一、開篇引思：為什么要學(xué)二次函數(shù)的最值？演講人CONTENTS開篇引思：為什么要學(xué)二次函數(shù)的最值？理論筑基：二次函數(shù)最值的核心邏輯生活解碼：四類典型場(chǎng)景的深度剖析解題通法：從“生活問題”到“數(shù)學(xué)模型”的四步轉(zhuǎn)化課堂互動(dòng)：讓數(shù)學(xué)“活”起來總結(jié)升華：二次函數(shù)最值的“生活哲學(xué)”目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)最值問題生活實(shí)例課件01開篇引思：為什么要學(xué)二次函數(shù)的最值？開篇引思：為什么要學(xué)二次函數(shù)的最值？作為一線數(shù)學(xué)教師，我常被學(xué)生問：“學(xué)二次函數(shù)有什么用？”每當(dāng)這時(shí)，我總會(huì)想起去年帶學(xué)生參觀社區(qū)果蔬合作社的經(jīng)歷——負(fù)責(zé)人張阿姨指著銷售記錄發(fā)愁：“定價(jià)每漲1元，日銷量就降10斤，到底定多少價(jià)利潤(rùn)最高？”當(dāng)時(shí)學(xué)生們圍在電腦前，用剛學(xué)的二次函數(shù)知識(shí)算出最優(yōu)解時(shí)，張阿姨驚喜地說：“原來數(shù)學(xué)能直接幫我多賺錢！”這個(gè)場(chǎng)景讓我深刻意識(shí)到：二次函數(shù)的最值問題絕非紙上談兵，它是連接數(shù)學(xué)與生活的“橋梁”，是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的重要載體。02理論筑基：二次函數(shù)最值的核心邏輯理論筑基：二次函數(shù)最值的核心邏輯要解決生活中的最值問題，首先需筑牢理論根基。我們從二次函數(shù)的基本形式出發(fā)：1二次函數(shù)的三種表達(dá)式與最值關(guān)系01020304一般式：(y=ax^2+bx+c\(a\neq0))頂點(diǎn)式：(y=a(x-h)^2+k\(a\neq0))05交點(diǎn)式：(y=a(x-x_1)(x-x_2)\(a\neq0))其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為(x=-\frac{2a})，當(dāng)(a>0)時(shí)，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；(a<0)時(shí)為最大值點(diǎn)。頂點(diǎn)坐標(biāo)直接為((h,k))，最值即為(k)（(a>0)時(shí)最小，(a<0)時(shí)最大）。對(duì)稱軸為(x=\frac{x_1+x_2}{2})，代入可求頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而得最值。062實(shí)際問題中需特別關(guān)注的“定義域限制”與純數(shù)學(xué)題不同，生活問題中自變量(x)往往有實(shí)際意義：銷量不能為負(fù)數(shù)，價(jià)格需高于成本價(jià)；圍欄長(zhǎng)度受材料限制，拋體高度不能低于地面；這些限制會(huì)導(dǎo)致頂點(diǎn)可能不在有效定義域內(nèi)，此時(shí)最值需在區(qū)間端點(diǎn)處取得。例如，若某商品定價(jià)范圍為(10\leqx\leq30)元，而頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為(x=35)，則實(shí)際最大值應(yīng)在(x=30)處計(jì)算。03生活解碼：四類典型場(chǎng)景的深度剖析1銷售利潤(rùn)問題：從“憑經(jīng)驗(yàn)定價(jià)”到“用數(shù)學(xué)算價(jià)”這是最貼近學(xué)生生活的場(chǎng)景。以我?guī)W(xué)生調(diào)研的“社區(qū)水果店”為例：背景：水果店銷售蘋果，成本價(jià)5元/斤，原定價(jià)8元/斤時(shí)，日銷量200斤。調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每漲價(jià)1元，日銷量減少10斤；每降價(jià)1元，日銷量增加30斤（但降價(jià)不能低于成本價(jià)）。問題：如何定價(jià)可使日利潤(rùn)最大？建模過程：設(shè)定變量：設(shè)漲價(jià)(x)元（(x)可正可負(fù)，負(fù)表示降價(jià)），則售價(jià)為((8+x))元，銷量為((200-10x))斤（注意：當(dāng)(x<0)時(shí)，銷量為(200+30|x|)，需分情況討論）。1銷售利潤(rùn)問題：從“憑經(jīng)驗(yàn)定價(jià)”到“用數(shù)學(xué)算價(jià)”建立利潤(rùn)函數(shù)：當(dāng)(x\geq0)（漲價(jià)）：利潤(rùn)(y=(8+x-5)(200-10x)=(3+x)(200-10x)=-10x^2+170x+600)；當(dāng)(x<0)（降價(jià)且(8+x\geq5)，即(x\geq-3)）：利潤(rùn)(y=(3+x)(200+30x)=30x^2+290x+600)。