高中2025北京平谷高二（上）期末數(shù)學(xué)2025.11注意事項本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁.共150分，考試時間為120分鐘.2.試題所有答案必須書寫在答題紙上，在試卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，將答題紙交回，試卷按學(xué)校要求保存好.第Ⅰ卷選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1.已知直線過點，則直線傾斜角為（）A. B. C. D.2.圓心為且過原點的圓的方程是（）A. B.C. D.3.以為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.4.長方體中，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.5.某學(xué)校高二趣味運動會中設(shè)置了障礙投籃比賽，每名運動員投籃3次.已知甲同學(xué)投籃命中率為，那么投籃比賽中甲同學(xué)恰好命中一次的概率是（）A. B. C. D.6.已知是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知橢圓上一點和焦點.軸，若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，那么雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.8.某學(xué)校對男生立定跳遠和米跑兩個單項進行體育達標(biāo)測試.下表為名學(xué)生的測試成績，其中有三名同學(xué)成績模糊.學(xué)生序號12345678910立定跳遠（單位：米）2.562.522.482.482.462.452.442.422.382.3550米跑（單位：秒）7.487.437.717.347.428.03769已知在這名學(xué)生中，立定跳遠有人優(yōu)秀，立定跳遠和米跑同時優(yōu)秀的有人，則（）A.號學(xué)生進入米跑優(yōu)秀 B.號學(xué)生進入米跑優(yōu)秀C.號學(xué)生進入米跑優(yōu)秀 D.號學(xué)生進入米跑優(yōu)秀9.已知圓，直線，若圓上至少有3個點到直線的距離為2，則可以是（）A.3 B. C.2 D.10.如圖，正方體中，、分別是、上的中點，是上的動點.下列結(jié)論錯誤的是（）A.存在點，使得平面B.C.平面截正方體所得截面為等腰梯形D.平面平面第Ⅱ卷非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上.）11.雙曲線的焦點到頂點的最小距離是______.12.經(jīng)過點，且與直線平行的直線方程是______.13.拋物線上一點到焦點的距離等于3，則點的坐標(biāo)為______.14.將2名男生和1名女生隨機排成一排，則2名男生相鄰的概率為______.15.已知圓錐曲線的離心率為，則實數(shù)______.16.某玩具模型設(shè)計圖為一個六面幾何體，如圖所示，、和均為等邊三角形，測得cm，cm，則這個玩具模型的體積是______cm3.17.生活中一些常見的漂亮圖案不僅具有藝術(shù)美，其中也有數(shù)學(xué)的對稱、和諧、簡潔美曲線.下面是關(guān)于曲線的四個結(jié)論：①曲線關(guān)于原點中心對稱；②曲線上點的橫坐標(biāo)取值范圍是③曲線上任一點到坐標(biāo)原點的最小距離為；④若直線與曲線無交點，則實數(shù)的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的序號是______.三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）18.已知直線與圓相交于、兩點.（1）求線段的長；（2）求線段的垂直平分線方程.19.已知等腰直角三角形，如圖（1），，為斜邊上的高.以為折痕將三角形折起，使得為直角，為中點.如圖（2）.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.某學(xué)校為提升學(xué)生的體質(zhì)水平，要求所有學(xué)生在一學(xué)期內(nèi)完成規(guī)定的運動任務(wù)，并獲得相應(yīng)過程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取100名學(xué)生，獲得其運動打卡成績的頻率分布直方圖及相應(yīng)過程性積分數(shù)據(jù)，整理如下：運動打卡成績（km）運動過程性積分54321（1）求的值，并估計從該校隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的運動過程性積分不少于4分的概率；（2）在抽取的100名學(xué)生中，采取分層抽樣的方法從運動打卡成績在和內(nèi)抽取5人，再從這5名學(xué)生中隨機選取2人，求這2名學(xué)生的運動過程性積分之和為3的概率；（3）從該校運動過程性積分不高于2分的學(xué)生中隨機抽取一名，其運動打卡成績記為，上述100名學(xué)生運動打卡成績的平均值記為.若根據(jù)圖表信息是否能推斷恒成立？（直接寫出結(jié)論）21.如圖，平面平面，，，，，為中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.22.已知點和橢圓，、分別是橢圓的左頂點和上頂點，，離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點為橢圓上一點（不與橢圓頂點重合），直線交軸于點，直線交直線于點，證明：直線經(jīng)過右頂點.

