試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)德陽(yáng)市高中2023級(jí)第一次診斷考試數(shù)學(xué)試卷說(shuō)明：1.本試卷分第I卷和第II卷，第I卷1-2頁(yè)，第II卷2-4頁(yè).考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.2.本試卷滿分150分，120分鐘完卷.第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．若（，且），則（

）A．4 B． C．2 D．2．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．-3 B． C． D．3．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．若圓錐底面半徑為1，高為，則圓錐側(cè)面展開扇形圓心角的弧度數(shù)是（

）A． B． C．2 D．35．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．6．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C．7 D．-77．若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．28．隨著2025年央視中秋晚會(huì)選址德陽(yáng)以及四川省城市足球聯(lián)賽（川超）如火如荼的開展，為德陽(yáng)帶來(lái)了大量游客.10月12日，德陽(yáng)體育公園迎來(lái)首個(gè)川超主場(chǎng)，現(xiàn)場(chǎng)人聲鼎沸，座無(wú)虛席.某球迷團(tuán)隊(duì)共10人（其中男7人，女3人）來(lái)現(xiàn)場(chǎng)觀賽，已知男球迷消費(fèi)平均數(shù)和方差都是2；女球迷消費(fèi)平均數(shù)為3，方差為1，則該團(tuán)隊(duì)總體10人消費(fèi)的平均數(shù)和方差分別是（

）（平均數(shù)單位均為千元，方差單位均為(千元)2）A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列選項(xiàng)正確的是（

