第1章有理數（5知識&7題型&5易錯&4方法清單）.【清單01】有理數的基礎概念有理數概念有理數：整數【清單02】有理數的分類有理數的分類按定義分【清單03】有理數的運算法則有理數的運算加法【清單04】有理數的混合運算順序有理數混合運算順序1.先算【清單05】科學記數法與近似數科學記數法：把一個數表示成a×【題型一】有理數的概念辨析【例1】（2025秋?新華區(qū)期中）在數2，0，﹣3.7，π，4.8中，有理數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】本題考查了有理數的分類．有理數是整數與分數的統(tǒng)稱，即有限小數和無限循環(huán)小數是有理數．【解答】解：2，0，﹣3.7，4.8是有理數，共有4個；π不是有理數；故選D．【點評】本題考查有理數的分類，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．【變式1-1】（2025秋?青羊區(qū)期中）下列有理數中，是負整數的是（）A．0 B．﹣0.2 C．﹣2025 D．-【分析】根據負整數的定義求解即可．【解答】解：0，﹣0.2，﹣2025，-27中，只有﹣故選：C．【點評】本題考查有理數的定義及分類，掌握整數分為正整數、負整數和0是解決問題的關鍵．【變式1-2】（2025秋?商河縣期中）在310，15，﹣2.6，0，﹣103，-32A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據負分數的定義可以得到答案．要注意負小數也可以化為負分數．【解答】解：在310，15，﹣2.6，0，﹣103，-325，158中，負分數有﹣2.6，﹣故選：B．【點評】本題考查了有理數的負分數的定義，解題的關鍵是掌握有理數的負分數的定義，要注意很容易將負小數漏掉，出現(xiàn)錯誤．【題型二】數軸、相反數與絕對值的應用【例2】（2025秋?北京期中）如圖，點A，B在數軸上表示的數分別是a，b．若a，b互為相反數，且AB＝9，則a的值為（）A．4.5 B．﹣4.5 C．9 D．﹣9【分析】根據相反數的定義即可求解．【解答】解：點A，B在數軸上表示的數分別是a，b．由A、B表示的數互為相反數，并且兩點間的距離是9，點A在點B的左邊，則點A表示的數a是﹣4.5．故選：B．【點評】本題考查了相反數的知識，熟練掌握相反數的概念是關鍵．【變式2-1】（2024秋?漳平市期末）已知，a，b是不為0的有理數，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用數軸上的點來表示a，b時，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據絕對值的性質可得a≤0，b≥0，再根據|a|＞|b|可得a距離原點比b距離原點遠，進而可得答案．【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b，∴a≤0，b≥0，∵|a|＞|b|，∴表示數a的點到原點的距離比b到原點的距離大，故選：C．【點評】此題主要考查了絕對值，關鍵是掌握正數絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值為0．【變式2-2】（2025秋?昌黎縣期中）如圖，數軸上每相鄰兩點距離為1個單位長度，若點A，B表示的數互為相反數，則點A表示的數是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根據數軸上點A和點B互為相反數的性質，以及它們之間的距離，確定點A表示的數．【解答】解：由題意得A，B兩點到原點的距離相等．∵點A與點B之間的距離為4個單位長度．∴點A到原點的距離為4÷2＝2．∵點A在原點的左側，∴點A表示的數是﹣2．故選：A．【點評】本題考查了數軸、相反數，熟練掌握數軸的定義是解題關鍵．【題型三】有理數的大小比較【例3】（2025秋?德城區(qū)期中）下列對兩個有理數的比較，錯誤的是（）A．﹣（﹣1）＞﹣（+2） B．-8C．-(-0.3)＜【分析】利用有理數大小的比較方法：1、在數軸上表示的兩個數，右邊的總比左邊的數大．2、正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數．3、兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而?。凑諒男〉酱蟮捻樞蚺帕姓页鼋Y論即可．