參考答案第Ⅰ卷選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1.【答案】B【分析】根據(jù)兩點求斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系計算即可.【詳解】直線過點，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以直線的傾斜角為.故選：B.2.【答案】B【分析】根據(jù)條件求出半徑即可.【詳解】因為圓心為且過原點，所以所以圓方程是故選：B3.【答案】D【分析】根據(jù)拋物線焦點位置，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程，求出的值，即得.【詳解】由題意，拋物線方程形如，因，解得，故以為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：D.4.【答案】C【分析】通過平移說明即異面直線與所成角，借助于直角三角形和三角函數(shù)定義即可求得.【詳解】如圖所示，因，則即異面直線與所成角.連接，在中，，則，即異面直線與所成角為.故選：C.5.【答案】C【分析】由次獨立重復(fù)試驗中恰有次發(fā)生的概率公式，計算可得答案.【詳解】因為甲同學(xué)投籃命中率為，所以在3次投籃比賽中，甲同學(xué)恰好命中一次的概率，故選：6.【答案】A【分析】由面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可判斷【詳解】根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若，則成立，滿足充分性；反之，若，則與的位置關(guān)系不確定，即不滿足必要性，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.7.【答案】C【分析】根據(jù)題意求出A點坐標(biāo)后，再代入雙曲線漸近線方程可得，再代入可得雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，焦點坐標(biāo)為，不妨設(shè)焦點F為右焦點，因為軸，A在橢圓上，假設(shè)A點在第一象限，所以A點坐標(biāo)為.由題可知，雙曲線的漸近線方程為，又因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點A，所以代入可知，所以雙曲線的離心率為故選：C.8.【答案】B【分析】分析可知立定跳遠成績優(yōu)秀的學(xué)生序號為號，則立定跳遠和米跑同時優(yōu)秀的名學(xué)生從號產(chǎn)生，然后將號米跑成績由小到大排列，并對、的取值進行討論，逐項判斷即可.【詳解】由題意可知，立定跳遠成績優(yōu)秀的學(xué)生序號為號，所以，立定跳遠和米跑同時優(yōu)秀的名學(xué)生從號產(chǎn)生，將米跑成績由小到大排列可知，號、號、號、號必然在米跑中成績優(yōu)秀，那么米跑成績?yōu)椤?、、中?yōu)秀的只有人，若、，則CD選項錯誤；若，則A選項錯誤.故選：B.9.【答案】D【分析】根據(jù)題意，只需使圓心到直線的距離，解得的范圍，根據(jù)選項逐一判斷即得.【詳解】由圓方程可得圓心坐標(biāo)為，依題意需使點到直線的距離，解得.故選：D.10.【答案】B【分析】通過建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用空間向量的相關(guān)運算即可判斷線面、線線以及面面之間的位置關(guān)系，逐一判斷A，B，D項，對于C，只需通過作截面，說理計算即可判斷.【詳解】如圖建系，設(shè)正方體的棱長為2.對于A，易得，因是的中點，故，點在上，設(shè)，則，平面的法向量可取為，由，解得，即存在，使得平面，此時，點恰為的中點，故A正確；對于B，由上建系，則，由，可知與不垂直，故B錯誤；對于C，如圖，取的中點為，連接，易得，因，則得，故有，則，又平面平面，平面平面，故即為平面與平面的截線，又，故平面截正方體所得截面為等腰梯形，故C正確；對于D，由上建系，因為的中點，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，又，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由，可得，故平面平面，即D正確.故選：B.第Ⅱ卷非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上.）11.【答案】1【分析】雙曲線焦點到頂點的最小距離為.【詳解】雙曲線的焦點到頂點的最小距離為，故答案為：112.【答案】【分析】利用所求直線與直線平行，可設(shè)其方程，代入點，計算即得.【詳解】因所求直線與直線平行，故可設(shè)為，代入點，解得，故所求的直線方程為：.故答案為：.13.【答案】【分析】由拋物線的焦點坐標(biāo)求出，結(jié)合拋物線的定義求出，再代入拋物線方程求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點，則，即，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，因為到焦點的距離等于3，所以到的距離等于3，則，，則，則點的坐標(biāo)為故答案為：.14.