2024年中考第三次模擬考試（山西卷）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．這是2024年3月某日的氣溫實施預測情況，則通過預測圖可知，下午5時的氣溫和此時氣溫的相對差值為（

）A． B． C． D．2．國有企業(yè)是中國特色社會主義的重要物質(zhì)基礎和政治基礎，是中國特色社會主義經(jīng)濟的“頂梁柱”．下列國有企業(yè)標志中，文字上方的圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A．

B．C．

D．

3．下列是一位同學在課堂小測中做的四道題，如果每道題10分，滿分40分，那么他的測試成績是（

）（1）（2）（3）

（4）A．40分 B．30分 C．20分 D．10分4．北京時間2月25日晚，2024年世界乒乓球團體錦標賽在韓國釜山落下帷幕．中國男、女隊雙雙登頂，分別奪取11連冠和6連冠．圖①是乒乓球男團頒獎現(xiàn)場，圖②是領獎臺的示意圖，則此領獎臺主視圖是（

）A． B． C． D．5．隨著科技發(fā)展，騎行共享單車這種“低碳”生活方式已融人人們的日常生活．如圖是共享單車車架的示意圖，線段分別為前叉、下管和立管（點在上），為后下叉．已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．提倡綠色出行，新能源汽車越來越受大家青睞．某品牌新能源汽車店經(jīng)銷商統(tǒng)計了1月份到3月份的銷量，該品牌新能源汽車1月份銷售25輛，3月份銷售36輛，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同，該品牌新能源汽車銷售量的月增長率為（

）A． B． C． D．7．物理興趣小組在實驗室研究電學時設計了一個電路，其電路圖如圖1所示．經(jīng)測試，發(fā)現(xiàn)電流隨著電阻的變化而變化，并結(jié)合數(shù)據(jù)描點，連線，畫成圖2所示的函數(shù)圖象．若該電路的最小電阻為，則該電路能通過的（

）A．最大電流是 B．最大電流是C．最小電流是 D．最小電流是8．如圖，某型號千斤頂?shù)墓ぷ髟硎抢盟倪呅蔚牟环€(wěn)定性，圖中的菱形是該型號千斤頂?shù)氖疽鈭D，保持菱形邊長不變，可通過改變的長來調(diào)節(jié)的長．已知的初始長為，如果要使的長達到，那么的長需要縮短（

）A．6cm B．8cmC． D．9．兩家牛奶銷售公司招聘送奶員，下面的海報顯示兩家公司的周薪計算方式：甲公司一星期內(nèi)送出的前瓶牛奶，每瓶牛奶元，此后，每多送一瓶每瓶多元．乙公司底薪元．此外，每送出一瓶牛奶將額外有元．小明決定應聘當送奶員，下列正確表示兩家公司的周薪計算方式的圖是（

）A． B．C． D．10．如圖，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圓弧，讀數(shù)時視線要與液面相切于最低點C（即弧中點）．小溫想探究仰視、俯視對讀數(shù)的影響，當他俯視點C時，記錄量筒上點D的高度為37mm；仰視點C（點E，C，B在同一直線），記錄量筒上點E的高度為23mm，若點D在液面圓弧所在圓上，量筒直徑為10mm，則平視點C，點C的高度為（