【解答】解：A、∵﹣（﹣1）＝1，﹣（+2）＝﹣2，∴1＞﹣2，則該選項正確；B、∵-37=-921，|-821|=821，C、∵﹣（﹣0.3）＝0.3，|-13|=D、∵﹣（+0.7）＝﹣0.7，|-34|=34，|﹣0.7|＝0.7，34故選：B．【點評】本題考查了有理數的大小比較，掌握正數都大于零；負數都小于零；正數大于負數；兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小是本題的關鍵．【變式3-1】（2024秋?麻章區(qū)期末）有理數a在數軸上對應的點如圖所示，則a，﹣a，1的大小關系正確的是（）A．﹣a＜a＜1 B．a＜﹣a＜1 C．1＜﹣a＜a D．a＜1＜﹣a【分析】根據不等式的性質，可得答案．【解答】解：由數軸，得a＜﹣1，﹣a＞1，a＜1＜﹣a，故選：D．【點評】本題考查了有理數大小比較，利用不等式的性質是解題關鍵．【變式3-2】（2025秋?句容市期中）比較下列各組數的大小，正確的是（）A．+（﹣4）＜﹣（+5） B．﹣（﹣1）＜﹣（+3） C．-827＞-【分析】利用有理數大小的比較方法：1、在數軸上表示的兩個數，右邊的總比左邊的數大．2、正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數．3、兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而?。凑諒男〉酱蟮捻樞蚺帕姓页鼋Y論即可．【解答】解：A、∵+（﹣4）＝﹣4，﹣（+5）＝﹣5，|﹣4|＝4，|﹣5|＝5，4＜5，﹣4＞﹣5，∴+（﹣4）＞﹣（+5），則該選項錯誤，不符合題意；B、∵﹣（﹣1）＝1，﹣（+3）＝﹣3，1＞﹣3，∴﹣（﹣1）＞﹣（+3），則該選項錯誤，不符合題意；C、∵-29=-627，|-827|=827，D、∵﹣（﹣0.4）＝0.4，|-13|=13，0.4故選：D．【點評】本題考查了有理數的大小比較，掌握正數都大于零；負數都小于零；正數大于負數；兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小是解答本題的關鍵．【題型四】有理數的加減乘除運算【例4】（2025秋?衡水期中）在﹣2，﹣3，0，4這四個數中，任意選兩個數相除，所得的商最小是m，最大是n，則m和n的乘積為（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【分析】根據題意，列出所有可能的商：4÷（﹣2）＝﹣2，4÷(-3)=-43，-2÷4=-12，-3÷【解答】解：在﹣2，﹣3，0，4這四個數中，任意選兩個數相除，商最小是m＝4÷（﹣2）＝﹣2，最大是n=∴m和n的乘積為-2×3【點評】本題考查了有理數的乘法，有理數的除法，掌握相應的運算法則是關鍵．【變式4-1】（2025秋?晉江市期中）a、b為任何非零有理數，則a|A．﹣3或1 B．3或1或﹣1 C．1或3 D．﹣1或3【分析】分a與b同號與異號兩種情況，利用絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果．【解答】解：當a與b同號，且同時為正數時，原式＝1+1+1＝3；同時為負數時，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；當a與b異號時，且a為正b為負時，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；a為負b為正時，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1，則原式的值可能為﹣1或3，故選：D．【點評】此題考查了有理數的除法，以及絕對值的代數意義，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式4-2】（2025秋?潮南區(qū)期中）如圖，蘭蘭有5張寫著不同數字的卡片，從中抽出2張卡片，使卡片上的數字相除，所得到的商最小，則最小的商是（）A．﹣2 B．-19 C．﹣9 D【分析】根據兩數相除，同號得正，異號得負，正數大于負數抽取計算即可．【解答】解：根據題意可知，使卡片上的數字相除，所得到的商最小，應選擇一正一負，∴抽取3，-13，最小的商是3÷【點評】本題考查了有理數的除法，掌握有理數的除法的運算法則是關鍵．【題型五】有理數的混合運算【例5】（2025秋?金安區(qū)期中）計算：-1【分析】首先根據乘方的定義可得：﹣12＝﹣1、(-【解答】解：原式==-=-【點評】本題考查了有理數的混合運算，掌握有理數的混合運算法則是關鍵．