第二十二章

二次函數(shù)

22.3實際問題與二次函數(shù)（第3課時）3.能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策．1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題．

2.利用二次函數(shù)解決拱橋及運(yùn)動中的有關(guān)問題．生活中拋物線隨處可見如圖是一個二次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在請你根據(jù)給出的坐標(biāo)系的位置，說出這個二次函數(shù)的解析式類型.xyxyxy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO

如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋的跨度是4.9米，水面寬是4米時，拱頂離水面2米.現(xiàn)在想了解水面寬度變化時，拱頂離水面的高度怎樣變化．你能想出辦法來嗎？建立平面直角坐標(biāo)系解答拋物線形問題知識點建立函數(shù)模型.這是什么樣的函數(shù)呢？

拱橋的縱截面是拋物線，所以應(yīng)當(dāng)是個二次函數(shù).你能想出辦法來嗎？【合作探究】怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡單呢？以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖．從圖看出，什么形式的二次函數(shù)，它的圖象是這條拋物線呢？由于頂點坐標(biāo)系是（0.0），因此這個二次函數(shù)的形式為如何確定a是多少？已知水面寬4米時，拱頂離水面高2米，因此點A（2，-2）在拋物線上，由此得出,解得-2-421-2-1Axyo-2=a×22因此，，其中｜x｜是水面寬度的一半，y是拱頂離水面高度的相反數(shù)，這樣我們就可以了解到水面寬度變化時，拱頂離水面高度怎樣變化．由于拱橋的跨度為4.9米，因此自變量x的取值范圍是：現(xiàn)在你能求出水面寬3米時，拱頂離水面高多少米嗎？水面寬3m時,

從而因此拱頂離水面高1.125m.建立二次函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟是什么？實際問題建立二次函數(shù)模型利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解實際問題的解建立二次函數(shù)模型解決實際問題例1

圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m時，水面寬度增加了多少？建立坐標(biāo)系解答生活中的拋物線形問題素養(yǎng)考點1l=4m2ml=4m2m解法一:

如圖所示以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.∴可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為y=ax2.當(dāng)拱橋離水面2m時,水面寬4m.即拋物線過點(2,-2),∴這條拋物線所表示的二次函數(shù)為y=-0.5x2.∴-2=a×22,∴a=-0.5.當(dāng)水面下降1m時,水面的縱坐標(biāo)為y=-3,這時有

l=4m2m解法二:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因此可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為:y=ax2+2.此時,拋物線的頂點為(0,2)當(dāng)拱橋離水面2m時,水面寬4m,即:拋物線過點(2,0),因此這條拋物線所表示的二次函數(shù)為:y=-0.5x2+2.當(dāng)水面下降1m時,水面的縱坐標(biāo)為y=-1,這時有:

0=a×22+2，a=-0.5.

2ml=4mo解法三:如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以其中的一個交點(如左邊的點)為原點，建立平面直角坐標(biāo)系.因此可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2+2.∵拋物線過點(0,0),∴0=a×(-2)2+2.∴a=-0.5.因此這條拋物線所表示的二次函數(shù)為y=-0.5(x-2)

2+2.此時,拋物線的頂點為(2,2).

2ml=4mo1.理解問題;

回顧“最大利潤”和“橋梁建筑”解決問題的過程，你能總結(jié)一下解決此類問題的基本思路嗎？與同伴交流.2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系；3.用數(shù)學(xué)的方式表示出它們之間的關(guān)系;4.做數(shù)學(xué)求解;5.檢驗結(jié)果的合理性.【思考】“二次函數(shù)應(yīng)用”的思路有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出這條拋物線表示的函數(shù)的解析式.OACDByx20mh解：設(shè)該拱橋形成的拋物線的解析式為y=ax2.∵該拋物線過(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04.∴y=-0.04x2.利用二次函數(shù)解決運(yùn)動中拋物線形問題素養(yǎng)考點2例2

如圖，一名運(yùn)動員在距離籃球圈中心4m（水平距離）遠(yuǎn)處跳起投籃，籃球準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃球運(yùn)行的路線為拋物線，當(dāng)籃球運(yùn)行水平距離為2.5m時，籃球達(dá)到最大高度，且最大高度為3.5m，如果籃圈中心距離地面3.05m，那么籃球在該運(yùn)動員出手時的高度是多少米？2.5m4m3.5m3.05m解：如圖，建立直角坐標(biāo)系.則點A的坐標(biāo)是（1.5，3.05），籃球在最大高度時的位置為B（0，3.5）.以點C表示運(yùn)動員投籃球的出手處.xyO設(shè)以y軸為對稱軸的拋物線的解析式為y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而點A，B在這條拋物線上，所以有

2.25a+k=3.05，

k=3.5，

xy

xy

1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來表示，其中t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過的時間，則球在

s后落地.4基礎(chǔ)鞏固題2.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時離地面的高度y(米）關(guān)于水平距離x(米）的函數(shù)解析式為，那么鉛球運(yùn)動過程中最高點離地面的距離為

米.xyO23.某公園草坪的防護(hù)欄是由100段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見，每段護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點距底部0.5m（如圖），則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為（）A.50mB.100mC.160mD.200mC某工廠要趕制一批抗震救災(zāi)用的大型活動板房．如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長為12m，拋物線拱高為5.6m．（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，求拋物線的表達(dá)式．能力提升題