）mm．A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．計算的結(jié)果是．12．如圖所示，未來公園的廣場背景墻上有一系列用灰磚和白磚鋪成的圖案，圖①有1塊灰磚，8塊白磚；圖②有4塊灰磚，12塊白磚；以此類推．若某個圖案中有49塊灰磚，則此圖案中有塊白磚．13．“中國古村看呂梁，呂梁景點甲天下”．在“我可愛的家鄉(xiāng)”主題班會中，老師準備了A“九曲黃河第一鎮(zhèn)”磧口古鎮(zhèn)，B“三晉第一名山”北武當山，C“群峰環(huán)列同卦象”的卦山，D“中國佛教凈土宗”發(fā)源地懸中寺，這四個特色古村的照片各一張，并將它們背面朝上放置（照片大小及背面完全相同）．甲同學從中隨機抽取一張不放回，乙同學再從剩下的照片中隨機抽取一張，然后甲、乙根據(jù)抽取的照片對古村作相關介紹．則兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”的概率是．14．如圖，已知的面積為12，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡所提供的條件可知，的面積為．15．如圖是一張菱形紙片，點E，F(xiàn)分別在邊上，將紙片分別沿著與折疊，使D與B落在對角線上點G處，若恰好，則．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）計算：；（2）因式分解：．小剛的解題過程如下：第一步第二步．第三步請問小剛同學第一步變形用到的乘法公式是①__________（寫出用字母a，b表示的乘法公式）；小穎說他的步驟中有錯誤，并指出第②_______步出現(xiàn)了錯誤；請用小剛的思路給出這道題的正確解法．17．（7分）【調(diào)查活動】小峰同學為了完成老師布置的社會活動作業(yè)：《A市初中生閱讀水平的現(xiàn)狀》，隨機走訪了A市的甲、乙兩所初中，收集到如下信息：①甲、乙兩校圖書室各藏書18000冊；②甲校比乙校人均圖書冊數(shù)多2冊；③甲校的學生人數(shù)比乙校的人數(shù)少．【交流質(zhì)疑】小峰把收集的信息和組內(nèi)的同學交流后，一位同學表達了自己的看法，認為小峰同學沒有收集到甲、乙兩校的“人數(shù)”和“人均圖書冊數(shù)”等重要信息，沒法進行系統(tǒng)研究．(1)【問題解決】聰明的你有何看法？請你根據(jù)上述三個信息，就甲、乙兩校的“人數(shù)”或“人均圖書冊數(shù)”提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解題過程．(2)【解后反思】以上解題的過程，很好地詮釋了方程在解決實際問題中的作用，這充分體現(xiàn)了什么數(shù)學思想？18．（8分）為促進我區(qū)初中數(shù)學學科的發(fā)展，我區(qū)教體局擬在2023年7月組織初中數(shù)學學科命題比賽，某教學集團在進行初賽時，按照兩個環(huán)節(jié)進行．環(huán)節(jié)一：評委分別從幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識、應用意識、運算能力、模型觀念這六大核心素養(yǎng)按照每項100分對參賽試題進行評分，后再按權(quán)重比例100分制記入總分；環(huán)節(jié)二：參賽教師在幾何直觀、創(chuàng)新意識、推理能力、模型觀念四個素養(yǎng)中隨機抽取兩大素養(yǎng)對試題進行說題，評委按照每項100分進行評分，后各占50%記入總分評委對1號參賽試題的評分如圖表①所示；10套參賽試題中“創(chuàng)新意識”的評分如圖②所示．圖表①幾何直觀推理能力創(chuàng)新意識應用意識運算能力模型觀念評分859090807075(1)圖②中10個“創(chuàng)新意識”成績，眾數(shù)是________，中位數(shù)是________．(2)如果幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識、應用意識、運算能力、模型觀念的成績按計算，請根據(jù)圖表①計算1號參賽試題在第一環(huán)節(jié)中的得分．(3)張老師在環(huán)節(jié)二中，隨機抽取了兩大素養(yǎng)，請用樹狀圖或列表法，求張老師同時抽到“推理能力”和“模型觀念”的概率．19．（8分）修建于清乾隆二年（1737年）的山西臨縣文峰塔，塔為樓閣式塔，塔基是用當?shù)厣缴鲜^，細鑿成石塊砌成，塔身為磚結(jié)構(gòu)，塔八角九級，每級四個窗口，十字對開，可謂八面來風。登塔遠眺，縣城風光一覽無余，湫川風景盡收眼底。某綜合與實踐小組開展了測量文峰塔塔身的高度項目化學習活動，活動報告如下：項目主題測量文峰塔塔身的高度活動目的經(jīng)歷項目化活動過程，引導學生在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，運用三角函數(shù)知識解決實際問題活動工具測角儀、皮尺等測工具示意圖

