清華大學(xué)考研數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________試卷名稱：清華大學(xué)考研數(shù)學(xué)試卷考核對象：報(bào)考清華大學(xué)研究生數(shù)學(xué)專業(yè)的考生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。2.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/n^p)收斂當(dāng)且僅當(dāng)p>1。3.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無關(guān)。4.若A為n階可逆矩陣，則det(A^T)=det(A)。5.設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，則其特征值均為實(shí)數(shù)。6.若函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，則f(x)在x=x0處必連續(xù)。7.若級數(shù)∑_{n=1}^∞u_n收斂，則級數(shù)∑_{n=1}^∞|u_n|也收斂。8.若A為n階矩陣，且r(A)=n-1，則方程Ax=0的基礎(chǔ)解系包含一個(gè)向量。9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則其反函數(shù)也存在且單調(diào)遞增。10.若向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)c1,c2,c3，使得c1α1+c2α2+c3α3=0。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在x→0時(shí)等價(jià)于1/x的是（）。A.sin(x)/xB.(1-cos(x))/x^2C.e^x-1/xD.ln(1+x)/x2.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=1，f'(0)=2，則極限lim_{x→0}[(f(x)-1)/x]的值為（）。A.1B.2C.3D.03.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得（）。A.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)B.f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)C.f(ξ)=(f(b)-f(a))/bD.f'(ξ)=04.下列級數(shù)中，收斂的是（）。A.∑_{n=1}^∞(n^2/n!)B.∑_{n=1}^∞(1/n)C.∑_{n=1}^∞(1/sqrt(n))D.∑_{n=1}^∞(n/n+1)5.若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，則向量α與β的向量積為（）。A.(1,1,1)B.(1,1,1)C.(1,1,1)D.(1,1,1)6.設(shè)A為2階矩陣，且det(A)=2，則A的伴隨矩陣的行列式為（）。A.1/2B.2C.4D.17.若A為n階矩陣，且r(A)=n-1，則方程Ax=0的解空間的維數(shù)為（）。A.1B.2C.n-1D.n8.下列函數(shù)中，在x→∞時(shí)等價(jià)于1/x的是（）。A.sin(x)/xB.(1-cos(x))/x^2C.e^(-x)/xD.ln(x)/x^29.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞減，則其反函數(shù)也存在且（）。A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.常數(shù)函數(shù)D.無法確定10.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩為（）。A.1B.2C.3D.4三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在x→0時(shí)等價(jià)于x^2的是（）。A.sin^2(x)B.(1-cos(x))^2/x^2C.xtan(x)D.x^2ln(1+x)2.若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=1，f'(0)=2，則下列極限正確的有（）。A.lim_{x→0}(f(x)-1)/x=2B.lim_{x→0}(f(x)-1)/x^2=0C.lim_{x→0}(f(x)-1)/sin(x)=2D.lim_{x→0}(f(x)-1)/ln(1+x)=23.下列級數(shù)中，絕對收斂的有（）。A.∑_{n=1}^∞(1/n^2)B.∑_{n=1}^∞((-1)^n/n)C.∑_{n=1}^∞(1/sqrt(n))D.∑_{n=1}^∞((-1)^n/n^2)4.若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，則下列運(yùn)算正確的有（）。A.α·β=32B.α×β=(1,1,1)C.2α-3β=(-10,-9,-12)D.α與β的夾角余弦為32/sqrt(14sqrt(14))5.設(shè)A為n階矩陣，且r(A)=n-1，則下列結(jié)論正確的有（）。A.det(A)=0B.A的伴隨矩陣的秩為1C.Ax=0的基礎(chǔ)解系包含一個(gè)向量D.A存在一個(gè)n-1階子式不為零6.下列函數(shù)中，在x→∞時(shí)等價(jià)于1/x的是（）。A.sin(x)/x^2B.(1-cos(x))/x^3C.e^(-x^2)/xD.ln(x)/x^37.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則其反函數(shù)也存在且（）。A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)8.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩可能為（）。A.1B.2C.3D.49.下列級數(shù)中，條件收斂的有（）。A.∑_{n=1}^∞((-1)^n/n)B.∑_{n=1}^∞((-1)^n/n^2)C.∑_{n=1}^∞(1/n^p)（p>1）D.∑_{n=1}^∞((-1)^n/nln(n))10.若A為n階矩陣，且r(A)=n-1，則下列結(jié)論正確的有（）。A.det(A)=0B.A的伴隨矩陣的秩為1C.Ax=0的基礎(chǔ)解系包含一個(gè)向量D.A存在一個(gè)n-1階子式不為零四、案例分析（每題6分，共18分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(a)=f(b)=0。證明：存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。2.設(shè)向量組α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,6)。證明：α1,α2,α3線性無關(guān)，并求向量β=(1,4,10)在該向量組下的坐標(biāo)。3.設(shè)A為3階矩陣，且A的秩為2，A的伴隨矩陣的秩為1。求det(A)的值。五、論述題（每題11分，共22分）1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。2.討論級數(shù)∑_{n=1}^∞u_n的收斂性，其中u_n=1/(nln(n))。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√（拉格朗日中值定理）2.√（p-級數(shù)判別法）3.√（線性無關(guān)的線性組合仍線性無關(guān)）4.√（行列式性質(zhì)）5.√（實(shí)對稱矩陣特征值為實(shí)數(shù)）6.√（可導(dǎo)必連續(xù)）7.×（絕對收斂是條件收斂的充分不必要條件）8.√（r(A)=n-1，解空間維數(shù)為n-r(A)=1）9.√（單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)性質(zhì)）10.√（線性相關(guān)定義）二、單選題1.A（sin(x)/x≈1/x）2.B（f'(0)=2）3.B（拉格朗日中值定理）4.A（比值判別法）5.D（向量積為(-3,6,-3)）6.C（伴隨矩陣行列式為det(A)^(n-1)）7.C（解空間維數(shù)為n-r(A)=1）8.A（sin(x)/x≈1/x）9.A（單調(diào)遞增）10.C（線性無關(guān)向量組的線性組合仍線性無關(guān)）三、多選題1.A,B,C（sin^2(x)≈x^2，（1-cos(x))^2/x^2≈x^2，xtan(x)≈x^2）2.A,C（f'(0)=2，f(x)-1≈2x）3.A,D（p-級數(shù)判別法）4.A,C（α·β=32，2α-3β=(-10,-9,-12)）5.A,B,C（r(A)=n-1，det(A)=0，伴隨矩陣秩為1，基礎(chǔ)解系一個(gè)向量）6.A,C（sin(x)/x^2≈1/x^2，e^(-x^2)/x≈1/x）7.A（單調(diào)遞增）8.B,C（線性無關(guān)向量組的線性組合秩為原向量組秩）9.A,D（交錯(cuò)級數(shù)條件收斂）10.A,B,C（r(A)=n-1，det(A)=0，伴隨矩陣秩為1，基礎(chǔ)解系一個(gè)向量）四、案例分析1.證明：由羅爾定理，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。2.證明：α1,α2,α3線性無關(guān)，β=