【變式5-1】（2025秋?中山區(qū)月考）計算：﹣12+[（﹣4）2﹣（1﹣33）×2]．【分析】先算乘方，括號里面的，再算加法即可．【解答】解：﹣12+[（﹣4）2﹣（1﹣33）×2]＝﹣1+[16﹣（1﹣27）×2]＝﹣1+（16+26×2）＝﹣1+（16+52）＝67．【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟知有理數混合運算的法則是解題的關鍵．【變式5-2】（2025秋?渭濱區(qū)期中）計算：-1【分析】先算乘方，然后再進行有理數的運算即可．【解答】解：原式=＝﹣1+6﹣5＝0．【點評】本題主要考查的是有理數的混合運算，熟練掌握有理數混合運算的法則是解題的關鍵．【題型六】科學記數法與近似數【例6】（2025秋?臨潁縣期中）天問三號任務是中國行星探測工程的重要組成部分，計劃于2028年前后發(fā)射．已知地球與火星的最近距離約為55000000千米，則數據“55000000”用科學記數法表示為（）A．5.5×107 B．5.5×108 C．0.55×108 D．0.55×107【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：55000000＝5.5×107．故選：A．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式6-1】（2025秋?吉水縣期中）吉水是廬陵文化的發(fā)祥地，其特產之一的“吉水井岡蜜柚”外形金黃飽滿，味道清甜如蜜．據統(tǒng)計，全縣共9.85萬畝蜜柚種植基地提供的綜合產值突破3.5億元．請將350000000用科學記數法表示為（）A．3.5×107 B．3.5×108 C．35×107 D．0.35×109【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：350000000＝3.5×108．故選：B．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式6-2】（2025秋?垣曲縣期中）我省堅持實施就業(yè)優(yōu)先戰(zhàn)略，持續(xù)打好減負穩(wěn)崗擴就業(yè)政策“組合拳”，2025年上半年，全省城鎮(zhèn)新增就業(yè)2.787×105人，用科學記數法表示的數據2.787×105的原數是（）A．2787 B．227870 C．278700 D．2787000【分析】根據科學記數法—原數的方法進行作答即可．【解答】解：2.787×105＝278700．故選：C．【點評】本題主要考查科學記數法—原數，熟練掌握其方法是解題的關鍵．【題型七】有理數的實際應用題【例7】（2024秋?芝罘區(qū)期末）某檢修小隊在東西走向的公路上進行電路檢修，約定向東為正，小隊從A地出發(fā)到收工時，記錄如下（單位：km）：﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+1，﹣6．（1）收工時，小隊在A地的什么方向？距離A地多遠？（2）若小隊從A地出發(fā)，檢修結束后直接回到A地，求該小隊當天行走的總路程；（3）在A地東側5km處有一個廣告牌，小隊在這次的檢修中有2次經過這個廣告牌．【分析】（1）將從A地出發(fā)到收工時行走記錄相加，根據計算的結果和題中規(guī)定的正方向即可確定出檢修小隊在A地的哪一邊以及距離A地的距離；（2）把記錄的數的絕對值相加，求出總路程即可．（3）求出每次離A地的距離，判斷即可．【解答】解：（1）將從A地出發(fā)到收工時行走記錄相加：﹣2+（+5）+（﹣1）+（+10）+（﹣3）+（﹣2）+（+1）+（﹣6）＝2，故收工時，小隊在A地正東方，距離A地2km；（2）若小隊從A地出發(fā)，檢修結束后直接回到A地總路程為：|﹣2|+5+|﹣1|+10+|﹣3|+|﹣2|+1+|﹣6|+2＝32，答：總路程為32km；（3）第一次離A地正西2km，﹣2+5＝3，第二次離A地正東3km，3﹣1＝2，第三次離A地正東2km，2+10＝12，第四次離A地正東12km，12﹣3＝9，第五次離A地正東9km，9﹣2＝7，第六次離A地正東7km，7+1＝8，第七次離A地正東8km，8﹣6＝2，第八次離A地正東2km，∵廣告牌在A地東側5km處，且2＜5＜12，2＜5＜8，故第四次、第七次共2次經過這個廣告牌．