測量步驟如圖：（1）利用測角儀在塔底D處測得文峰塔頂點A的仰角為；（2）利用測角儀在塔底C處測得的文峰塔頂點A的仰角為；（3）利用皮尺測量每個臺階的高度計算出兩處臺階的高度均為2m（即點B和點C，點C和點D的垂直距離均為2m），利用皮尺測量每個臺階的寬度及點C和點D到臺階邊緣的距離計算出點C和點D的水平距離為18m（已知A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)）請運用所學知識，根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，計算文昌閣閣身的高度．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）20．（9分）【閱讀與思考】平移是初中幾何變換之一，它可以將線段和角平移到一個新的位置，從而把分散的條件集中到一起，使問題得以解決．【問題情景】如圖1，在正方形中中，E、F、G分別是、、上的點，于點O，求證：．小明嘗試平移線段到，構(gòu)造≌，使問題得到解決．(1)【閱讀理解】按照小明的思路，證明≌的依據(jù)是_______；(2)【嘗試應用】如圖2，在5×6的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D為格點，交于點M．則的度數(shù)為_________；(3)如圖3，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，與相交于點P，求的值．21.（8分）項目化學習為提高學生的勞動技能和實踐水平，某學校經(jīng)過多方努力，準備用柵欄圍建一塊的勞動實踐基地，并向全校發(fā)布了基地設計方案征集公告．為此，九年級（1）班開展了“我為創(chuàng)建勞動實踐基地建言獻策”的項目化學習．在進行“任務一：規(guī)劃實踐基地形狀”時，“智慧小組”欲將基地設計為矩形，以便分割區(qū)域進行種植．這樣的設計合理嗎？也就是，是否存在滿足學校所給條件的矩形呢？該小組的同學們積極思索，想到了如下解決方法：【問題解決】慧慧的思路是：利用一元二次方程解決．假設存在這樣的矩形，設矩形的其中一條邊長為，根據(jù)題意，可得到一個一元二次方程，通過判斷方程是否有解即可確定是否存在這樣的矩形．敏敏的思路是：利用函數(shù)圖象解決．假設存在這樣的矩形，設矩形相鄰兩邊長分別為，，可得，，滿足要求的可以看作是反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點坐標．于是，可以通過看函數(shù)圖象中是否有這樣的交點確定矩形的存在性．(1)請你分別按照以上兩位同學的思路解決問題：是否存在滿足學校所給條件的矩形？(2)在解決問題（1）的過程中，你獲得什么啟示？（寫出一點即可）22．（12分）綜合與實踐【問題情境】綜合與實踐課上，老師發(fā)給每位同學一張正方形紙片．在老師的引導下，同學們在邊上取中點E，取邊上任意一點F（不與C，D重合），連接，將沿折疊，點C的對應點為G，然后將紙片展平，連接并延長交所在的直線于點N，連接．探究點F在位置改變過程中出現(xiàn)的特殊數(shù)量關系或位置關系．【探究與證明】（1）如圖1，小亮發(fā)現(xiàn)：．請證明小亮發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．（2）如圖2、圖3，小瑩發(fā)現(xiàn)：連接并延長交所在的直線于點H，交于點M，線段與之間存在特殊關系．請寫出小瑩發(fā)現(xiàn)的特殊關系，并從圖2、圖3中選擇一種情況進行證明．【應用拓展】（3）在圖2、圖3的基礎上，小博士進一步思考發(fā)現(xiàn)：將所在直線與所在直線的交點記為P，若給出和的長，則可以求出的長．請根據(jù)題意分別在圖2、圖3上補畫圖形，并嘗試解決：當時，求的長．23．（13分）綜合與探究：如圖1，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸交于，兩點，二次函數(shù)的圖象過，兩點，且與軸交于另一點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點是二次函數(shù)圖象的一個動點，設點的橫坐標為，若．求的值；（3）如圖2，過點作軸交拋物線于點．點是直線上一動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標：若不存在，請說明理由．2024年中考第三次模擬考試（山西卷）數(shù)學·全解全析第Ⅰ卷選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．這是2024年3月某日的氣溫實施預測情況，則通過預測圖可知，下午5時的氣溫和此時氣溫的相對差值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)減法的應用，直接根據(jù)有理數(shù)減法的運算法則進行計算即可得出答案．【詳解】下午5時的氣溫是，此時氣溫為下午5時的氣溫和此時氣溫的相對差值為故選D．2．國有企業(yè)是中國特色社會主義的重要物質(zhì)基礎和政治基礎，是中國特色社會主義經(jīng)濟的“頂梁柱”．下列國有企業(yè)標志中，文字上方的圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A．

B．C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念，根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【詳解】A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C．3．下列是一位同學在課堂小測中做的四道題，如果每道題10分，滿分40分，那么他的測試成績是（

）（1）（2）（3）

（4）A．40分 B．30分 C．20分 D．10分【答案】B【分析】本題考查了整式的乘除運算，熟練掌握整式的乘除運算法則是解答本題的關鍵，根據(jù)整式的乘除運算法則即可逐步判斷答案．【詳解】第（1）題，，正確，得10分；第（2）題，，原題解答錯誤，得0分；第（3）題，，正確，得10分；第（4）題，，正確，得10分；所以這位同學的測試成績是30分．故選B．4．北京時間2月25日晚，2024年世界乒乓球團體錦標賽在韓國釜山落下帷幕．中國男、女隊雙雙登頂，分別奪取11連冠和6連冠．圖①是乒乓球男團頒獎現(xiàn)場，圖②是領獎臺的示意圖，則此領獎臺主視圖是（

