一、從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題：公切線的引入演講人01從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題：公切線的引入02定義與圖形辨析：內(nèi)公切線與外公切線的本質(zhì)區(qū)別03性質(zhì)推導(dǎo)與公式建立：公切線的長度計(jì)算04從理論到實(shí)踐：公切線的典型例題解析05作圖與拓展：公切線的尺規(guī)作圖與深層聯(lián)系06總結(jié)與升華：公切線的核心價值與學(xué)習(xí)啟示目錄2025九年級數(shù)學(xué)上冊圓的內(nèi)公切線與外公切線課件01從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題：公切線的引入從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題：公切線的引入作為一線數(shù)學(xué)教師，我常在課堂上觀察到學(xué)生對抽象幾何概念的困惑——直到他們發(fā)現(xiàn)這些概念就藏在生活的細(xì)節(jié)里。比如，當(dāng)我們騎自行車時，鏈條與前后齒輪的接觸線；當(dāng)兩盞路燈的光線恰好“擦過”兩個球形燈罩時，那束光線的軌跡；甚至孩子們玩的“彈珠碰撞”游戲中，兩顆彈珠相切時的接觸方向……這些看似無關(guān)的場景，都指向同一個數(shù)學(xué)概念：圓的公切線。今天，我們要深入探究的“內(nèi)公切線”與“外公切線”，正是公切線家族中最核心的兩類。它們不僅是圓的重要性質(zhì)延伸，更是解決幾何綜合問題的關(guān)鍵工具。接下來，我們將從定義出發(fā)，逐步揭開它們的“真面目”。02定義與圖形辨析：內(nèi)公切線與外公切線的本質(zhì)區(qū)別1公切線的基本定義要理解內(nèi)、外公切線，首先需明確“公切線”的共性：同時與兩個圓相切的直線，叫做這兩個圓的公切線。這條直線與每個圓僅有一個公共點(diǎn)（切點(diǎn)），且在該點(diǎn)處與對應(yīng)圓的半徑垂直（根據(jù)圓的切線性質(zhì)：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑）。2內(nèi)公切線與外公切線的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)公切線與外公切線的核心區(qū)別在于：兩個圓相對于公切線的位置關(guān)系。1外公切線：兩個圓位于公切線的同一側(cè)（如圖1-1）。此時，連接兩圓圓心的線段（圓心距）與公切線形成的兩個切點(diǎn)，可看作“站在公切線同側(cè)的兩個點(diǎn)”。2內(nèi)公切線：兩個圓分別位于公切線的兩側(cè)（如圖1-2）。此時，圓心距與公切線的關(guān)系更像“跨過公切線的橋梁”，兩圓被公切線“分隔”開。3（此處可配合黑板畫圖或PPT動態(tài)演示：用不同顏色標(biāo)記兩圓，外公切線繪制時兩圓在切線同側(cè)，內(nèi)公切線繪制時兩圓在切線異側(cè)。）43學(xué)生易混淆點(diǎn)提醒教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最初常因“內(nèi)”“外”二字產(chǎn)生誤解，比如認(rèn)為“內(nèi)公切線是兩圓內(nèi)部的切線”。實(shí)際上，“內(nèi)”“外”并非指圓的內(nèi)部或外部，而是兩圓相對于切線的位置關(guān)系。通過以下對比表可輔助理解：|類型|兩圓與切線的位置關(guān)系|切點(diǎn)連線與圓心距的位置關(guān)系|直觀記憶技巧||------------|----------------------------|----------------------------------|------------------------||外公切線|兩圓在切線同側(cè)|切點(diǎn)連線與圓心距方向一致|“并肩站”在切線旁邊|3學(xué)生易混淆點(diǎn)提醒|內(nèi)公切線|兩圓在切線異側(cè)|切點(diǎn)連線與圓心距方向交叉|“隔著切線”相望|03性質(zhì)推導(dǎo)與公式建立：公切線的長度計(jì)算性質(zhì)推導(dǎo)與公式建立：公切線的長度計(jì)算明確了定義后，我們需要解決一個關(guān)鍵問題：如何計(jì)算公切線的長度？