【點評】本題考查了正數和負數、有理數的加減運算，絕對值的意義，正確列出算式并掌握相關運算法則是解題的關鍵．【變式7-1】（2024秋?文登區(qū)期末）外賣送餐為我們生活帶來了許多便利．某學習小組調查了一名外賣小哥一周的送餐情況，規(guī)定每天送餐量超過50單（送一次外賣稱為一單）的部分記為“+”，低于50單的部分記為“﹣”，如表是該外賣小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（單位：單）﹣4+3﹣5﹣6+9+10+12（1）該外賣小哥這一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少單？（2）若平均每送一單能獲得5元的酬勞，請計算外賣小哥這一周的收入．【分析】（1）用表格中這7天送餐量最大的數減去最小的數即可得到答案；（2）把表格中這7天的送餐量求和再加上50×7即可求出總送餐量，再乘以每一單的單價即可得到答案．【解答】解：（1）∵送餐量最多的是星期六，送餐量最少的是星期四，∴+12﹣（﹣6）＝12+6＝18（單），答：該外賣小哥這一周送餐量最多的一天比最少的一天多18單；（2）50×7+（﹣4）+（+3）+（﹣5）+（﹣6）+（+9）+（+10）+（+12）＝350﹣4+3﹣5﹣6+9+10+12＝369（單），∵平均每送一單能獲得5元的酬勞，∴369×5＝1845元，答：外賣小哥這一周的收入為1845元．【點評】本題主要考查了有理數四則混合計算的應用，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．【變式7-2】（2025秋?廣東期中）小明堅持跑步鍛煉身體，他以30分鐘為基準，將連續(xù)七天的跑步時間（單位：分鐘）記錄如下：12，﹣9，11，﹣7，13，15，﹣5（超過30分鐘的部分記為“+”，不足30分鐘的部分記為“﹣”）（1）跑步時間最長的一天比最短的一天多跑幾分鐘？（2）若小明跑步的平均速度為每分鐘0.15千米，請你計算這七天他共跑了多少千米？【分析】（1）用最大數減去最小數即可求解；（2）先求出這七天的跑步時間，再乘速度即可求解．【解答】解：（1）15﹣（﹣9）＝24（分鐘）．故跑步時間最長的一天比最短的一天多跑24分鐘；（2）30×7+（12﹣9+11﹣7+13+15﹣5）＝240（分鐘），0.15×240＝36（千米）．故這七天他共跑了36千米．【點評】本題主要考查有理數的加減混合運算，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【題型一】混淆有理數相關概念致錯【例1】（2025秋?通道縣期中）下列說法，正確的個數是（）①0既不是正數，也不是負數；②2.2③可以寫成分數的數就是有理數；④﹣3.1415不是自然數，也不是有理數．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據有理數的定義和性質逐項判斷．【解答】解：①0既不是正數也不是負數，正確，符合題意；②2.2③有理數的定義是能寫成分數形式的數，正確，符合題意；④﹣3.1415是有限小數，是有理數，錯誤，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查有理數的分類，解題的關鍵是掌握有理數的相關定義及分類．【變式1-1】（2025秋?保山期中）下列關于有理數的說法正確的是（）A．有理數分為正有理數和負有理數 B．整數分為正整數、負整數 C．有理數是可以寫成分數形式的數 D．有理數分為正數、零、負數【分析】根據有理數的知識逐項判斷即可求解．【解答】解：A、有理數分為正有理數，0和負有理數，故本選項錯誤；B、整數分為正整數，0、負整數，故本選項錯誤；C、有理數是可以寫成分數形式的數，故本選項正確；D、有理數分為正有理數，0和負有理數，故本選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了有理數的分類等知識，有理數的分類標準要統(tǒng)一，做到不重不漏．【變式1-2】（2025秋?閔行區(qū)期中）下列說法中，不正確的是（）A．任何有理數都可以化成分數的形式 B．任何有理數都有相反數 C．任何有理數都可以在數軸上表示 D．任何有理數都有倒數【分析】有理數包括整數和分數，但零沒有倒數．【解答】解：∵有理數包括零，而零沒有倒數，∴選項D“任何有理數都有倒數”不正確．選項A、B、C均正確．故選：D．【點評】本題考查有理數的基本概念和性質，包括有理數的表示、相反數、數軸表示和倒數，解題的關鍵是掌握相關知識．