） B． C． D．【答案】B【分析】本題考查主視圖．主視圖是從幾何體正面觀察到的視圖．【詳解】解：領獎臺從正面看，是由三個長方形組成的．三個長方形，右邊最低，中間最高，故選：B．5．隨著科技發(fā)展，騎行共享單車這種“低碳”生活方式已融人人們的日常生活．如圖是共享單車車架的示意圖，線段分別為前叉、下管和立管（點在上），為后下叉．已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關鍵．先利用平行線的性質(zhì)可得，再利用角的和差關系可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】解：，，，，，，故選：C．6．提倡綠色出行，新能源汽車越來越受大家青睞．某品牌新能源汽車店經(jīng)銷商統(tǒng)計了1月份到3月份的銷量，該品牌新能源汽車1月份銷售25輛，3月份銷售36輛，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同，該品牌新能源汽車銷售量的月增長率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設新能源汽車銷量的月平均增長率為x，根據(jù)1月份及3月份店新能源汽車的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設新能源汽車銷量的月平均增長率為x，依題意，得：，解得：（不合題意，舍去）．所以，該品牌新能源汽車銷售量的月增長率為，故選：B．7．物理興趣小組在實驗室研究電學時設計了一個電路，其電路圖如圖1所示．經(jīng)測試，發(fā)現(xiàn)電流隨著電阻的變化而變化，并結(jié)合數(shù)據(jù)描點，連線，畫成圖2所示的函數(shù)圖象．若該電路的最小電阻為，則該電路能通過的（

）A．最大電流是 B．最大電流是C．最小電流是 D．最小電流是【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．可設，由于點代入這個函數(shù)解析式，則可求得k的值，然后代入求得I的值即可．【詳解】根據(jù)電壓電流電阻，設，將點代入得，解得，；若該電路的最小電阻值為，該電路能通過的最大電流是，故選A．8．如圖，某型號千斤頂?shù)墓ぷ髟硎抢盟倪呅蔚牟环€(wěn)定性，圖中的菱形是該型號千斤頂?shù)氖疽鈭D，保持菱形邊長不變，可通過改變的長來調(diào)節(jié)的長．已知的初始長為，如果要使的長達到，那么的長需要縮短（

）A．6cm B．8cmC． D．【答案】D【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，設與相交于點O，與相交于點，由菱形的性質(zhì)得出，，，，利用勾股定理求出和，進而求出和，然后詳解，即可求出答案．【詳解】解，設與相交于點O，與相交于點．∵四邊形和四邊形是菱形，∴，，，，，∴，，∴，，∴，∴的長需要縮短．故選：D．9．兩家牛奶銷售公司招聘送奶員，下面的海報顯示兩家公司的周薪計算方式：甲公司一星期內(nèi)送出的前瓶牛奶，每瓶牛奶元，此后，每多送一瓶每瓶多元．乙公司底薪元．此外，每送出一瓶牛奶將額外有元．小明決定應聘當送奶員，下列正確表示兩家公司的周薪計算方式的圖是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查函數(shù)圖象的知識，解題的關鍵是根據(jù)題意，判斷出周薪與送奶數(shù)量的關系式，即可．【詳解】由題意可知，甲公司的周薪與送奶數(shù)量是分段函數(shù)，當送奶數(shù)量小于或等于瓶是正比例函數(shù)，當送奶數(shù)量大于瓶是一次函數(shù)；乙甲公司的周薪是送奶數(shù)量是一次函數(shù)．∴選項A符合題意．故選：A．10．如圖，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圓弧，讀數(shù)時視線要與液面相切于最低點C（即弧中點）．小溫想探究仰視、俯視對讀數(shù)的影響，當他俯視點C時，記錄量筒上點D的高度為37mm；仰視點C（點E，C，B在同一直線），記錄量筒上點E的高度為23mm，若點D在液面圓弧所在圓上，量筒直徑為10mm，則平視點C，點C的高度為（

