專題02平面向量范圍與最值問題【考點預測】平面向量范圍與最值問題常用方法：1、定義法第一步:利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系第二步：運用基木不等式求其最值問題第三步:得出結論2、坐標法第一步:根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的坐標第二步:將平面向量的運算坐標化第三步:運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3、基底法第一步：利用其底轉化向量第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結論3、幾何意義法第一步:先確定向量所表達的點的軌跡第二步:根據(jù)直線與曲線位置關系列式第三步：解得結果【典型例題】例1．（2023春·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可設，，，則，，則，，其中，，則，故選：D.例2．如圖，正方形ABCD的頂點A，D分別在x軸正半軸、y軸正半軸上移動．若，則a的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】設，所以點，，所以，即，當且僅當時取等號，所以a的最大值是1.故選：A.例3．已知平面向量與的夾角為，則的最大值為（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】以向量與為兩邊作△，，，則則在△中，即，則，當且僅當即時等號成立.故選：C例4．如圖，在等腰直角中，斜邊，且，點是線段上任一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，,,設，則，，所以，因為，所以當時，取最小值，當時，取最大值4，所以的取值范圍是，故選：B例5．已知點在直線上，點在直線外，若，且，，則的最小值為______.【答案】【解析】根據(jù)題意，當時，最??；由，，∴，即，∴，∴當時，由面積法得，，所以的最小值為.故答案為：例6．已知，，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由向量模長的三角不等式可得，當且僅當、的方向相同時，等號成立；，當且僅當、的方向相反時，等號成立.因此，的取值范圍是.故答案為：.例7．已知向量，且，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】因為，所以，又因為，所以，所以，設，則，則，化簡得：，方程有解，則，化簡得：，當，，所以，所以不等式的解集為：.故答案為：.例8．如圖，已知是邊長為的正六邊形的一條邊，點在正六邊形內(含邊界)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】如圖，取的中點，由已知得：，則，，.以為圓心，(為邊的對邊的中點)為半徑作圓，由正六邊形的性質可知，該圓與邊相切于點，且點為或點時，最大，此時.；當與重合時，最小；，即的取值范圍為.故答案為：.【過關測試】一、單選題1．如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，是半徑上的動點，.則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，，，，，，在中，由正弦定理得：，，，，當，即時，取得最大值.故選：B.2．已知，，，；若P是△ABC所在平面內一點，，則的最大值為是（

）A．17 B．13 C．12 D．15【答案】B【解析】由題意建立如圖所示的坐標系，可得，，，，，，，，當且僅當時，等號成立，故選：B.3．已知向量，且與方向相同，則的取值范圍是（

）A．（1，+∞） B．（-1，1）C．（-1，+∞） D．（-∞，1）【答案】C【解析】因為與同向，所以可設則有，又因為，，所以所以的取值范圍是(-1，+∞)，故選：C.4．在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

二、多選題5．在邊長為2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含邊）內，滿足，則下列結論正確的是（

