北京大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱(chēng)：北京大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷考核對(duì)象：報(bào)考北京大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生考生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。2.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(1/n)發(fā)散。3.若矩陣A可逆，則其伴隨矩陣A也可逆。4.奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和為1的多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)域上至少有一個(gè)根。5.若向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)，則α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無(wú)關(guān)。6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則其積分值與區(qū)間劃分方式無(wú)關(guān)。7.矩陣A的秩等于其行向量組的秩。8.若A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則其特征值均為實(shí)數(shù)。9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則其反函數(shù)存在且連續(xù)。10.若向量組α1,α2,α3的秩為3，則α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處（）。A.可導(dǎo)B.左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等C.不連續(xù)D.連續(xù)但不可導(dǎo)2.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(1/2^n)的收斂性為（）。A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.無(wú)法判斷3.矩陣A=[12;34]的逆矩陣為（）。A.[1-2;-34]B.[-42;3-1]C.[4-2;-31]D.[12;-34]4.函數(shù)f(x)=e^x在x→∞時(shí)的漸近線為（）。A.y=0B.y=xC.y=1D.不存在5.若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，則α·β=（）。A.32B.18C.21D.366.矩陣A=[10;01]的特征值為（）。A.1,-1B.0,2C.1,1D.2,27.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則其積分中值定理中的ξ屬于（）。A.(a,b)B.[a,b]C.[a,b)D.(a,b]8.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞sin(nπ/2)的收斂性為（）。A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.無(wú)法判斷9.若向量組α1,α2,α3的秩為2，則其線性相關(guān)性為（）。A.線性相關(guān)B.線性無(wú)關(guān)C.可能相關(guān)可能無(wú)關(guān)D.無(wú)法判斷10.函數(shù)f(x)=ln(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為（）。A.1B.-1C.0D.1/2三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中在x=0處可導(dǎo)的有（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=sin(x)D.f(x)=ln(1+x)2.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(1/n^2)的收斂性為（）。A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.無(wú)法判斷3.矩陣A=[10;01]的特征向量有（）。A.(1,0)B.(0,1)C.(1,1)D.(-1,0)4.下列向量組中線性無(wú)關(guān)的有（）。A.α1=(1,0),α2=(0,1)B.α1=(1,1),α2=(2,2)C.α1=(1,0),α2=(1,1)D.α1=(1,1),α2=(1,-1)5.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處的泰勒展開(kāi)式為（）。A.xB.3x^2C.x^3D.06.矩陣A的秩為3，則其（）。A.可逆B.有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量C.行向量組線性無(wú)關(guān)D.秩小于其階數(shù)7.下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的有（）。A.∑_{n=1}^∞(1/2^n)B.∑_{n=1}^∞(-1)^n/nC.∑_{n=1}^∞(1/n)D.∑_{n=1}^∞(1/n^2)8.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的麥克勞林展開(kāi)式的前三項(xiàng)為（）。A.1+xB.1+x+x^2/2C.1D.1+x^29.若向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)，則（）。A.α1,α2線性無(wú)關(guān)B.α2,α3線性無(wú)關(guān)C.α1,α3線性無(wú)關(guān)D.α1,α2,α3的秩為310.矩陣A的特征值為其（）。A.對(duì)角線元素之和B.行列式C.特征多項(xiàng)式的根D.逆矩陣的特征值的倒數(shù)四、案例分析（每題6分，共18分）1.已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=1,f(1)=2。證明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=ξ。2.設(shè)向量組α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,6)。求該向量組的秩，并判斷其線性相關(guān)性。3.已知矩陣A=[12;34]，求其特征值和特征向量。五、論述題（每題11分，共22分）1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其在該區(qū)間上必存在最大值和最小值。2.討論函數(shù)f(x)=x^2在R上的凹凸性，并說(shuō)明其幾何意義。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√（拉格朗日中值定理）2.×（發(fā)散）3.√（A=(detA)A^(-1)）4.√（代數(shù)基本定理）5.√（線性無(wú)關(guān)性保持）6.√（可積函數(shù)積分與劃分無(wú)關(guān)）7.√（秩等于行向量組秩）8.√（實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值為實(shí)數(shù)）9.√（單調(diào)連續(xù)函數(shù)存在反函數(shù)且連續(xù)）10.√（秩為3即線性無(wú)關(guān)）二、單選題1.D（連續(xù)但不可導(dǎo)）2.C（絕對(duì)收斂）3.B（逆矩陣公式計(jì)算）4.D（不存在）5.A（向量點(diǎn)積計(jì)算）6.C（特征值1,1）7.B（積分中值定理ξ∈[a,b]）8.A（發(fā)散）9.A（秩為2即線性相關(guān)）10.A（導(dǎo)數(shù)為1）三、多選題1.A,C,D（x^2,sin(x),ln(1+x)在x=0處可導(dǎo)）2.A（絕對(duì)收斂）3.A,B（特征值1,1，特征向量(1,0),(0,1)）4.A,C,D（A,B線性相關(guān)，C,D線性無(wú)關(guān)）5.A,C（泰勒展開(kāi)前三項(xiàng)為0,x,3x^2）6.B,C（秩為3即有3個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量，行向量組線性無(wú)關(guān)）7.A,D（A,D絕對(duì)收斂）8.A,B（前三項(xiàng)為1,x,x^2/2）9.A,B,C（α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)即各部分線性無(wú)關(guān)）10.C,D（特征值為特征多項(xiàng)式根，逆矩陣特征值為原特征值的倒數(shù)）四、案例分析1.證明：構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x，則g(0)=1>0,g(1)=1<0。由連續(xù)性知存在ξ∈(0,1)使得g(ξ)=0，即f(ξ)=ξ。2.秩與相關(guān)性：向量組秩為2（α1,α2線性無(wú)關(guān)，α3可由α1,α2線性表出），線性相關(guān)。3.特征值與向量：特