解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2.∵點B（6，﹣5.6）在拋物線的圖象上，∴﹣5.6=36a，∴拋物線的表達(dá)式為（2）現(xiàn)需在拋物線AOB的區(qū)域內(nèi)安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點到拋物線的水平距離至少為0.8m．請計算最多可安裝幾扇這樣的窗戶？

（2）設(shè)窗戶上邊所在直線交拋物線于C，D兩點，D點坐標(biāo)為（k，t），已知窗戶高1.6m，∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4.∴

，解得k=

，即k1≈5.07，k2≈﹣5.07

.∴CD=5.07×2≈10.14（m）設(shè)最多可安裝n扇窗戶，∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．則最大的正整數(shù)為4．答：最多可安裝4扇窗戶.解：懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主懸鋼索之間用垂直鋼索連接.已知兩端主塔之間的水平距離為900m,兩主塔塔頂距橋面的高度為81.5m,主懸鋼索最低點離橋面的高度為0.5m.拓廣探索題(1)若以橋面所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；yxO-450450解：根據(jù)題意，得拋物線的頂點坐標(biāo)為（0,0.5），對稱軸為y軸，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+0.5.拋物線經(jīng)過點（450,81.5），代入上式，得

81.5=a?4502+0.5.解得故所求表達(dá)式為yxO-450450(2)計算距離橋兩端主塔分別為100m,50m處垂直鋼索的長.yxO-450450

當(dāng)x=450﹣50=400（m）時，得某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系．（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；（2）王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？（3）經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．解：（1）設(shè)水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x﹣3）2+5（a≠0），將（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得25a+5=0，解得a=﹣0.2，∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．解：（2）當(dāng)y=1.8時，有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，因此為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內(nèi)．解：（3）當(dāng)x=0時，y=﹣0.2（x﹣3）2+5=3.2．設(shè)改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣0.2x2+bx+3.2，∵該函數(shù)圖象過點（16，0），∴0=﹣0.2×162+16b+3.2，解得b=3.∴改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為

y=﹣0.2x2+3x+3.2=﹣0.2（x﹣7.5）2+14.45．∴擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為14.45米．轉(zhuǎn)化回歸（二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)）拱橋問題運(yùn)動中的拋物線問題（實物中的拋物線形問題）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系能夠?qū)嶋H距離準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；選擇運(yùn)算簡便的方法實際問題數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵1.二次函數(shù)的圖象是拋物線,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù).通常以拋物線的頂點為

,以拋物線的對稱軸為

建立平面直角坐標(biāo)系.

2.某廣場有一噴水池,水從地面噴出,如圖,以水平地面為x軸,出水點為原點,建立平面直角坐標(biāo)系,水在空中劃出的曲線是拋物線y=-x2+4x的一部分,則水噴出的最大高度是(

)A.4m B.3m C.2m D.1m原點

y軸

A構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題【例】

行駛中的汽車在剎車后由于慣性,還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止,這段距離稱為“剎車距離”.為了測定某種型號汽車的剎車性能(車速不能超過140km/h),對這種汽車進(jìn)行測試,測得數(shù)據(jù)如下表:

(1)請建立合適的平面直角坐標(biāo)系,并在該坐標(biāo)系內(nèi)描出這些數(shù)據(jù)所表示的點,并用平滑曲線連接這些點,得到函數(shù)的大致圖象;(2)觀察圖象,估計函數(shù)的類型,并確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式;(3)該型號汽車發(fā)生了一起交通事故,現(xiàn)場測得剎車距離為46.5m,請推測剎車時的速度是多少?在事故發(fā)生時,汽車是超速行駛還是正常行駛?分析:(1)將表中每一組數(shù)據(jù)作為點的坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出這些點,畫出圖象,注意隱含條件x≥0;(2)根據(jù)所畫出的圖象,判斷出y是x的什么函數(shù),然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;(3)令y=46.5,求出相應(yīng)的x的值,再與140

km/h比較.解:(1)建立平面直角坐標(biāo)系,描點、畫圖,如圖.(2)依據(jù)圖象,設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,將表中前三組經(jīng)檢驗,表中其他各組數(shù)據(jù)也符合此解析式.所以所求函數(shù)解析式為y=0.002x2+0.01x(0≤x≤140).(3)當(dāng)y=46.5時,0.002x2+0.01x=46.5,解得x1=150,x2=-155(舍去).所以推測剎車時的速度是150

km/h.因為150>140,所以事故發(fā)生時汽車是超速行駛.點撥:本題與生活實際緊密相連,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活.題中并沒有說明y關(guān)于x是哪一種函數(shù),通過提供的數(shù)據(jù)畫出圖象后,方可發(fā)現(xiàn)符合二次函數(shù)的特征.選取三點求出二次函數(shù)的解析式后,將其他點代入驗證必不可少,只有驗證無誤后方可認(rèn)定為二次函數(shù).12341.向上發(fā)射一枚炮彈,經(jīng)xs后的高度為ym,且時間與高度的關(guān)系為y=ax2+bx.若此炮彈在第7s與第14s時的高度相等,則在下列哪一個時間的高度是最高的?你的結(jié)論是(

)A.第8s B.第10sC.第12s D.第15s答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉12342.某學(xué)校要建造一個圓形噴水池,在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA.O恰好在水面中心,安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,且在過OA的任意平面上的拋物線如圖①,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖②),水流噴出的高度y(單位:m)與水面距離x(單位:m)之間的函數(shù)解析式是,若不計其他因素,水池的半徑至少要(

)m,才能使噴出的水不至于落在池外.答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉12343.如圖,小明的父親在相距2m的兩棵樹間拴了一根繩子,