屆高三數(shù)學(xué)測(cè)試題（六）姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．若，則（）A．B．C． D．3.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為，則（）A． B. C. D.4．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期為的函數(shù)為（）A．B．C． D．5．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．6．設(shè)點(diǎn)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．若的面積為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，則四棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．在中，角的對(duì)邊分別為，若的平分線的長(zhǎng)為，則邊上的高線的長(zhǎng)等于（）A．B．C．D．二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)部分得分，有選錯(cuò)得0分9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則下列選項(xiàng)正確的有（）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，取得最大值為 D．的最小值為10．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）A．與垂直 B．與平面C．與所成的角為 D．平面11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為軸上一點(diǎn)，且，線段與拋物線相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（）A．直線的方程為 B．以線段為直徑的圓與軸相切C． D．填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12．某個(gè)班級(jí)名學(xué)生報(bào)名參加兩項(xiàng)區(qū)學(xué)科競(jìng)賽，每人至少報(bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)比賽參加的人數(shù)不限，則不同的報(bào)名結(jié)果有種．（結(jié)果用具體數(shù)字表示）13．近年來(lái)純電動(dòng)汽車越來(lái)越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時(shí)間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間.若計(jì)算時(shí)取，則該蓄電池的常數(shù)大約為.（精確到0.01）14.若直線與拋物線相切，且切點(diǎn)在第一象限，則與坐標(biāo)軸圍成三角形面積的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15．2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在法國(guó)巴黎正式開(kāi)幕.人們?cè)谟^看奧運(yùn)比賽的同時(shí)，開(kāi)始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)從抽取人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)合計(jì)周平均鍛煉時(shí)間少于4小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)50歲以下406010050歲以上（含50）2575100合計(jì)65135200(1)試根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否與年齡有關(guān)？精確到0.001；(2)現(xiàn)從歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取人做進(jìn)一步訪談，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人填寫(xiě)調(diào)查問(wèn)卷.記抽取人中周平均鍛煉時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.16．已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．在如圖所示的直四棱柱中，連接，，，，，，，.(1)求證：四點(diǎn)共面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知函數(shù)．（1）若時(shí)，恒有，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．19．已知橢圓，若橢圓的焦距為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．（1）求橢圓方程；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；（3）若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．2026屆高三數(shù)學(xué)測(cè)試題參考答案（六）一、單選題1．【解析】C因?yàn)榧?，又集合，所?2．【解析】C設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，所?故選：C.3．【解析】D常數(shù)項(xiàng)為,解得4．【解析】B對(duì)A，其最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，且，解得，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其最小正周期為，故B正確；對(duì)C，其最小正周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，則其為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B5．【解析】B因?yàn)?，，所以，則，解得，因?yàn)?，所以．故選：B6．【解析】D點(diǎn),將代入，可得，解得，所以,所以，所以，又因?yàn)椋?，則，又因?yàn)椋?，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選:D.7．【解析】B依題意，，設(shè)外接圓的半徑為，四棱錐的外接球的半徑為，則，即，又側(cè)面底面，底面為正方形，側(cè)面底面，，平面，所以平面，所以，所以四棱錐的外接球的表面積.故選：B8．【解析】B由題意知，設(shè)，則，如圖所示，由可得，整理得，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由可得，解得，故選：B二、多選題9．【解析】ACD因?yàn)?，，所以，解得，，，?duì)于A．令n＝9，解得，故A正確；對(duì)于B．d＝－2＜0，數(shù)列是遞減數(shù)列，因此數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C．，當(dāng)n＝15時(shí)，取得最大值為225．故C正確；對(duì)于D．，令，，∴f（x）在上單調(diào)遞增，∴的最小值為1，故D正確.故選：ACD.10．【解析】ABD對(duì)A：連接，，則交于，又為中點(diǎn)，可得，由平面，平面，可得，故，故A正確；對(duì)B：連接，，由正方體性質(zhì)可知平面，可得平面，故B正確；對(duì)C：與所成角就是，連接，由正方體性質(zhì)可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，平面，平面，故平面，故D正確．故選：ABD11．【解析】BC拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，，如圖，因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于，則，由拋物線的定義可知，，得，故C正確；在中，有，得，故D錯(cuò)誤；，則直線的斜率為，所以直線的方程為，即或，故A錯(cuò)誤；取線段中點(diǎn)，過(guò)作軸于，則，所以，即線段中點(diǎn)到軸的距離等于，則以線段為直徑的圓與軸相切，故B正確．故選：BC三、填空題12．【解析】每名學(xué)生可報(bào)一項(xiàng)或兩項(xiàng)，所以有,所以4名學(xué)生共有種.13．【解析】由題意知，所以，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得，所以14．【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，切線l的方程為，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，令，解得，因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以，所以與坐標(biāo)軸圍成三角形面積令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以四、解答題15．【解析】（1）零假設(shè)：周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡無(wú)關(guān)聯(lián)··········································1分由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，··················································3分··············································································4分根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于·····················5分所以50歲以下和50歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)有差異.（2）抽取的5人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于4小時(shí)有人，不少于4小時(shí)有人，·····6分所以所有可能的取值為，··············································································7分所以，，，······················10分所以隨機(jī)變量的分布列為：123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望·················································13分16．【解析】（1）對(duì)整理有：，···································1分等式兩邊同時(shí)除以可得，······························································3分等式兩邊再同時(shí)減得，即，······························5分又由，可得，故，············································6分則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．··········································7分（2）由（1）得的通項(xiàng)公式為，得，所以．··········11分（3）由（2）知，所以·············13分········································································15分【解析】（1）因?yàn)椋?，，∴是等腰直角三角形，·······························································?分∴，所以，····················································2分又，所以，·······························································4分所以，，，四點(diǎn)共面．·······························································5分（2）因?yàn)?，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，，，，，·····················7分所以，，，.······································8分設(shè)平面的法向量為，則有，化簡(jiǎn)得，所以可取，··········10分設(shè)平面的法向量為，則有，化簡(jiǎn)得，所以取，···12分平面與平面的夾角即與夾角或其補(bǔ)角，所以，························14分所以平面與平面夾角的余弦值為.···································15分18．【解析】（1）由若時(shí)，恒有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，···········1分設(shè)，則令，·································2分則，顯然在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，··············4分①當(dāng)時(shí)，，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；·············································6分②當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以存在，使得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意；·······································8分綜上所述，a的取值范圍為.·······························································9分（2）要證當(dāng)時(shí)，，即證，·························10分設(shè)，則，··············11分令，則單調(diào)遞增，·····················13分所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，·····················14分所以當(dāng)時(shí)，，················································15分則當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，·························································16分所以當(dāng)時(shí)，，原式得證.···············17分19．【解析】（1）由題意，，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，，··2分所以橢圓的方程為.·································································3分（2）根據(jù)題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，············4分聯(lián)立，消去整理得，··········5分，，且，··············7分，····················9分令，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，····························································