）mm．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理和勾股定理．作出圖形，證明是的直徑，由垂徑定理得，求得的直徑為14，再根據(jù)三角形中位線定理結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，交于點，∵，∴是的直徑，由垂徑定理得，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴，∴的直徑為14，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴點F的高度即點C的高度為，故選：A．第Ⅱ卷填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．計算的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查二次根式的混合運算，利用乘法分配律計算即可．【詳解】原式，故答案為：．12．如圖所示，未來公園的廣場背景墻上有一系列用灰磚和白磚鋪成的圖案，圖①有1塊灰磚，8塊白磚；圖②有4塊灰磚，12塊白磚；以此類推．若某個圖案中有49塊灰磚，則此圖案中有塊白磚．【答案】32【分析】本題主要考查根據(jù)圖中圖形的變化情況，通過歸納與總結(jié)得出變化規(guī)律的能力，先找到規(guī)律：每一個圖案均比前一個圖案多4塊白色瓷磚，第n個圖案中，白色瓷磚的個數(shù)為，黑色瓷磚塊數(shù)為塊，即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖形分別得出各個圖形中白色瓷磚的個數(shù)分別為8、12、16、20…，由此可得出規(guī)律：每一個圖案均比前一個圖案多4塊白色瓷磚，∴第n個圖案中，白色瓷磚的個數(shù)為，根據(jù)圖形分別得出各個圖形中黑色瓷磚的個數(shù)分別為1、4、9…，由此可得出規(guī)律：第n個圖形中灰色瓷磚的塊數(shù)為：塊，∴某個圖案中有49塊灰磚，則該圖案為第⑦個圖案，即，∴此圖案中有白磚（塊）．故答案為：32．13．“中國古村看呂梁，呂梁景點甲天下”．在“我可愛的家鄉(xiāng)”主題班會中，老師準備了A“九曲黃河第一鎮(zhèn)”磧口古鎮(zhèn)，B“三晉第一名山”北武當山，C“群峰環(huán)列同卦象”的卦山，D“中國佛教凈土宗”發(fā)源地懸中寺，這四個特色古村的照片各一張，并將它們背面朝上放置（照片大小及背面完全相同）．甲同學從中隨機抽取一張不放回，乙同學再從剩下的照片中隨機抽取一張，然后甲、乙根據(jù)抽取的照片對古村作相關介紹．則兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”的概率是．【答案】【分析】先統(tǒng)計出甲、乙抽取情況的組合數(shù)量，再統(tǒng)計出兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”的數(shù)量，根據(jù)概率的公式進行計算即可．【詳解】解：總共有四張照片，∵甲、乙兩個同學抽取的組合總共有：；；；；；；；；；；，總計12種，當甲、乙兩個同學抽取的組合為和時，兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”，∴兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”的概率為：；故答案為：．14．如圖，已知的面積為12，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡所提供的條件可知，的面積為．【答案】4【分析】由作圖知M，N分別為的中點，利用中位線定理得出，再利用等底同高三角形面積相等得，最后利用相似比得出面積比，即可得解；【詳解】連，由作圖知M，N分別為的中點，∴，由等底同高三角形面積相等得又∵∴∴∴∴∴故答案為：415．如圖是一張菱形紙片，點E，F(xiàn)分別在邊上，將紙片分別沿著與折疊，使D與B落在對角線上點G處，若恰好，則．