）A．； B．若，則；C．若，則； D．若，則.10．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)0，1，2，3，5的分位數(shù)是2B．線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)C．經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過(guò)點(diǎn)D．殘差散點(diǎn)圖所在的帶狀區(qū)域越窄，則兩個(gè)變量的相關(guān)性越弱11．已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．是函數(shù)最小正周期為的充要條件；B．的最大值是；C．若在單調(diào)遞增，則的取值范圍是；D．若在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則的取值范圍是.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.13．橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)且橢圓的焦點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是.14．點(diǎn)是函數(shù)的圖象上在軸右側(cè)任意一點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，垂足為，過(guò)作軸的垂線與的圖象交于另一點(diǎn)，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，的通項(xiàng)公式，且.(1)求，的值；(2)求的前項(xiàng)和.16．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，為中點(diǎn)，且，的角平分線交于點(diǎn)，且.(1)求；(2)求.17．已知函數(shù)（，且），函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求；(2)若的最小值是2，求.18．大學(xué)吸引廣大學(xué)子，不僅僅靠知識(shí)的海洋，還有美味的餐廳.已知某大學(xué)有，，三個(gè)餐廳，小丁同學(xué)每天都在學(xué)校餐廳就餐，已知小丁第1天等可能性的隨機(jī)在某個(gè)餐廳就餐，若他在餐廳就餐，則下一天在，，三個(gè)餐廳就餐的概率分別為，，；若他在餐廳就餐，則下一天在，，三個(gè)餐廳就餐的概率分別為，，；若他在餐廳就餐，則他下一天到，，三個(gè)餐廳就餐的概率分別為，，.(1)求小丁同學(xué)第2天在餐廳就餐的概率；(2)求小丁同學(xué)第天在餐廳就餐的概率；(3)若小丁同學(xué)前天到餐廳就餐的天數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望.（若小丁第天到餐廳就餐的天數(shù)為，則）19．關(guān)于在可導(dǎo)的函數(shù)，某同學(xué)通過(guò)自學(xué)高等數(shù)學(xué)得到如下正確結(jié)論：的導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞增在是凹函數(shù)；的導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞減在是凸函數(shù).已知在是凸函數(shù)，在是凹函數(shù)；.(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在是凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若在及是凸函數(shù)，在是凹函數(shù)；且在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求證：.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式求解即可.【詳解】由題得到，則，因?yàn)?，且，所以；故選D2．C【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)虛部概念即可求解.【詳解】由題復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C3．D【分析】由三角函數(shù)定義和誘導(dǎo)公式依次求出即可得解.【詳解】由題可得，所以，所以的終邊與單位圓交點(diǎn)在第四象限，橫坐標(biāo)為.故選：D4．A【分析】求出圓錐側(cè)面展開扇形半徑和弧長(zhǎng)即可由弧度定義公式求解.【詳解】由題可得圓錐側(cè)面展開扇形半徑為圓錐母線長(zhǎng)為，圓錐側(cè)面展開扇形弧長(zhǎng)為圓錐底面圓周長(zhǎng)為，所以圓錐側(cè)面展開扇形圓心角的弧度數(shù)是.故選：A5．B【分析】先解分式不等式和絕對(duì)值不等式求出集合A、B，再由交集定義即可得解.【詳解】解不等式，解得或，所以集合或，解得，即，所以集合，所以.故選：B6．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，代入題目等式條件中，求出結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可知，即，化簡(jiǎn)得，可知.故選：B.7．C【分析】先求出函數(shù)定義域，接著分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)值的情況即可求解.【詳解】由題可得，所以函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又為增函數(shù)，和均為上的增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以有最大值為，又時(shí)，，所以若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則.故選：C8．A【分析】由分層隨機(jī)抽樣的總體平均數(shù)和方差公式直接計(jì)算即可得解.【詳解】由題可得總體10人消費(fèi)的平均數(shù)為，總體10人消費(fèi)的方差為.故選：A9．AC【分析】由即可分析求解判斷A；舉反例即可判斷BD；由不等式性質(zhì)即可分析判斷C；【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故A正確；當(dāng)，滿足，但，故B錯(cuò)誤；若，則，則即，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．ABD【分析】利用百分位數(shù)的定義可判斷A，利用線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷B，利用線性回歸方程的性質(zhì)可判斷C，利用殘差的散點(diǎn)圖的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)0，1，2，3，5的分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)和第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由線性回歸方程的性質(zhì)知，經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差散點(diǎn)圖所在的帶狀區(qū)域越窄，擬合精度越高，則兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，故D錯(cuò)誤；故選：ABD.11．BCD【分析】由三角函數(shù)周期公式依次分析充分性和必要性即可判斷A；利用誘導(dǎo)公式、平方和公式和二次函數(shù)性質(zhì)直接計(jì)算即可求解判斷B；由變量范圍和正弦函數(shù)單調(diào)性列不等式計(jì)算即可求解判斷C；由函數(shù)單調(diào)性結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期列方程和不等式即可求出范圍判斷D.【詳解】時(shí)，，函數(shù)最小正周期為，充分性成立，當(dāng)函數(shù)最小正周期為時(shí)，，必要性不成立，所以是函數(shù)最小正周期為的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；，所以的最大值是，B正確；若，則時(shí)，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，解得，，又，所以，，解得，，所以，則，故的取值范圍是，C正確；若，因?yàn)?，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，且，所以，即的取值范圍是，故D正確.故選：BCD12．【分析】由二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式即可計(jì)算求解.【詳解】由題可得二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)時(shí)得展開式常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：13．【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率公式可得與，進(jìn)而可得最值.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，可知，，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，且所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述的最小值為.14．4【分析】先求出函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)奇偶性，根據(jù)題意設(shè)，利用已知條件求出的坐標(biāo)，寫出向量的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，所以，所以，由函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的圖象上在軸右側(cè)任意一點(diǎn)，所以設(shè)，又過(guò)作直線的垂線，則垂線的斜率為1，所以垂線方程為：，即，聯(lián)立，解得：，即，又過(guò)作軸的垂線與的圖象交于另一點(diǎn)，且函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，又，，所以，故答案為：4.15．(1)，(2)，.【分析】（1）根據(jù)求出關(guān)于的表達(dá)式，再與已知對(duì)比系數(shù)求解；（2）利用巧妙結(jié)合.【詳解】（1）由題意得，，又，即，，.（2）依題意：由（1）可得，，，.16．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、倍角公式化簡(jiǎn)得出即可；（2）根據(jù)以及，以及在中利用余弦定理，即可得出關(guān)于的方程組，求解即可.【詳解】（1）因?yàn)榻Y(jié)合正弦定理可得，，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)椋?，則，得，則；（2）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且，，，所以，得，在中利用余弦定理得，在中利用余弦定理得，因?yàn)椋?，所以，則在中利用余弦定理得，得，因?yàn)椋?，所以，解得，解得或，又，解得，于?17．(1)(2)【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系即可直接得解；（2）先由題設(shè)分析得到，再利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）依題意得；（2）由題對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)無(wú)最小值，不符合，所以，所以為增函數(shù)，令，所以時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以.綜上所述，.18．(1)(2)，；(3)，.【分析】（1）由題可得第一天在任意餐廳就餐的概率均為，利用全概率公式可得第二天在B餐廳就餐的概率；（2）設(shè)小丁第天在餐廳就餐的概率為，第天在餐廳就餐的概率為，利用全概率公式可得，由此可得數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，可得的表達(dá)式.（3）利用分組求和法求即可.【詳解】（1）（1）依題意，第一天在任意餐廳就餐的概率均為，設(shè)第二天在B餐廳就餐的概率為于是：；（2）設(shè)小丁第天在餐廳就餐的概率為,，第天在餐廳就餐的概率為則：當(dāng)時(shí)，即，即，所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列；所以，于是，；（3）依題意：，.19．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意和導(dǎo)數(shù)幾何意義依次求出切點(diǎn)和切線斜率即可求解；（2）令，由求出參數(shù)m，令，將題設(shè)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再化簡(jiǎn)消參得到在上恒成立，設(shè)，求出即可得解；（3）先將題設(shè)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為的有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)為，接著利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，分析得到和，接著分析時(shí)恒成立得到即可分析求證.【詳解】（1）依題意，，所以切點(diǎn)為，切線斜率為，所以在處的切線方程為；（2）令，則，所以依題意，所以，.則，若在是凸函數(shù)，則在R上單調(diào)遞減，令，則在