專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考點一函數(shù)的概念與表示(多考向探究預(yù)測)考點二函數(shù)的圖象目錄索引考點三函數(shù)的性質(zhì)(多考向探究預(yù)測)領(lǐng)航高考風(fēng)向標近五年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命題呈現(xiàn)以下特點:1.知識融合深化

導(dǎo)數(shù)常與數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等知識深度融合,形成多知識點融合的壓軸題,如2025年新課標卷將導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合,考查學(xué)生分析問題的思維過程.2.情境創(chuàng)新凸顯

引入新定義或新情境,以數(shù)學(xué)文化、生活實際、科技成果等為背景的題目逐漸增多,使試題更具創(chuàng)新性和應(yīng)用性.此外,分段函數(shù)、抽象函數(shù)與指對函數(shù)的復(fù)合應(yīng)用頻率增加.3.思維能力側(cè)重

對學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的考查力度不斷加大,注重學(xué)生思維的深度和廣度,如2025年試題計算量和思維層次區(qū)分度增加.4.命題形式靈活

題目順序隨機性增強,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)在不同題型和難度層次中,且可能出現(xiàn)多選題、開放題、結(jié)構(gòu)不良題等新題型.第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點一函數(shù)的概念與表示(多考向探究預(yù)測)理知識1.復(fù)合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域為[m,n],則y=f(g(x))中,由m≤g(x)≤n解得x的取值范圍即為f(g(x))的定義域.(2)若f(g(x))的定義域為[m,n],則由m≤x≤n得到g(x)的取值范圍,即為f(x)的定義域.2.分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi),其對應(yīng)法則也不同的函數(shù),分段函數(shù)是一個函數(shù),而不是多個函數(shù);分段函數(shù)的定義域是各段x的取值范圍的并集,值域是各段y的取值范圍的并集,故解分段函數(shù)時要分段解決.[微提醒]在求分段函數(shù)的值域時常用數(shù)形結(jié)合的方法.鏈高考

(-∞,0)∪(0,1]

B

(2)(2025廣東東莞模擬)已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域為[-2,2],則函數(shù)y=f(x)的定義域為

,函數(shù)y=f(x+1)的定義域為

.

[-1,3][-2,2]解析

因為-2≤x≤2,所以-1≤x2-1≤3,所以y=f(x)的定義域為[-1,3].由-1≤x+1≤3,得-2≤x≤2,所以函數(shù)y=f(x+1)的定義域為[-2,2].

D

C

B解析

將x=-1代入,得到f(-1)=(-1)2+(-1)=0,所以f(f(-1))=f(0),將x=0代入,得到f(0)=e0+ln

1=1.因此f(f(-1))=f(0)=1.故選B.

2解析

由題意知,當a≥0時,f(a)=2a=4,解得a=2;當a<0時,f(a)=a+2=4,解得a=2,與a<0矛盾,此時a無解.所以a=2.

[-2,0)解析

當m+1<1,即m<0時,由f(m+1)≤1,得(m+1)2≤1,解得-2≤m<0;當m+1≥1,即m≥0時,由f(m+1)≤1,得m+1+1≤1,無解.所以m的取值范圍是[-2,0).

8解析

f(-1)=-(-1)2=-1,所以f(a)=3,因為x≤0時,f(x)=-x2≤0,所以a>0,f(a)=log2a=3,解得a=8.

±2解析

①若a≤1,則當x>1時,f(x)=x-2a+1,且單調(diào)遞增;當x≤1時,f(x)=x2-2ax+3,所以最小值為f(a)=-a2+3.若f(x)存在最小值-1,則有-a2+3≤1-2a+1且-a2+3=-1,解得a=-2.②若a>1,則當1<x<a時,f(x)=-x+1,當x≥a時,f(x)=x-2a+1,當x≤1時,f(x)=x2-2ax+3,且單調(diào)遞減,f(1)=4-2a,f(a)=1-a.若最小值為f(1),則4-2a=-1,且4-2a≤1-a,無解;若最小值為f(a),則1-a=-1,且4-2a>1-a,得a=2.綜上所述,a=-2或a=2.考點二函數(shù)的圖象理知識1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法:一是描點法;二是圖象變換法,其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換.2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,作圖時要準確畫出圖象的特點.[微提醒]已知函數(shù)的解析式判斷圖象時,常利用排除法.鏈高考(2024全國甲,理7)函數(shù)y=-x2+(ex-e-x)sinx在區(qū)間[-2.8,2.8]的圖象大致為(

)B

D解析

由題中圖象可知,函數(shù)f(x)為偶函數(shù),排除A,B,當0<x<1時,f(x)<0,排除C.故選D.

C

【對點訓(xùn)練3】(1)(2025湖北襄陽模擬)已知圖1對應(yīng)的函數(shù)為y=f(x),則圖2對應(yīng)的函數(shù)是(

)

圖1圖2A.y=f(-|x|) B.y=f(-x)C.y=f(|x|) D.y=-f(-x)A解析

當x≤0時,所求函數(shù)圖象與已知函數(shù)相同,當x>0時,所求函數(shù)圖象與x<0時圖象關(guān)于y軸對稱,即所求函數(shù)為偶函數(shù),且當x≤0時的圖象與y=f(x)(x≤0)的圖象相同,故B,D不符合要求;當x≤0時,y=f(-|x|)=f(x),y=f(|x|)=f(-x),故A正確,C錯誤.故選A.

(-∞,-1]解析

令x+1=-x2-4x-5,解得x=-2,x=-3,函數(shù)的大致圖象如圖,由圖可知,函數(shù)f(x)≤-1,故答案為(-∞,-1].考點三函數(shù)的性質(zhì)(多考向探究預(yù)測)理知識1.單調(diào)性的等價形式設(shè)任意實數(shù)x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0等價于f(x)在[a,b]上是增函數(shù);(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0等價于f(x)在[a,b]上是減函數(shù).2.奇偶性與對稱性(1)若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x);若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a),且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),則-f(x)=f(-x);若函數(shù)y=f(x+a)是奇函數(shù),則-f(x+a)=f(-x+a),且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.3.周期性與奇偶性(1)若y=f(x)是偶函數(shù),其圖象又關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù).(2)若y=f(x)是奇函數(shù),其圖象又關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù).鏈高考

A

2.(2023新高考Ⅰ,4)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(

)【一題多解】A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)D

考向1

單調(diào)性與奇偶性例4

(1)(2020新高考Ⅰ卷,8)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]D

B

ABC

【對點訓(xùn)練4】(1)(2025河北滄州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+1)為奇函數(shù),當x<1時,f(x)=ex-e,則關(guān)于a的不等式f(a2-a-1)≥0的解集為(

)A.[-1,2]B.[-2,1]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)C解析

依題意,因為f(x+1)為奇函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,又當x<1時,f(x)=ex-e,易知函數(shù)f(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當x≥1時,函數(shù)f(x)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,又f(1)=0,可知f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(a2-a-1)≥0可化為f(a2-a-1)≥f(1),即a2-a-1≥1,即a2-a-2≥0,解得a≤-1或a≥2,所以不等式的解集為(-∞,-1]∪[2,+∞).故選C.

ABD解析

因為f(x)滿足f(x+2)=-f(-x),令x=-1,則f(1)=-f(1),即f(1)=0,又因為f(x)為偶函數(shù),所以f(-1)=f(1)=0,故A正確;因為f(x+2)=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期T=4,再根據(jù)f(x+2)=-f(-x),即f(x+6)=-f(-x),所以f(x)的圖象關(guān)于點(3,0)成中心對稱,故B正確;由B知f(x)的周期T=4,故f(2