【題型二】有理數運算中符號錯誤【例2】（2025秋?棲霞市期中）下列計算正確的是（）A．﹣6+（﹣3）+（﹣1）＝﹣2 B．(-C．7+（﹣0.5）+2﹣3＝5.5 D．(【分析】根據有理數的加減法法則計算即可．【解答】解：A、﹣6+（﹣3）+（﹣1）＝﹣（6+3+1）＝﹣10，選項計算錯誤，不符合題意；B、(-C、7+（﹣0.5）+2﹣3＝（7+2）﹣（0.5+3）＝9﹣3.5＝5.5，選項計算正確，符合題意；D、(-故選：C．【點評】本題考查了有理數的加減混合運算，掌握有理數的加減混合運算法則是關鍵．【變式2-1】（2025秋?香洲區(qū)期中）把算式﹣10+（﹣12）﹣（﹣16）﹣4寫成省略括號和加號的形式是（）A．﹣10﹣12﹣16﹣4 B．﹣10﹣12+16﹣4 C．10﹣12+16﹣4 D．﹣10+12+16﹣4【分析】根據省略括號和加號的法則計算即可．【解答】解：根據題意﹣10+（﹣12）﹣（﹣16）﹣4＝﹣10﹣12+16﹣4．故選：B．【點評】本題考查省略括號和加號運算，熟練掌握運算法則是解決本題的關鍵．【變式2-2】（2025秋?連州市期中）下面算法正確的是（）A．（﹣11）﹣0＝﹣11 B．﹣8+9＝﹣（9﹣8） C．（﹣3）﹣（﹣7）＝﹣（3+7） D．（﹣10）﹣3＝﹣（10﹣3）【分析】需根據運算法則逐一判斷各選項的正確性．【解答】解：A、（﹣11）﹣0＝﹣11，正確，符合題意；B、﹣8+9＝+（9﹣8），不符合題意；C、（﹣3）﹣（﹣7）＝﹣3+7＝+（7﹣3），不符合題意；D、（﹣10）﹣3＝﹣10+（﹣3）＝﹣（10+3），不符合題意；故選：A．【點評】本題考查有理數的加減運算，解題的關鍵是掌握有理數的加減運算法則．【題型三】乘方運算中符號混淆致錯【例3】（2025秋?三亞期中）下列四組數中，相等的一組是（）A．﹣22和（﹣2）2 B．﹣（﹣2）3和23 C．﹣|﹣2|和|+2| D．﹣（﹣2）和+（﹣2）【分析】求一個數的絕對值和化簡多重符號，分別計算每組兩個數的值，判斷是否相等即可得到答案．【解答】解：A、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22≠（﹣2）2，選項不相等，不符合題意；B、﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，23＝8，﹣（﹣2）3＝23，選項相等，符合題意；C、﹣|﹣2|＝﹣2，|+2|＝2，﹣|﹣2|≠|+2|，選項不相等，不符合題意；D、﹣（﹣2）＝2，+（﹣2）＝﹣2，﹣（﹣2）≠+（﹣2），選項不相等，不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了有理數的乘方，相反數，絕對值，掌握相應的混合運算法則是關鍵．【變式3-1】（2025秋?昭平縣期中）下列各式中，不相等的是（）A．（﹣3）2和32 B．|﹣2|3和|﹣23| C．（﹣2）2和|﹣22| D．（﹣3）2和﹣32【分析】對于選項A，根據（﹣3）2＝9，32＝9即可對該選項進行判斷；對于選項B，根據|﹣2|3＝23＝8，|﹣23|＝|﹣8|＝8即可對該選項進行判斷；對于選項C，根據（﹣2）2＝4，|﹣22|＝4即可對該選項進行判斷；對于選項D，根據（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9即可對該選項進行判斷，綜上所述即可得出答案．【解答】解：A，∵（﹣3）2＝9，32＝9，∴（﹣3）2＝32，故選項A，不符合題意；B∵|﹣2|3＝23＝8，|﹣23|＝|﹣8|＝8，∴|﹣2|3＝|﹣23|，故選項B，不符合題意；C，∵（﹣2）2＝4，|﹣22|＝4，∴（﹣2）2＝|﹣2|2，故選項C，不符合題意；D，∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴（﹣3）2≠﹣32，故該選項，符合題意．故選：D．【點評】此題主要考查了絕對值的意義，有理數乘方運算，理解絕對值的意義，熟練掌握有理數乘方的運算法則是解決問題的關鍵．【變式3-2】（2025秋?定遠縣期中）下列各組數中，數值相等的是（）A．﹣（﹣4）2與42 B．﹣53與（﹣5）3 C．﹣3×23與﹣32×2 D．﹣（﹣3）2與﹣（﹣2）3【分析】根據乘方的定義分別求出每組的數值，進而比較即可判斷求解．