這是后續(xù)解題的核心工具，也是理解公切線與圓位置關(guān)系的基礎(chǔ)。1公切線長度的通用推導(dǎo)思路無論內(nèi)公切線還是外公切線，計(jì)算其長度的關(guān)鍵都是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。具體步驟如下（以兩圓半徑分別為(r_1)、(r_2)，圓心距為(d)為例）：連接圓心與切點(diǎn)：設(shè)公切線與圓(O_1)切于點(diǎn)(A)，與圓(O_2)切于點(diǎn)(B)，則(O_1A\perpAB)，(O_2B\perpAB)（切線性質(zhì)）。構(gòu)造平行線段：過(O_2)作(O_2C\parallelAB)，交(O_1A)于點(diǎn)(C)。此時，(O_2C=AB)（公切線長度），且(O_1C=|O_1A-O_2B|)（若為外公切線）或(O_1C=O_1A+O_2B)（若為內(nèi)公切線）。1公切線長度的通用推導(dǎo)思路應(yīng)用勾股定理：在(\triangleO_1O_2C)中，(O_1O_2=d)，(O_1C)為兩半徑的和或差，(O_2C)為公切線長度，因此：(O_2C^2+O_1C^2=O_1O_2^2)，即公切線長度(L=\sqrt{d^2-(r_1\pmr_2)^2})（“+”對應(yīng)內(nèi)公切線，“-”對應(yīng)外公切線）。2內(nèi)公切線與外公切線的長度公式通過上述推導(dǎo)，可總結(jié)出：外公切線長度：(L_{\text{外}}=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2})（當(dāng)(d>|r_1-r_2|)時有效）內(nèi)公切線長度：(L_{\text{內(nèi)}}=\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2})（當(dāng)(d>r_1+r_2)時有效）3公式的限制條件與幾何意義公式中的根號需保證被開方數(shù)非負(fù)，這對應(yīng)著兩圓的位置關(guān)系：外公切線存在的條件是兩圓外離、外切或相交（(d\geq|r_1-r_2|)），但僅當(dāng)(d>|r_1-r_2|)時，外公切線為兩條；當(dāng)(d=|r_1-r_2|)（內(nèi)切）時，外公切線僅有一條（兩圓相切于一點(diǎn)，公切線即該切點(diǎn)處的切線）。內(nèi)公切線存在的條件是兩圓外離（(d>r_1+r_2)），此時有兩條內(nèi)公切線；當(dāng)(d=r_1+r_2)（外切）時，內(nèi)公切線僅有一條（兩圓外切于一點(diǎn)，公切線即該切點(diǎn)處的切線）；若(d<r_1+r_2)，內(nèi)公切線不存在。（此處可插入表格，對比不同位置關(guān)系下的公切線條數(shù)，幫助學(xué)生系統(tǒng)記憶。）04從理論到實(shí)踐：公切線的典型例題解析從理論到實(shí)踐：公切線的典型例題解析數(shù)學(xué)知識的價值在于應(yīng)用。接下來，我們通過具體例題，鞏固對公切線定義、性質(zhì)及公式的理解。1基礎(chǔ)計(jì)算：已知半徑與圓心距，求公切線長度例1：已知兩圓半徑分別為3cm和5cm，圓心距為12cm。求它們的外公切線和內(nèi)公切線長度。分析：首先判斷公切線是否存在。外公切線要求(d>|r_1-r_2|=2cm)，內(nèi)公切線要求(d>r_1+r_2=8cm)。題目中(d=12cm)均滿足，因此兩類公切線均存在。解答：外公切線長度：(L_{\text{外}}=\sqrt{12^2-(5-3)^2}=\sqrt{144-4}=\sqrt{140}=2\sqrt{35},\text{cm})1基礎(chǔ)計(jì)算：已知半徑與圓心距，求公切線長度內(nèi)公切線長度：(L_{\text{內(nèi)}}=\sqrt{12^2-(5+3)^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5},\text{cm})2綜合應(yīng)用：公切線與圓的位置關(guān)系結(jié)合例2：兩圓外切于點(diǎn)(P)，外公切線(AB)分別切兩圓于(A)、(B)，求證：(\angleAPB=90^\circ)。