【答案】【分析】利用“相鄰”問題捆綁法求得2名男生相鄰的排法數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式即可求得概率.【詳解】將2名男生和1名女生隨機排成一排，方法數(shù)有種，而2名男生相鄰的排法數(shù)有種，由古典概型概率公式，可得2名男生相鄰的概率為.故答案為：.15.【答案】【分析】先根據(jù)離心率的范圍確定是雙曲線，結(jié)合離心率公式即可求得的值.【詳解】因離心率為，故表示雙曲線，故，由，解得,符合題意.故答案：.16.【答案】【分析】取中點，連接，可證明平面，可得三棱錐的體積為，再根據(jù)對稱性可知三棱錐，三棱錐，棱錐全等，進而可得答案.【詳解】如圖，取中點，連接，則由、和均為等邊三角形，可得，，又，平面平面，又易知，，等腰三角形的底邊邊上的高為，三角形的面積為，三棱錐的體積為，又根據(jù)對稱性可知三棱錐，三棱錐，棱錐全等，這個玩具模型的體積是.故答案為：.17.【答案】①③④【分析】利用曲線的對稱性可判斷①；由可解出的取值范圍，可判斷②；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出曲線上任一點到坐標(biāo)原點的距離的取值范圍，可判斷③；作出曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷④.【詳解】對于①，在曲線上任取一點，則點關(guān)于原點的對稱點為，因為，即點在曲線上，所以，曲線關(guān)于原點對稱，①對；對于②，由可得，解得或，所以，曲線上點的橫坐標(biāo)取值范圍是，②錯；對于③，在曲線在曲線上任取一點，則，可得，則，所以，，故，所以，曲線上任一點到坐標(biāo)原點的最小距離為，③對；對于④，在曲線上任取一點，則點關(guān)于軸的對稱點為，因為，即點在曲線上，所以，曲線關(guān)于軸對稱，同理可知，曲線也關(guān)于軸對稱，當(dāng)，時，曲線的方程可化為，化簡得，此時，，作出曲線的圖象如下圖所示：考查當(dāng)直線與圓相切，且圓的圓心為，半徑為，則，解得，由對稱性結(jié)合圖形可知，若直線與曲線無交點，則實數(shù)的取值范圍是，④對.故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵點在于利用曲線的對稱性，化簡曲線方程，再結(jié)合對稱性作出圖形，數(shù)形結(jié)合來求解.三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）18.【答案】（1）（2）【分析】（1）先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后根據(jù)弦長公式求出線段AB的長.（2）線段AB的垂直平分線一定過圓心且與直線AB垂直，先求出直線AB的斜率，進而得到垂直平分線的斜率，再利用點斜式求出垂直平分線方程.【小問1詳解】圓，配方可得，所以圓心，半徑.求圓心C到直線的距離：根據(jù)點到直線的距離公式,.根據(jù)弦長公式，把，代入可得.【小問2詳解】直線，可化為，其斜率.求線段AB垂直平分線的斜率：因為垂直的兩條直線斜率乘積為，所以線段AB垂直平分線的斜率.線段AB的垂直平分線過圓心，由點斜式（為直線上一點，為直線斜率）可得垂直平分線方程為，即.19.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線線垂直易證得線面垂直，進而可證面面垂直；（2）由（1）平面，易得即直線與平面所成角，借助于直角三角形和三角函數(shù)即可求得.【小問1詳解】圖（1）中，因，折起后，，因，則平面，又平面，故平面平面.【小問2詳解】由（1）已得，平面，連接，則即在平面上的射影，故即直線與平面所成角.在圖（1）中，，在圖（2）中，，則，在中，，故，即直線與平面所成角的正弦值為.20.【答案】（1）；（2）（3）能推斷恒成立【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的特征建立方程，解之即可求出；結(jié)合古典概型的概率公式計算即可求解；（2）根據(jù)古典概型的概率公式計算即可求解；（3）求出的最大值和的最小值即可下結(jié)論.【小問1詳解】由圖可知，，解得；所以組對應(yīng)的頻率為，對應(yīng)的人數(shù)為，所以從該校隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的運動過程性積分不少于4分的概率為.【小問2詳解】由題意知，成績在和的人數(shù)分別為和20，比例為，從這兩組按分層抽樣的方法抽取5人，則從組內(nèi)抽得1人，從組內(nèi)抽得4人，從這5名學(xué)生中隨機選取2人，這2名學(xué)生的運動過程性積分之和為3的概率為.所以從這5名學(xué)生中隨機選取2人，這2名學(xué)生的運動過程性積分之和為3的概率為.【小問3詳解】從該校運動過程性積分不高于2分的學(xué)生中隨機抽取一名，其運動成績記為，又運動過程性積分為2的成績對應(yīng)的組是，則的最大值為，100名學(xué)生運動成績的平均值記為，則的最小值為各分數(shù)段取最小值求得的平均分，即，所以，