【解答】解：A、﹣（﹣4）2＝﹣16，42＝16，﹣（﹣4）2與42數值不相等，不符合題意；B、﹣53＝﹣125，（﹣5）3＝﹣125，﹣53與（﹣5）3數值相等，符合題意；C、﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣32×2＝﹣9×2＝﹣18，﹣3×23與﹣32×2數值不相等，不符合題意；D、﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2與﹣（﹣2）3數值不相等，不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了有理數的乘方，有理數的乘法，掌握相應的運算法則是關鍵．【題型四】科學記數法中a的范圍或n的確定錯誤【例4】（2025?石嘴山一模）作為寧夏光伏產業(yè)重點區(qū)域，石嘴山市2025年計劃新增260萬千瓦光伏裝機容量，推動我市“光伏+儲能”示范項目建設．260萬用科學記數法表示為（）A．2.6×10﹣6 B．0.26×107 C．26×105 D．2.6×106【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：260萬＝2600000＝2.6×106．故選：D．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式4-1】（2025秋?榆樹市期中）長春神鹿峰是坐落在“中國梅花鹿之鄉(xiāng)”雙陽區(qū)的北國秘境，作為國家4A級景區(qū)，神鹿峰在2024年接待游客約211.4萬人次，用科學記數法表示這個數為（）A．21.14×105 B．2.114×106 C．0.2114×107 D．2.114×107【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：211.4萬＝2114000＝2.114×106．故選：B．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式4-2】（2025秋?淇濱區(qū)期中）2025年2月12日，中國載人航天工程辦公室宣布，載人月球探測任務的登月服命名為“望宇”．已知月球距離地球約384000km，將384000用科學記數法表示為m×10n，則m，n的值依次為（）A．3.84，5 B．384，3 C．3.84，4 D．38.4，5【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：∵384000＝3.84×105，∴m等于3.84，n等于5．故選：A．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【題型五】忽略運算順序致錯【例5】（（2025秋?衡山縣期中）計算：-23×32【分析】先算乘方，乘除，再算加減即可．【解答】解：原式＝﹣8×3＝﹣12+2＝﹣10．故答案為：﹣10．【點評】本題考查的是有理數的混合運算，熟知有理數混合運算的法則是解題的關鍵．【變式5-1】（2024秋?杭州期末）計算(-16-14【分析】把原式化為-1【解答】解：原式=＝6+9﹣4＝11，故答案為：11．【點評】本題考查了有理數的混合運算，熟知有理數混合運算的法則是解題的關鍵．【變式5-2】（2025秋?修文縣期中）你會玩“24點”游戲嗎？從一副撲克牌（去掉大、小王）中任意抽取四張，根據牌面上的數字進行混合運算（每一張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號），使運算結果為24或﹣24，其中紅色（紅桃、方塊）撲克牌代表負數，黑色（黑桃、梅花）撲克牌代表正數，J，Q，K，A分別代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他運用下面的方法湊成了24：7×（3+3÷7）＝24．如果抽到的是黑桃A，方塊2，黑桃2，黑桃3，請寫出湊成24或﹣24的其中一種方法：21﹣（﹣2）×3＝23×3＝24．【分析】根據題目給出的條件運用合理的運算法則計算即可．【解答】解：∵黑桃A，方塊2，黑桃2，黑桃3，∴21﹣（﹣2）×3＝23×3＝24．【點評】本題考查了靈活運用所學運算法則計算固定結果的一類題目，這就要對數字的選用和法則很熟練才可以．【題型一】有理數概念辨析解題技巧核心技巧：緊扣定義，排除特例。對于易混淆概念（如正數與整數、絕對值與相反數），通過舉反例驗證（如0是整數但不是正數，絕對值相等的數可能互為相反數）；牢記特殊數的性質（0的相反數、倒數、絕對值特征）?！纠?】（2025秋?遂寧期中）下列各組數中，互為相反數的是（）A．