求最值：1銷售利潤(rùn)問題：從“憑經(jīng)驗(yàn)定價(jià)”到“用數(shù)學(xué)算價(jià)”漲價(jià)情況：(a=-10<0)，開口向下，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x=-\frac{170}{2\times(-10)}=8.5)。但售價(jià)(8+8.5=16.5)元時(shí)，銷量(200-10\times8.5=115)斤（合理），此時(shí)利潤(rùn)(y=-10\times(8.5)^2+170\times8.5+600=1322.5)元；降價(jià)情況：(a=30>0)，開口向上，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)，最大值在區(qū)間端點(diǎn)(x=-3)（售價(jià)5元），利潤(rùn)(y=30\times(-3)^2+290\times(-3)+600=30\times9-870+600=270-870+600=0)元（僅保本）。1銷售利潤(rùn)問題：從“憑經(jīng)驗(yàn)定價(jià)”到“用數(shù)學(xué)算價(jià)”結(jié)論：漲價(jià)8.5元（即定價(jià)16.5元）時(shí)，日利潤(rùn)最大為1322.5元。教學(xué)反思：學(xué)生起初忽略“分情況討論”，直接套用頂點(diǎn)公式，導(dǎo)致錯(cuò)誤。通過這個(gè)案例，我強(qiáng)調(diào)：生活問題需先明確變量的實(shí)際意義，再分段建模。2面積優(yōu)化問題：用數(shù)學(xué)“搭”出最大空間農(nóng)村家庭常見的“菜園圍欄”問題，是面積最值的經(jīng)典場(chǎng)景。背景：李大爺有24米長(zhǎng)的籬笆，想靠墻圍一個(gè)矩形菜園（墻足夠長(zhǎng)），如何設(shè)計(jì)長(zhǎng)和寬，可使菜園面積最大？建模過程：設(shè)定變量：設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為(x)米，則平行于墻的邊長(zhǎng)為((24-2x))米（因籬笆僅圍三邊）。面積函數(shù)：(S=x(24-2x)=-2x^2+24x)。求最值：(a=-2<0)，開口向下，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x=-\frac{24}{2\times(-2)}=6)米。此時(shí)平行邊長(zhǎng)(24-2\times6=12)米，最大面積(S=-2\times6^2+24\times6=72)平方米。2面積優(yōu)化問題：用數(shù)學(xué)“搭”出最大空間拓展變式：若墻長(zhǎng)僅10米，如何調(diào)整？此時(shí)平行邊長(zhǎng)(24-2x\leq10)，即(x\geq7)。函數(shù)(S=-2x^2+24x)在(x\geq7)時(shí)單調(diào)遞減（因?qū)ΨQ軸(x=6)在區(qū)間左側(cè)），故最大值在(x=7)米，平行邊長(zhǎng)10米，面積(S=7\times10=70)平方米（小于無墻長(zhǎng)限制時(shí)的72平方米）。學(xué)生感悟：有位學(xué)生課后告訴我，他幫爺爺用這個(gè)方法重新圍了雞舍，面積比原來大了3平方米，爺爺直夸“孫子學(xué)的數(shù)學(xué)管用”。3拋體運(yùn)動(dòng)問題：從“投籃弧線”到“煙花高度”物理中的拋體運(yùn)動(dòng)（如籃球投籃、煙花燃放），其軌跡可近似為二次函數(shù)，最高點(diǎn)即為最值點(diǎn)。背景：小明練習(xí)籃球，投籃時(shí)球出手高度為2米，水平距離籃筐4米時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)3米（此時(shí)水平距離為2米）?；@筐高度為3.05米，問小明能否投中？建模過程：建立坐標(biāo)系：以出手點(diǎn)為原點(diǎn)（0,2），水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸。已知頂點(diǎn)（2,3），故拋物線方程為(y=a(x-2)^2+3)。求系數(shù)a：代入原點(diǎn)（0,2）得(2=a(0-2)^2+3)，解得(a=-\frac{1}{4})，故軌跡方程(y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+3)。3拋體運(yùn)動(dòng)問題：從“投籃弧線”到“煙花高度”驗(yàn)證籃筐位置：籃筐水平距離為4米（x=4），代入得(y=-\frac{1}{4}(4-2)^2+3=-\frac{1}{4}\times4+3=2)米。