試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2026屆“皖南八?！备呷诙未舐?lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，2.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角形，向量與復(fù)數(shù)，數(shù)列，立體幾何.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位，），且是純虛數(shù)，則的值為（

）A． B． C．2 D．2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．5．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，為了得到的圖象，需要將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度7．如圖，正方形的邊長為，為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，其中，若對任意恒成立，則（

）A．， B．，C．， D．，二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知正實(shí)數(shù)滿足等式，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．10．在正四棱錐中，已知，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，滿足，則下列說法正確的有（

）A．平面B．當(dāng)時(shí)，平面平面C．不存在，使得平面D．當(dāng)時(shí)，，，，四點(diǎn)共面11．已知銳角中，角，，的對邊分別為，，，滿足，，且的面積為，則（

）A． B．C． D．的周長為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，，則在方向上的投影向量的模為．13．如圖，在幾何體中，側(cè)棱，，均垂直于底面，已知，，，則該幾何體的體積是.14．已知等差數(shù)列的公差為，若集合，則．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的對稱軸方程；(2)若，，求的值．16．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，且.(1)求；(2)若點(diǎn)在線段上，且滿足，求的面積.17．如圖，四邊形與為直角梯形，且平面平面，其中，，，.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)若空間中存在一點(diǎn)，滿足，且直線平面，求的長.18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對任意正整數(shù)，均有.(1)求和；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.19．已知函數(shù)，，其中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，在上存在極大值點(diǎn)，且；(3)證明：，使得恒成立.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果．【詳解】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，所以.故選：C2．D【分析】解對數(shù)不等式化簡集合A，解絕對值不等式化簡集合B，進(jìn)而利用補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算的概念求解即可.【詳解】，，則或，.故選：D.3．C【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)偶函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，故的定義域?yàn)?選項(xiàng)A：，，，所以不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，，，所以不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，，，所以為偶函數(shù)，故C正確；選項(xiàng)D：，，，所以不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．A【分析】由等比數(shù)列基本量的運(yùn)算可得，故，即數(shù)列也為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可．【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，故，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以．故選：A．5．D【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得，則，可得，，所以曲線在處的切線方程是，即.故選：D.6．A【分析】根據(jù)零點(diǎn)，代入可得，再利用輔助角公式化簡得，再根據(jù)平移變換求解即可．【詳解】依題意，得，得，所以，，了得到的圖象，需要將函數(shù)的圖象,需要將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度．故選：A．7．C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出的最大值及其對應(yīng)的值，可得出，再利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則、，設(shè)，則，，故，.所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，此時(shí).故選：C.8．B【分析】先求得的零點(diǎn)為，，，的零點(diǎn)為，，，然后根據(jù)零點(diǎn)相同列式求解即可.【詳解】令，因?yàn)榈牧泓c(diǎn)為，，，可知的零點(diǎn)為，，，的零點(diǎn)為，，，又因?yàn)椋瑒t，若，即，則，可知的零點(diǎn)與的零點(diǎn)相同，則，解得，.故選：B.9．CD【分析】先設(shè)，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求解判斷.【詳解】由題意，設(shè)，則，.設(shè)冪函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以即.故選：CD10．ABD【分析】利用線面垂直的判定定理證明判斷A；利用面面平行的判定定理證明判斷B；利用線面垂直的判定定理證明判斷C；利用空間向量線性運(yùn)算得，可得，，共線，即可判斷D.【詳解】對于A，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樵谡睦忮F中，底面為正方形，所以，又因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，A正確；對于B，連接，，，因?yàn)?，所以，，又，平面，，平面，，，所以平面平面，B正確；對于C，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，則平面，所以當(dāng)，即點(diǎn)與重合時(shí)，平面，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，，，則，所以，，共線，所以，，，四點(diǎn)共面，D正確.故選：ABD.11．BCD【分析】由兩角和與差的三角函數(shù)公式、正余弦定理逐項(xiàng)分析計(jì)算即可.【詳解】選項(xiàng)A：由，得，兩式相加得，整理得，即，解得或，因?yàn)殇J角中，，所以，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A得，，則，所以，即，整理得，即，因?yàn)?，所以，所以，則，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：由銳角的面積為，得，得，設(shè)的外接圓半徑為，則，又，，則，解得，所以，，，所以，故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C得，的周長為，故D正確.故選：BCD.12．【分析】根據(jù)在方向上的投影向量的模為，再由向量夾角公式計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)椋?，則在方向上的投影向量的模為．故答案為：13．【分析】應(yīng)用補(bǔ)形得出正三棱柱，再應(yīng)用柱體及錐體體積公式計(jì)算求解.【詳解】如圖所示，構(gòu)造一個(gè)底面是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為4的正三棱柱，其中，，，，因此，即，根據(jù)三棱柱體積公式，，故該幾何體的體積是.故答案為：.14．##【分析】根據(jù)題意得到的周期為，即最多3個(gè)不同取值，再結(jié)合，分析得到一定會(huì)有相鄰的兩項(xiàng)相等，設(shè)這兩項(xiàng)分別為，，解得，則集合中的兩個(gè)不同元素為，，再化簡計(jì)算即可．【詳解】，則，其周期為，而，即最多3個(gè)不同取值，由題可知集合有且僅有兩個(gè)元素，，則在，，中，或，或，又，即，一定會(huì)有相鄰的兩項(xiàng)相等，設(shè)這兩項(xiàng)分別為，，于是有，即有，解得，不相等的兩項(xiàng)為，，故．故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)降冪公式及輔助角公式化簡，再整體代入法求對稱軸方程即可；（2）由，得到，結(jié)合角的范圍求得，再利用正弦倍角公式求解即可．【詳解】（1），令，解得，故函數(shù)的對稱軸為直線.（2）因?yàn)椋?，且，則，可得，則，則，所以．16．(1)(2)【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理，再由三角恒等變形得，結(jié)合角的范圍即可求解；（2）先應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律及定義化簡，再結(jié)合三角形面積公式及余弦定理計(jì)算求值.【詳解】（1）根據(jù)題意，則由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，所以，，則，解得；（2）令，，則.又，則四邊形為菱形，為的角平分線.，，，即，由余弦定理可得：，即，解得，所以.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.（3）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用向量共線的坐標(biāo)表示求解.【詳解】（1）由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，又平面，所以.（2）由（1）知平面，平面，則，而，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，又，，，，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，因此，所以平面與平面夾角的正弦值為.（3）設(shè)，依題意，，即，，，即，則，由平面，得是平面的一個(gè)法向量，于是，即，解得，，因此，所以.18．(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，再利用待定系數(shù)法解得，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求．（2）方法一：由題意得，再根據(jù)累乘法得到，方法二：構(gòu)造數(shù)列，得到數(shù)列為常數(shù)列即可求解；（3）由題意得，先證，再累加即可證得．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，由可得，故，解得，所以，，即，即，所以，解得，故，.（2）方法一：由（1）得：，當(dāng)且時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足，綜上所述：.方法二：由（1）得：，，，，，令，則數(shù)列為常數(shù)列，，；（3）由（1）知，，下面證明，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以．19．(1)單調(diào)遞減(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可.（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而利用極大值點(diǎn)的概念證明即可.（3）將問題轉(zhuǎn)化為證明對任意恒成立，參變分離得對任意恒成立，令，即證，，多次求導(dǎo)求得的單調(diào)區(qū)間，即可求解的最小值，令，，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞減.（2），，其中滿足，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)