﹣[+（﹣4.9）]與4.9 B．﹣2.3與2.31 C．﹣（﹣3.2）與﹣3.2 D．﹣（+1）與+（﹣1）【分析】先化簡，再根據只有符號不同的兩個數是相反數，可判斷互為相反數的兩個數．【解答】解：根據只有符號不同的兩個數是相反數逐項分析判斷如下：A．﹣[+（﹣4.9）]＝4.9與4.9不是互為相反數，故不符合題意；B．﹣2.3+2.31＝0.01≠0，則不是互為相反數，故不符合題意；C．﹣（﹣3.2）＝3.2與﹣3.2是互為相反數，符合題意；D．﹣（+1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，則不是互為相反數，故不符合題意；故選：C．【點評】本題考查相反數、絕對值，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．【變式1-1】（2025秋?呼和浩特期中）下列各組數中，互為相反數的是（）A．﹣2與+（+2） B．﹣2與-(C．+（﹣2）與-12 D．﹣（﹣2）與|【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數逐項判斷即可得出答案．【解答】解：A、﹣2與+（+2）是互為相反數，符合題意；B、﹣2與-(C、+（﹣2）與-1D、﹣（﹣2）與|﹣2|不是互為相反數，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了相反數、絕對值、有理數的乘方，掌握相應的運算法則是關鍵．【變式1-2】（2025秋?興寧區(qū)期中）下列各對數中，互為倒數的一對是（）A．53和35 B．﹣4和4 C．﹣3和13 D．【分析】根據倒數的定義可知，乘積是1的兩個數互為倒數．【解答】解：A．∵53×35=1B．∵﹣4×4≠1，∴﹣4和4不互為倒數，故不符合題意；C．∵﹣3×13≠1，∴﹣3D．0沒有倒數，∴0和0不互為倒數，故不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查了倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．注意0沒有倒數．【題型二】有理數程序框運算解題技巧核心技巧：將程序框運算進行轉化；靈活運用運算律簡化計算（加法交換律、結合律湊整，乘法分配律去括號）；遇到分數、小數混合運算，統(tǒng)一化為分數或小數再計算；注意乘方運算的符號規(guī)則（負數的奇次冪為負，偶次冪為正）?！纠?】（2024秋?吉林期末）如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為﹣2，則輸出的結果是﹣5．【分析】根據題意列式計算，直至結果小于﹣4即可．【解答】解：若開始輸入x的值為﹣2，則2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3＞﹣4，返回繼續(xù)運算；2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5＜﹣4，輸出結果；故答案為：﹣5．【點評】本題考查有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．【變式2-1】（2025秋?青羊區(qū)期中）按照如圖所示的操作步驟，若輸入x的值為﹣2，則輸出的值為3．【分析】根據框圖中的運算法則列式計算即可．【解答】解：當x＝﹣2時，2×（﹣2）2﹣5＝2×4﹣5＝8﹣5＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了有理數的混合運算，正確列出算式并計算是解題的關鍵．【變式2-2】（2025秋?渭濱區(qū)期中）如圖是一個“數值轉換機”的示意圖，當輸入x＝﹣2時，輸出的結果是8．【分析】把x＝﹣2代入代數式進行計算即可．【解答】解：由題意得，當x＝﹣2時，2×（﹣2）2＝2×4＝8．故答案為：8．【點評】本題考查的是有理數的混合運算，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．【題型三】數軸與絕對值綜合解題技巧核心技巧：利用數軸的幾何意義（數軸上兩點間距離=右邊數-左邊數）；絕對值問題分類討論（根據絕對值內代數式的正負性去絕對值符號）；記住結論：|a-b|表示數軸上a、b兩點間的距離?！纠?】（2025秋?