北京電子信息線性代數試卷考試時長：120分鐘滿分：100分北京電子信息線性代數試卷考核對象：電子信息工程專業(yè)本科生（中等級別）總分：100分題型分值分布：-單選題（20分）-填空題（20分）-判斷題（20分）-簡答題（12分）-應用題（18分）一、單選題（每題2分，共10題，總分20分）1.設向量組α?=(1,0,1),α?=(0,1,1),α?=(1,1,0)，則該向量組的秩為（）A.1B.2C.3D.無法確定2.矩陣A的轉置矩陣記為A?，若A為3×4矩陣，則det(A?)等于（）A.det(A)B.4det(A)C.3det(A)D.03.若向量β=(1,2,3)與向量α=(a,b,c)正交，則a+b+c的值為（）A.0B.1C.2D.34.矩陣P為可逆矩陣，則矩陣P的逆矩陣P?1滿足（）A.P?1P=IB.PP?1=IC.P?1P=0D.PP?1=05.設二次型f(x?,x?)=2x?2+4x?x?+3x?2的矩陣形式為Ax?x，則矩陣A為（）A.[[2,0],[0,3]]B.[[2,2],[2,3]]C.[[2,1],[1,3]]D.[[2,4],[4,3]]6.齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是（）A.det(A)≠0B.det(A)=0C.A為滿秩矩陣D.A為非滿秩矩陣7.若矩陣B可由矩陣A通過初等行變換得到，則（）A.det(A)=det(B)B.det(A)≠det(B)C.A與B等價D.A與B相似8.向量空間R3的基向量組為（）A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)C.(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1)D.(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)9.若矩陣A的特征值為λ?,λ?,λ?，則det(A)等于（）A.λ?+λ?+λ?B.λ?λ?λ?C.λ?2+λ?2+λ?2D.λ?λ?+λ?λ?+λ?λ?10.實對稱矩陣的特征值（）A.可正可負B.必為實數C.必為復數D.必為零二、填空題（每題2分，共10題，總分20分）1.若向量組α?=(1,2,3),α?=(0,1,2),α?=(0,0,1)線性無關，則該向量組的秩為______。2.矩陣A=([[1,2],[3,4]])的逆矩陣A?1為______。3.若向量β=(1,2,3)與向量α=(1,1,1)平行，則k=______時β=kα。4.矩陣P=([[1,0],[0,2]])的逆矩陣P?1為______。5.二次型f(x?,x?,x?)=x?2+x?2-x?2的矩陣形式為______。6.齊次線性方程組2x?+x?+x?=0有非零解，則其系數矩陣的秩為______。7.若矩陣B為矩陣A的轉置矩陣，則det(B)=______。8.向量空間R?的一個基向量組為______。9.矩陣A=([[2,1],[1,2]])的特征值為______。10.實對稱矩陣的特征向量______。三、判斷題（每題2分，共10題，總分20分）1.若向量組α?,α?,α?線性相關，則α?,α?,α?中任意兩個向量線性無關。（）2.矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩。（）3.齊次線性方程組Ax=0一定有零解。（）4.若矩陣A可逆，則det(A)≠0。（）5.向量空間R3的基向量組不唯一。（）6.實對稱矩陣的特征值必為實數。（）7.矩陣的特征向量必為單位向量。（）8.若向量β可由向量組α?,α?,α?線性表示，則α?,α?,α?線性相關。（）9.二次型的矩陣形式一定為對稱矩陣。（）10.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數。（）四、簡答題（每題4分，共3題，總分12分）1.簡述向量組線性相關和線性無關的定義。2.解釋矩陣的秩及其計算方法。3.說明實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。五、應用題（每題9分，共2題，總分18分）1.已知向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(1,3,5)，求該向量組的秩，并判斷其是否線性無關。2.設二次型f(x?,x?)=2x?2+4x?x?+3x?2，求其矩陣形式，并判斷其正定性。標準答案及解析一、單選題1.C解析：向量組α?,α?,α?的秩為3，因為它們線性無關。2.A解析：矩陣的行列式與其轉置矩陣的行列式相等。3.A解析：向量正交的條件是內積為0，即1a+2b+3c=0。4.B解析：矩陣的逆矩陣滿足PP?1=I。5.D解析：二次型的矩陣形式為[[2,2],[2,3]]。6.B解析：齊次線性方程組有非零解的條件是系數矩陣的行列式為0。7.C解析：初等行變換不改變矩陣的等價性。8.A解析：R3的標準基向量為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。9.B解析：矩陣的行列式等于其特征值的乘積。10.B解析：實對稱矩陣的特征值必為實數。二、填空題1.32.[[-2,1],[1,-1/2]]3.34.[[1,0],[0,1/2]]5.[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-1]]6.17.det(A)8.(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)9.1,310.兩兩正交三、判斷題1.×解析：線性相關則至少有一個向量可由其他向量線性表示，故任意兩個向量不一定線性無關。2.√解析：初等行變換不改變矩陣的秩。3.√解析：齊次線性方程組一定有零解。4.√解析：矩陣可逆的條件是行列式不為0。5.√解析：R3的基向量組不唯一，如(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)等。6.√解析：實對稱矩陣的特征值必為實數。7.×解析：特征向量不必為單位向量，但可單位化。8.√解析：β可由α?,α?,α?線性表示，則α?,α?,α?線性相關。9.√解析：二次型的矩陣形式必為對稱矩陣。10.√解析：矩陣的秩等于其非零子式的最高階數。四、簡答題1.線性相關定義：向量組α?,α?,...,α?線性相關，若存在不全為0的數k?,k?,...,k?，使得k?α?+k?α?+...+k?α?=0。線性無關則反之。2.矩陣的秩：矩陣A的秩為其非零子式的最高階數，等于其列向量組的秩。計算方法：通過初等行變換化為行階梯形矩陣，非零行數即為秩。3.實對稱矩陣的特征值和特征向量性質：特征值為實數，特征向量兩兩正交，可通過正交變換對角化。五、應用題1.解：向量組α?,α?,α?的秩為3，因為它們線性無關。設k?α?+k?α?+k?α?=0，即：k?(1,1,1)+k?(1,2,3)+k?(1,3,5)=(0,0,0)得方程組：k?+k?+k