）A．若點P在BD上時，則B．的取值范圍為C．若點P在BD上時，D．若P，Q在線段BD上，且，則的最小值為1【答案】ACD【解析】當點P在BD上時，因為，所以，故A正確；因為P在邊長為2的正方形ABCD（含邊）內，且，所以，則，故B錯誤；當點P在BD上時，，所以，故C正確；若P，Q在線段BD上，且，如圖建立平面直角坐標系，設，則，，∴∴當時，有最小值為1，故D正確.故選：ACD.三、填空題6．在梯形中，，，，，、分別為線段和線段上的動點，且，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】以點為坐標原點，直線為軸，過點且垂直于直線的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、、，則，由題意可得，解得，，所以，，由對勾函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，當時，.因此，的取值范圍是.故答案為：.7．已知點，其中，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】由，得，則，所以，因為，所以，所以，即的取值范圍為.故答案為：.8．在矩形ABCD中，邊AB?AD的長分別為2?1，若M?N分別是邊BC?CD上的點，且滿足，則的取值范圍是___________.【答案】[1，4]【解析】如圖建系，所以，設，則，因為，所以，即，又，所以，故答案為：[1，4]四、解答題9．平面內給定三個向量，且．(1)求實數(shù)k關于n的表達式；(2)如圖，在中，G為中線OM上一點，且，過點G的直線與邊OA，OB分別交于點P，Q（不與重合）.設向量，求的最小值．【解析】（1）因為，所以，即.（2）由（1）可知，，，由題意可知因為，所以又，，所以.因為三點共線，所以.當且僅當時，取等號，即時，取最小值.10．如圖，在直角三角形中，．點分別是線段上的點，滿足．(1)求的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）在直角三角形中，．∴，，，∵，∴．（2）令，得或（舍）.∴存在實數(shù)，使得．11．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，P是對角線AC上一動點，于點E，于點F．(1)求；(2)設，點Q滿足．①證明：；②當點P運動時，求的取值范圍．【解析】（1）如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則，，，，設，則，，所以，，所以，所以．（2）①證明：因為，所以，所以．②因為，所以，即．設M是線段DQ的中點，則，因此，從而，因此P、M、C三點共線．結合，及線段QD的中點M在AC上，得Q、D關于直線AC軸對稱，因此Q與B重合，所以，結合P與C不重合，有t≠1，所以，，所以的取值范圍是12．在學習向量三點共線定理時，我們知道當P、A、B三點共線，O為直線外一點，且時，（如圖1），小明同學提出了如下兩個問題，請同學們幫助小明解答．(1)當或時，O、P兩點的位置與AB所在直線之間存在什么關系？寫出你的結論，并說明理由；(2)如圖2，射線，點P在由射線OM、線段OA及BA的延長線圍成的區(qū)域內（不含邊界）運動，且，求實數(shù)x的取值范圍，并求當時，實數(shù)y的取值范圍．【解析】（1）若，則，在直線AB異側；若，則，在直線AB同側．理由如下：設，則由，得：，則在直線上有一點，使得，如下圖所示：則，即，當時，則與同向，且，由平面共線定理可得，，在直線AB異側；當時，與反向，如下圖所示，且，由平面共線定理可得，，在直線AB同側．（2）射線，點P在由射線OM、線段OA及BA的延長線圍成的區(qū)域內（不含邊界）運動如圖所示，陰影部分為點P的運動區(qū)域（不含邊界），由（1）可知，，在直線同側，由于，則．過點作交射線于，過點作交射線的延長線于,由平行四邊形法則可得，又與方向相同，則，且，與方向相反，則，且，則，故，即實數(shù)的取值范圍是，當時，此時為中點，過作直線平行與交于，交射線于，則點運動軌跡為線段（不含端點），如下圖：當點運動到時，，此時；當點運動到時，，此時；且由平面向量加法的平行四邊形法則得.13．已知的面積為S，，若，求與的夾角的取值范圍．【解析】因為，，所以，又，所以，又，所以．14．如圖，在中，點為中點，點為的三等分點，且靠近點，設，，，，且，與交于點.(1)求；(2)若點為線段上的任意一點，連接，求的取值范圍.【解析】（1），，又，所以，所以，由得，所以.所以；（2）以點C為坐標原點，CB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系如下圖所示，則，，，，，，又點為線段上的任意一點，設點，且，則，，所以，所以當時，取得最大值：，當或時，取得最小值：，所以的取值范圍為.15．如圖所示，是的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于，兩點.(1)求證：；(2)設，，，，求的值；(3)如果是邊長為的等邊三角形，求的取值范圍.【解析】（1）證明：因，所以，又因為的中點，所以，所以.（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點共線，所以，即.（3）設，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是邊長為的等邊三角形，所以，令，因，即，當且僅當時，等號成立，所以.因此，又因，所以，所以.16．已知中，過重心G的直線交邊于P，交邊于Q，設的面積為，的面積為，，.（1）求證：.（2）求的取值范圍.【解析】設，又