綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐類試題是山西中考?xì)v年必考題型，從2024年開始，山西中考的綜合與實(shí)踐題遵循2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，立足于真實(shí)情境，提出具有綜合性、實(shí)踐性、探究性和開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，綜合運(yùn)用跨領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，展現(xiàn)通性通法的應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)基礎(chǔ)知識解決問題的能力，同時考查應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.專題解讀典例精講例1

綜合與實(shí)踐問題背景：如圖為一汽車停車棚及它的側(cè)面示意圖，其棚頂?shù)臋M截面APB可以看作是拋物線的一部分.數(shù)據(jù)收集：車棚與支柱OQ的交點(diǎn)A到地面的距離為2m，棚頂?shù)淖罡唿c(diǎn)P的豎直高度是3m，距離支柱OQ的水平距離是4m，棚頂右端點(diǎn)B距離支柱OQ的水平距離是6m，車位的長OC為6m.已知棚頂?shù)倪吘壟c車位的邊緣平齊.問題解決：以O(shè)C所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)B到地面的距離.解：∵棚頂?shù)淖罡唿c(diǎn)P的豎直高度是3

m，距離支柱OQ的水平距離是4

m，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）.∴可設(shè)橫截面APB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-4）2+3（0

≤x≤

6）.∵車棚與支柱OQ的交點(diǎn)A到地面的距離為2

m，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）.問題解決：以O(shè)C所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)B到地面的距離.

問題解決：以O(shè)C所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.（2）若一輛貨車需在停車棚下避雨，貨車截面可看作長為5m，高為1.95m的矩形，為了安全，矩形上側(cè)頂點(diǎn)距離棚頂?shù)你U垂高度應(yīng)不小于0.2m.試判斷該貨車能否完全停到車棚內(nèi)？請說明理由.

例2（2025省調(diào)研卷）綜合與實(shí)踐問題背景：智慧小組在以“停車距離問題”為主題的綜合實(shí)踐活動中，收集到如下信息：在駕車行駛過程中，從司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方道路有異常到踩下剎車需要一段時間，這段時間叫反應(yīng)時間.在反應(yīng)時間內(nèi)汽車行駛的距離叫反應(yīng)距離.從踩下剎車到汽車最終停止，汽車行駛的距離叫制動距離.成果展示：該小組對車輛停車距離與行駛速度之間的關(guān)系進(jìn)行研究，得到如下成果：小聰：影響停車距離的主要因素有汽車的行駛速度與司機(jī)的反應(yīng)時間（其他因素忽略不計(jì)）.小明：停車距離d=反應(yīng)距離d1+制動距離d2，即d=d1+d2.小智：下面是反應(yīng)距離d1（單位：m）與行駛速度v（單位：km/h）的部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)：v/（km/h）4050607080d1/m810121416小慧：制動距離d2（單位：m）與行駛速度v（單位：km/h）滿足二次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示，其中原點(diǎn)為該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn).問題解決：（1）根據(jù)小智收集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，反應(yīng)距離d1（單位：m）是行駛速度v（單位：km/h）的

函數(shù)（選填“一次”“二次”“反比例”），d1與v的函數(shù)關(guān)系式為

.一次

v/（km/h）4050607080d1/m810121416問題解決：（2）求停車距離d（單位：m）與行駛距離v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系式.

問題解決：（2）求停車距離d（單位：m）與行駛距離v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系式.

問題解決：（3）某天小王開車在高速公路上行駛時，突然發(fā)現(xiàn)前方有異常情況，立即采取了剎車措施.經(jīng)測量，小王的停車距離為105m.已知該段公路最高限速為120km/h，請你判斷小王是否超速，并說明理由.

問題解決：（3）某天小王開車在高速公路上行駛時，突然發(fā)現(xiàn)前方有異常情況，立即采取了剎車措施.經(jīng)測量，小王的停車距離為105m.已知該段公路最高限速為120km/h，請你判斷小王是否超速，并說明理由.

