīng)操作次.

題組二常錯(cuò)題◆索引:數(shù)列實(shí)際問題的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn):項(xiàng)數(shù)和年(月)份數(shù)4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1+a7=8,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b5=a8+4a3,則b2b5.某公司去年產(chǎn)值為a,計(jì)劃在今后5年內(nèi)每年比上年產(chǎn)值增加10%,則從今年起到第5年,這個(gè)廠的總產(chǎn)值為.

6.一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角度數(shù)成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120°,公差為5°,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)n等于.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的綜合問題1[2017·北京朝陽(yáng)區(qū)二模]已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=13,公比q=13的等比數(shù)列.設(shè)bn=2log13an1(n∈N(1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;(2)設(shè)cn=an+b2n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

[總結(jié)反思]解決由等差數(shù)列、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要根據(jù)兩數(shù)列的概念,設(shè)出相應(yīng)的基本量,然后充分使用通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等確定基本量.解綜合題的關(guān)鍵在于審清題目,弄懂來龍去脈,揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件.式題[2018·安徽六安一中模擬]已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,公差d≠0,等比數(shù)列bn滿足a1=b1,a2=b2,a5=b3(1)求數(shù)列an,bn(2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意的n∈N*,均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1

探究點(diǎn)二數(shù)列在實(shí)際問題與數(shù)學(xué)文化問題中的應(yīng)用2(1)[2017·寶雞二模]在2013年至2016年期間,甲每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期儲(chǔ)蓄,若年利率q保持不變,且每年到期的存款利息自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期,到2017年6月1日甲去銀行不再存款,而是將所有存款的本息全部取回,則取回的金額是 ()A.m1+qB.m1+qC.m1+D.m1+(2)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著之一,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何?”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代一種重量單位),在這個(gè)問題中,甲得到 ()A.53錢 B.3C.43錢 D.5[總結(jié)反思]求解數(shù)學(xué)文化問題的一般步驟:(1)閱讀數(shù)學(xué)文化背景材料,獲取相關(guān)數(shù)學(xué)信息;(2)聯(lián)想相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題;(3)利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法求解轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問題;(4)回答數(shù)學(xué)文化問題.探究點(diǎn)三特殊的數(shù)列問題3(1)[2017·三門峽調(diào)研]定義:若數(shù)列{an}對(duì)任意的正整數(shù)n,都有an+1+an=d(d為常數(shù)),則稱{an}為“絕對(duì)和數(shù)列”,d叫作“絕對(duì)公和”.在“絕對(duì)和數(shù)列”{an}中,a1=2,絕對(duì)公和為3,則其前2017項(xiàng)的和S2017的最小值為 (A.2017 B.3014C.3022 D.3032(2)[2017·全國(guó)卷Ⅰ]幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來的兩項(xiàng)是20