慈溪市期中）我們知道，在數軸上|a|表示數a到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數軸上兩個點A，B，分別用數a，b表示，那么A、B兩點之間的距離為：AB＝|a﹣b|．例如，點A表示的數是2，點B表示的數為﹣3，A，B兩點之間的距離為：AB＝|2﹣（﹣3）|＝|2+3|＝5．利用此結論，回答以下問題：（1）A所表示的數是﹣1，B所表示的數是6，A，B兩點之間的距離是7；（2）若|a+6|＝1，則a＝﹣5或﹣7；（3）結合數軸，求得|a﹣6|+|a+6|的最小值為12．【分析】（1）根據數軸上點的距離定義即可得到答案；（2）|a+6|＝1，即|a﹣（﹣6）|＝1，表示數軸上點a到點﹣6的距離為1，從而即可得到答案；（3）要求|a﹣6|+|a+6|的最小值，相當于在數軸上找一個點a，使得它到6和﹣6的距離之和最小，根據幾何意義，當點在6和﹣6之間時，它們的和最小，從而得到答案．【解答】解：（1）根據絕對值的幾何意義可知，AB＝|6﹣（﹣1）|＝|6+1|＝7．故答案為：7；（2）∵|a+6|＝1，即|a﹣（﹣6）|＝1，∴點a到點﹣6的距離為1，∴a＝﹣5或a＝﹣7；（3）設點a是數軸上一點，根據絕對值的幾何意義可知，當點a在6和﹣6之間時|a﹣6|+|a+6|有最小值，∴|a﹣6|+|a+6|有最小值為12．【點評】本題考查了絕對值，數軸，掌握數軸上點的距離是關鍵．【變式3-1】（2025秋?哈爾濱期中）一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數軸上表示﹣4和7的兩點之間的距離是11；（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4；（3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數a、b在數軸上表示的數分別是點A和點B，則A、B兩點間的最大距離是8；最小距離是2．【分析】（1）直接將表示的兩個數代入距離公式|m﹣n|，代入m＝﹣4、n＝7計算即可；（2）根據絕對值的幾何意義，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|＝3表示x到﹣1的距離為3，由此列方程x+1＝±3求解；（3）先分別解兩個絕對值方程，得到a、b的所有可能值，再計算所有情況下A、B兩點的距離，對比得出最大和最小距離．【解答】解：（1）根據數軸上兩點間距離公式|m﹣n|，將m＝﹣4、n＝7代入得：|﹣4﹣7|＝|﹣11|＝11．故答案為：11；（2）由絕對值的性質，若|x+1|＝3，則x+1＝3或x+1＝﹣3，當x+1＝3時，解得x＝3﹣1＝2；當x+1＝﹣3時，解得x＝﹣3﹣1＝﹣4．故答案為：2或﹣4；（3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數a、b在數軸上表示的數分別是點A和點B，由絕對值性質得a﹣3＝2或a﹣3＝﹣2，解得a＝3+2＝5或a＝3﹣2＝1．解|b+2|＝1：由絕對值性質得b+2＝1或b+2＝﹣1，解得b＝1﹣2＝﹣1或b＝﹣1﹣2＝﹣3．計算A、B兩點間距離：當a＝5、b＝﹣1時，距離為|5﹣（﹣1）|＝6；當a＝5、b＝﹣3時，距離為|5﹣（﹣3）|＝8；當a＝1、b＝﹣1時，距離為|1﹣（﹣1）|＝2；當a＝1、b＝﹣3時，距離為|1﹣（﹣3）|＝4．故答案為：8；2．【點評】本題考查了數軸上兩點間距離公式的應用、絕對值的幾何意義及絕對值方程的解法，解題的關鍵是熟練掌握“數軸上兩點距離等于兩點所表示數的差的絕對值”，并能利用絕對值的性質求解方程、計算兩點間距離．【變式3-2】（2025秋?上蔡縣期中）在數軸上，點A，B所表示的數分別是a，b，回答下列問題：（1）若a＝﹣2，b＝1，則A，B兩點間的距離是3；（2）試用含a，b的式子表示A，B兩點間的距離為|a﹣b|，并用文字說明|a+3|在數軸上表示的幾何意義：表示數軸上表示a的點到表示﹣3的點的距離；（3）若x可以取任意有理數，則代數式|x+1|+|x﹣3|有最小值（填：“大”或“小”），該值等于4．【分析】（1）根據絕對值的幾何意義AB＝1﹣（﹣2）＝3；（2）根據絕對值的幾何意義AB＝|a﹣b|，|a+3|＝|a﹣（﹣3）|表示數軸上a到﹣3的距離；（3）根據絕對值的幾何意義表示出|x+1|+|x﹣3|＝|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|的幾何意義，求解即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2