分析：需利用切線性質(zhì)（半徑垂直于切線）、外切圓的圓心距等于半徑之和，以及三角形內(nèi)角和等知識。證明：設(shè)兩圓圓心為(O_1)、(O_2)，則(O_1O_2=r_1+r_2)（外切性質(zhì)）。連接(O_1A)、(O_2B)，則(O_1A\perpAB)，(O_2B\perpAB)（切線性質(zhì)），故(O_1A\parallelO_2B)。2綜合應(yīng)用：公切線與圓的位置關(guān)系結(jié)合過(P)作兩圓的公切線(l)，則(l)垂直于(O_1O_2)（外切點(diǎn)處的公切線與圓心連線垂直）。由弦切角定理，(\anglePAB=\angleAPl)，(\anglePBA=\angleBPl)。由于(\angleAPl+\angleBPl=\angleAPB)，且(AB\parallell)（均垂直于(O_1O_2)），故(\anglePAB+\anglePBA=\angleAPB)。2綜合應(yīng)用：公切線與圓的位置關(guān)系結(jié)合在(\triangleAPB)中，(\anglePAB+\anglePBA+\angleAPB=180^\circ)，代入得(2\angleAPB=180^\circ)，故(\angleAPB=90^\circ)。3實(shí)際問題：公切線在工程測量中的應(yīng)用例3：某工廠需在兩個圓柱形儲油罐之間鋪設(shè)一條輸油管道，要求管道與兩個油罐的外沿相切（即管道為兩圓的外公切線）。已知油罐半徑分別為2米和3米，兩油罐中心距離為10米，求管道的最短長度（即外公切線長度）。解答：直接應(yīng)用外公切線長度公式，(L=\sqrt{10^2-(3-2)^2}=\sqrt{100-1}=\sqrt{99}\approx9.95,\text{米})。（此例題聯(lián)系實(shí)際，能幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。）05作圖與拓展：公切線的尺規(guī)作圖與深層聯(lián)系1尺規(guī)作兩圓的外公切線掌握公切線的作圖方法，既能深化對定義的理解，也是解決幾何作圖題的基礎(chǔ)。以兩圓(O_1)（半徑(r_1)）、(O_2)（半徑(r_2)，(r_1>r_2)）為例，作外公切線的步驟如下：連接(O_1O_2)，并延長(O_1O_2)。以(O_1)為圓心，(r_1-r_2)為半徑作圓，記為圓(C)。過(O_2)作圓(C)的切線，切點(diǎn)為(P)（可通過作(O_2P\perpO_1P)實(shí)現(xiàn)）。延長(O_1P)交圓(O_1)于點(diǎn)(A)，過(A)作(O_2B\parallelO_1A)（(B)在圓(O_2)上），則直線(AB)即為外公切線。2內(nèi)公切線與外公切線的聯(lián)系與區(qū)別通過對比可發(fā)現(xiàn)，內(nèi)公切線與外公切線的作圖原理相似，僅需將“半徑差”改為“半徑和”。這種“和”與“差”的變化，本質(zhì)上反映了兩圓相對于切線的位置差異，也對應(yīng)著圓心距與半徑和（差）的數(shù)量關(guān)系。06總結(jié)與升華：公切線的核心價值與學(xué)習(xí)啟示總結(jié)與升華：公切線的核心價值與學(xué)習(xí)啟示回顧本節(jié)課，我們從生活現(xiàn)象出發(fā)，逐步拆解了內(nèi)公切線與外公切線的定義、性質(zhì)、公式及應(yīng)用。它們的核心價值體現(xiàn)在：幾何關(guān)系的橋梁：公切線連接了兩圓的位置關(guān)系（圓心距、半徑）與幾何圖形的度量（長度、角度）。解決問題的工具：無論是計(jì)算長度、證明角度關(guān)系，還是解決實(shí)際工程問題，公切線都是關(guān)鍵突破口。作為教師，我想提醒同學(xué)們：學(xué)習(xí)幾何的關(guān)鍵在于“數(shù)形結(jié)合”——看到文字定義時，腦海中要浮現(xiàn)圖形；計(jì)算公式時，要明白每個符號對應(yīng)的幾