而籃筐高3.05米，故球未進(jìn)。教學(xué)延伸：我?guī)W(xué)生用手機(jī)慢鏡頭拍攝籃球軌跡，用坐標(biāo)紙測(cè)量關(guān)鍵點(diǎn)，再建模計(jì)算，學(xué)生直觀感受到“數(shù)學(xué)是運(yùn)動(dòng)的語言”。4建筑設(shè)計(jì)問題：從“拱橋跨度”到“雨棚寬度”橋梁的拱形、建筑的雨棚設(shè)計(jì)中，二次函數(shù)的最值直接關(guān)系到安全性和實(shí)用性。背景：某景區(qū)要建一座石拱橋，橋拱為拋物線形，跨度（兩端點(diǎn)水平距離）為10米，拱高（最高點(diǎn)到跨度的垂直距離）為3米?，F(xiàn)有一艘高2米、寬4米的游船要通過，問是否能安全通過？建模過程：建立坐標(biāo)系：以跨度中點(diǎn)為原點(diǎn)（0,3），水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，則兩端點(diǎn)坐標(biāo)為（-5,0）和（5,0）。拋物線方程為(y=ax^2+3)。求系數(shù)a：代入（5,0）得(0=a\times5^2+3)，解得(a=-\frac{3}{25})，故方程(y=-\frac{3}{25}x^2+3)。4建筑設(shè)計(jì)問題：從“拱橋跨度”到“雨棚寬度”驗(yàn)證游船寬度：游船寬4米，故需檢查x=±2米處的橋拱高度：(y=-\frac{3}{25}\times4+3=3-0.48=2.52)米。游船高2米，2.52>2，故能安全通過。學(xué)生疑問：“如果游船更寬呢？”引導(dǎo)學(xué)生討論：當(dāng)x=±3米時(shí)，y=-(\frac{3}{25})×9+3=3-1.08=1.92米，小于2米，此時(shí)無法通過。這說明橋的設(shè)計(jì)需根據(jù)實(shí)際通行需求調(diào)整跨度和拱高。04解題通法：從“生活問題”到“數(shù)學(xué)模型”的四步轉(zhuǎn)化解題通法：從“生活問題”到“數(shù)學(xué)模型”的四步轉(zhuǎn)化通過以上實(shí)例，可總結(jié)出解決二次函數(shù)最值問題的通用步驟：1明確變量，界定范圍確定問題中的自變量（如價(jià)格、長(zhǎng)度、水平距離）和因變量（如利潤(rùn)、面積、高度），并根據(jù)實(shí)際意義寫出自變量的取值范圍（如銷量≥0，長(zhǎng)度>0）。2建立函數(shù)，關(guān)聯(lián)變量利用題目中的數(shù)量關(guān)系（如“利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷量”“面積=長(zhǎng)×寬”），將因變量表示為自變量的二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)。3分析函數(shù)，求解最值若頂點(diǎn)在自變量的有效范圍內(nèi)，最值即為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)；若頂點(diǎn)不在范圍內(nèi)，需比較區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，取最大或最小。4回歸實(shí)際，驗(yàn)證合理性將數(shù)學(xué)解還原為實(shí)際問題的答案，檢查是否符合生活邏輯（如價(jià)格不能為負(fù)數(shù)，高度不能低于地面）。易錯(cuò)提醒：學(xué)生最易忽略的是“自變量的實(shí)際范圍”，例如在利潤(rùn)問題中直接取頂點(diǎn)，卻未考慮銷量不能為負(fù)；在面積問題中忽略墻長(zhǎng)限制，導(dǎo)致模型與實(shí)際脫節(jié)。教學(xué)中需通過對(duì)比練習(xí)強(qiáng)化這一意識(shí)。05課堂互動(dòng)：讓數(shù)學(xué)“活”起來課堂互動(dòng)：讓數(shù)學(xué)“活”起來為深化理解，我設(shè)計(jì)了以下互動(dòng)環(huán)節(jié)：1分組探究：“我的生活問題”學(xué)生4人一組，從家庭、社區(qū)中尋找二次函數(shù)最值問題（如“如何設(shè)計(jì)快遞箱使容積最大”“網(wǎng)店促銷如何定價(jià)利潤(rùn)最高”），記錄數(shù)據(jù)、建立模型、求解并分享。2實(shí)地測(cè)量：“籃球軌跡大挑戰(zhàn)”帶學(xué)生到操場(chǎng)，用卷尺測(cè)量投籃的出手點(diǎn)、最高點(diǎn)、落地點(diǎn)坐標(biāo)，建立二次函數(shù)模型，計(jì)算“最佳投籃角度”，并與實(shí)際投籃效果對(duì)比。3錯(cuò)例辨析：“常見錯(cuò)誤我來糾”展示學(xué)生作業(yè)中的典型錯(cuò)誤（如忽略定義域、符號(hào)錯(cuò)誤、建模邏輯混亂），小組討論錯(cuò)誤原因并修正，培養(yǎng)批判性思維。06總結(jié)升華：二次函數(shù)最值的“生活哲學(xué)”總結(jié)升