訓(xùn)練·反思1.（2025山西）綜合與實(shí)踐問題情境：青蛙騰空階段的運(yùn)動路線可看作拋物線.我國某科研團(tuán)隊(duì)根據(jù)青蛙的生物特征和運(yùn)動機(jī)理設(shè)計(jì)出了仿青蛙機(jī)器人，其起跳后的運(yùn)動路線與實(shí)際情況中青蛙騰空階段的運(yùn)動路線相吻合.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：仿青蛙機(jī)器人從水平地面起跳，并落在水平地面上，其運(yùn)動路線的最高點(diǎn)距地面60cm，起跳點(diǎn)與落地點(diǎn)的距離為160cm.數(shù)學(xué)建模：如圖1，將仿青蛙機(jī)器人的運(yùn)動路線抽象為拋物線，其頂點(diǎn)為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機(jī)器人在水平地面上的起跳點(diǎn)為O，落地點(diǎn)為M.以O(shè)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，過點(diǎn)O與OM所在水平地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）請直接寫出頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.解：頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（80，60）.設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-

80）2+60.根據(jù)題意，知圖象過原點(diǎn).把（0，0）代入，得a（0-80）2+60=0.數(shù)學(xué)建模：如圖1，將仿青蛙機(jī)器人的運(yùn)動路線抽象為拋物線，其頂點(diǎn)為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機(jī)器人在水平地面上的起跳點(diǎn)為O，落地點(diǎn)為M.以O(shè)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，過點(diǎn)O與OM所在水平地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）請直接寫出頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

問題解決：已知仿青蛙機(jī)器人起跳后的運(yùn)動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變.（2）如圖1，若仿青蛙機(jī)器人從點(diǎn)O正上方的點(diǎn)P處起跳，落地點(diǎn)為Q，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，75），點(diǎn)Q在x軸的正半軸上.求起跳點(diǎn)P與落地點(diǎn)Q的水平距離OQ的長.

問題解決：已知仿青蛙機(jī)器人起跳后的運(yùn)動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變.（2）如圖1，若仿青蛙機(jī)器人從點(diǎn)O正上方的點(diǎn)P處起跳，落地點(diǎn)為Q，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，75），點(diǎn)Q在x軸的正半軸上.求起跳點(diǎn)P與落地點(diǎn)Q的水平距離OQ的長.

問題解決：已知仿青蛙機(jī)器人起跳后的運(yùn)動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變.（3）實(shí)驗(yàn)表明：仿青蛙機(jī)器人在躍過障礙物時，與障礙物上表面的每個點(diǎn)在豎直方向上的距離不少于3

cm，才能安全通過.如圖2，水平地面上有一個障礙物，其縱切面為四邊形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57

cm，BC=40

cm，CD=48

cm.仿青蛙機(jī)器人從距離AB左側(cè)80

cm處的地面起跳，發(fā)現(xiàn)不能安全通過該障礙物.若團(tuán)隊(duì)人員在起跳處放置一個平臺，仿青蛙機(jī)器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物.請直接寫出該平臺的高度.（平臺的大小忽略不計(jì)，障礙物的縱切面與仿青蛙機(jī)器人的運(yùn)動路線在同一豎直平面內(nèi)）解：6

cm.

2.（2025深圳）綜合與實(shí)踐問題背景：排隊(duì)是生活中常見的場景，如圖，某數(shù)學(xué)小組針對某次演出，研究了排隊(duì)人數(shù)與安檢時間，安排通道數(shù)之間的關(guān)系．研究條件：條件1：觀眾進(jìn)場立即排隊(duì)安檢，在任意時刻都滿足：排隊(duì)人數(shù)=現(xiàn)場總?cè)藬?shù)-已入場人數(shù)；條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人．

18xw=

-x2+42x+100模型應(yīng)用：（2）在（1）的條件下，排隊(duì)人數(shù)在第幾分鐘達(dá)到最大值，最多人數(shù)為多少？解：根據(jù)題意，得w=

-x2+42x+100=-(x-21)2+541.∵-1<0，0≤x≤30，∴當(dāng)x=21，w有最大值，最大值為541.答：排隊(duì)人數(shù)在第21分鐘達(dá)到最大值，最多人數(shù)為541.模型應(yīng)用：（3）已知該演出主辦方要求：①排隊(duì)人數(shù)在安檢開始10分鐘內(nèi)（包含10分鐘）減少；②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支．若同時滿足以上兩個要求，可開放幾條安檢通道，請說明