全國研究生考試數(shù)學試卷考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學號：__________得分：__________試卷名稱：全國研究生考試數(shù)學試卷考核對象：報考碩士研究生數(shù)學學科的考生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。2.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/n)^p收斂當且僅當p>1。3.若向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，則向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無關(guān)。4.矩陣A可逆的充要條件是矩陣A的行列式|A|≠0。5.若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。6.正態(tài)分布N(μ,σ2)的密度函數(shù)是關(guān)于x=μ對稱的。7.若函數(shù)f(x)在點x?處可導，則f(x)在x?處必連續(xù)。8.級數(shù)∑_{n=1}^∞(-1)^n/n收斂。9.若A為n階可逆矩陣，則A的伴隨矩陣A也是可逆的。10.偏導數(shù)f?(x?,y?)存在意味著函數(shù)f(x,y)在點(x?,y?)處可微。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導數(shù)為（）A.1B.-1C.0D.不存在2.微分方程y"=4y的通解為（）A.y=C?e2x+C?e?2xB.y=C?sin(2x)+C?cos(2x)C.y=C?x2+C?xD.y=C?e2x+C?xe?2x3.設A為3階矩陣，|A|=2，則|3A|等于（）A.3B.6C.18D.544.向量空間R3的維數(shù)為（）A.1B.2C.3D.45.事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，若A與B互斥，則P(A∪B)等于（）A.0.24B.0.4C.0.6D.16.函數(shù)f(x)=ln(x+1)在x=0處的二階導數(shù)為（）A.1B.-1C.0D.27.若矩陣A的秩為2，則A的伴隨矩陣A的秩為（）A.0B.1C.2D.38.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/2^n)收斂于（）A.1/2B.1C.2D.發(fā)散9.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值等于（）A.eB.e-1C.1D.010.設事件A的概率為0.7，事件B的概率為0.5，若P(A|B)=0.8，則P(B|A)等于（）A.0.7B.0.8C.0.9D.1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在x=0處可導的有（）A.f(x)=x2B.f(x)=|x|C.f(x)=x3D.f(x)=sin(x)2.矩陣A可逆的充要條件包括（）A.|A|≠0B.A的行向量組線性無關(guān)C.A的列向量組線性無關(guān)D.A的秩等于n3.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.∑_{n=1}^∞(1/n2)B.∑_{n=1}^∞(1/n)C.∑_{n=1}^∞(-1/2^n)D.∑_{n=1}^∞(1/(n+1))4.若向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的有（）A.α?+α?,α?+α?,α?+α?B.α?,α?,α?C.α?-α?,α?-α?,α?-α?D.α?+2α?,α?+2α?,α?+2α?5.下列命題正確的有（）A.若A可逆，則A也可逆B.若A可逆，則|A|=|A|^(n-1)C.若A可逆，則(A)^T也可逆D.若A不可逆，則A也不可逆6.事件A與事件B的關(guān)系包括（）A.A與B互斥B.A與B獨立C.A與B互為對立事件D.A與B相容7.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的極值點為（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=±28.下列矩陣中，可逆的有（）A.[[1,0],[0,1]]B.[[1,2],[2,4]]C.[[3,0],[0,3]]D.[[0,1],[1,0]]9.下列命題正確的有（）A.若f(x)在x?處可微，則f(x)在x?處必連續(xù)B.若f(x)在x?處連續(xù)，則f(x)在x?處必可微C.若f(x)在x?處可導，則f(x)在x?處必連續(xù)D.若f(x)在x?處連續(xù)，則f(x)在x?處必可導10.下列級數(shù)中，條件收斂的有（）A.∑_{n=1}^∞(-1)^n/nB.∑_{n=1}^∞(-1)^n/n2C.∑_{n=1}^∞(1/n)D.∑_{n=1}^∞(-1)^n/(n+1)四、案例分析（每題6分，共18分）1.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=1，f(1)=2。證明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=ξ。2.已知矩陣A=[[1,2],[3,4]]，求矩陣A的逆矩陣A?1。3.設事件A的概率為0.6，事件B的概率為0.7，且P(A∪B)=0.8。求事件A與事件B的獨立性。五、論述題（每題11分，共22分）1.試述函數(shù)可微與可導的關(guān)系，并舉例說明。2.論述矩陣可逆的充要條件及其應用。---標準答案及解析一、判斷題1.√（拉格朗日中值定理）2.√（p-級數(shù)判別法）3.√（線性無關(guān)的線性組合仍無關(guān)）4.√（行列式為零矩陣不可逆）5.√（互斥事件概率加法公式）6.√（正態(tài)分布對稱性）7.√（可導必連續(xù)）8.×（調(diào)和級數(shù)發(fā)散）9.√（伴隨矩陣性質(zhì)）10.×（偏導數(shù)存在不一定可微）二、單選題1.C2.A3.D4.C5.C6.A7.B8.B9.B10.C三、多選題1.A,C,D2.A,B,C,D3.A,C,D4.A,B,D5.A,B,C6.A,B,D7.A,B,C8.A,C,D9.A,C10.A,D四、案例分析1.證明：令g(x)=f(x)-x，則g(0)=f(0)-0=1>0，g(1)=f(1)-1=1>0。又因為f(x)在[0,1]上連續(xù)，所以g(x)在[0,1]上連續(xù)。若f(0)=0或f(1)=0，則結(jié)論顯然成立。若f(0)>0且f(1)>0，則需考慮g(x)在(0,1)內(nèi)的零點。由于g(0)>0，g(1)>0，若存在ξ∈(0,1)使得g(ξ)=0，則f(ξ)=ξ。若g(x)在(0,1)內(nèi)無零點，則g(x)恒正或恒負，但g(0)>0，g(1)>0，矛盾。因此必存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=ξ。2.解：|A|=1×4-2×3=-2≠0，A可逆。A?1=(1/|A|)adj(A)=(1/-2)[[4,-2],[-3,1]]=[-2,1],[3/2,-1/2]。3.解：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+0.7-P(A∩B)=0.8，解得P(A∩B)=0.5。P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.5/0.7≈0.714，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.5/0.6≈0.833。由于P(A|B)≠P(B|A)，故A與B不獨立。五、論述題1.函數(shù)可微與可導的關(guān)系：函數(shù)在某點可微意味著該點處可導，但反之不一定成立?？晌⒁?/p>