【答案】【分析】連接,設,根據(jù)，可得的值，再利用，得，進而解決問題.【詳解】如圖,連接,

設，，，，，，∵四邊形是菱形,∴,即,解得,∴,,∴,,∴,設,,則,∵,,∴,，即整理得，化簡得則解得，故答案為：三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）計算：；（2）因式分解：．小剛的解題過程如下：第一步第二步．第三步請問小剛同學第一步變形用到的乘法公式是①__________（寫出用字母a，b表示的乘法公式）；小穎說他的步驟中有錯誤，并指出第②_______步出現(xiàn)了錯誤；請用小剛的思路給出這道題的正確解法．【答案】（1）；（2）①，②二，正確解法見解析【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，因式分解，解題的關鍵是熟練掌握實數(shù)的混合運算順序，以及因式分解的方法和步驟．（1）先將0次冪，算術平方根，負整數(shù)冪化簡，再進行計算即可；（2）先根據(jù)平方差公式，將第二個括號進行因式分解，再提取公因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：①小剛同學第一步變形用到的乘法公式是，故答案為：；②第二步有錯，故答案為∶二；這道題的正確解法如下：．17．（7分）【調(diào)查活動】小峰同學為了完成老師布置的社會活動作業(yè)：《A市初中生閱讀水平的現(xiàn)狀》，隨機走訪了A市的甲、乙兩所初中，收集到如下信息：①甲、乙兩校圖書室各藏書18000冊；②甲校比乙校人均圖書冊數(shù)多2冊；③甲校的學生人數(shù)比乙校的人數(shù)少．【交流質(zhì)疑】小峰把收集的信息和組內(nèi)的同學交流后，一位同學表達了自己的看法，認為小峰同學沒有收集到甲、乙兩校的“人數(shù)”和“人均圖書冊數(shù)”等重要信息，沒法進行系統(tǒng)研究．(1)【問題解決】聰明的你有何看法？請你根據(jù)上述三個信息，就甲、乙兩校的“人數(shù)”或“人均圖書冊數(shù)”提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解題過程．(2)【解后反思】以上解題的過程，很好地詮釋了方程在解決實際問題中的作用，這充分體現(xiàn)了什么數(shù)學思想？【答案】(1)見解析(2)方程思想【分析】（1）問題：甲、乙兩校的人數(shù)各是多少？設乙校的人數(shù)為x人．根據(jù)“甲校比乙校人均圖書冊數(shù)多2冊”可列方程，即可；問題：甲、乙兩校的人均圖書冊數(shù)各是多少？設乙校的人均圖書冊數(shù)為x人．根據(jù)“甲校的學生人數(shù)比乙校的人數(shù)少”可列方程，即可；（2）這充分體現(xiàn)了方程思想，即可．【詳解】（1）解：問題：甲、乙兩校的人數(shù)各是多少？設：乙校的人數(shù)為x人．根據(jù)題意可列方程：解得：經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，人，答：甲、乙兩校的人數(shù)各是900人、1000人．問題：甲、乙兩校的人均圖書冊數(shù)各是多少？設：乙校的人均圖書冊數(shù)為x人．根據(jù)題意可列方程：解得：經(jīng)檢驗，是原方程得解，且符合題意，冊

答：甲、乙兩校的人均圖書冊數(shù)各是20冊、18冊．（2）解后反思：方程思想18．（8分）為促進我區(qū)初中數(shù)學學科的發(fā)展，我區(qū)教體局擬在2023年7月組織初中數(shù)學學科命題比賽，某教學集團在進行初賽時，按照兩個環(huán)節(jié)進行．環(huán)節(jié)一：評委分別從幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識、應用意識、運算能力、模型觀念這六大核心素養(yǎng)按照每項100分對參賽試題進行評分，后再按權(quán)重比例100分制記入總分；環(huán)節(jié)二：參賽教師在幾何直觀、創(chuàng)新意識、推理能力、模型觀念四個素養(yǎng)中隨機抽取兩大素養(yǎng)對試題進行說題，評委按照每項100分進行評分，后各占50%記入總分評委對1號參賽試題的評分如圖表①所示；10套參賽試題中“創(chuàng)新意識”的評分如圖表②所示．圖表①幾何直觀推理能力創(chuàng)新意識應用意識運算能力模型觀念評分859090807075(1)圖表②中10個“創(chuàng)新意識”成績，眾數(shù)是________，中位數(shù)是________．(2)如果幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識、應用意識、運算能力、模型觀念的成績按計算，請根據(jù)圖表①計算1號參賽試題在第一環(huán)節(jié)中的得分．(3)張老師在環(huán)節(jié)二中，隨機抽取了兩大素養(yǎng)，請用樹狀圖或列表法，求張老師同時抽到“推理能力”和“模型觀念”的概率．【答案】(1)90；(2)(3)【分析】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)，列表法或畫樹狀圖求概率．（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解；（2）根據(jù)圖表①，利用加權(quán)平均數(shù)即可求解；（3）畫出樹狀圖即可求解．【詳解】（1）解：由圖表②知，90出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為90；中位數(shù)為：；故答案為：90；；（2）解：；答：計算1號參賽試題在第一環(huán)節(jié)中的得分為；（3）解：幾何直觀、創(chuàng)新意識、推理能力、模型觀念分別有1、2、3、4表示，畫出的樹狀圖如下：共有12種等可能結(jié)果，其中恰好抽到推理能力、模型觀念的結(jié)果有2種，則抽到推理能力、模型觀念的概率為：．（8分）修建于清乾隆二年（1737年）的山西臨縣文峰塔，塔為樓閣式塔，塔基是用當?shù)厣缴鲜^，細鑿成石塊砌成，塔身為磚結(jié)構(gòu)，塔八角九級，每級四個窗口，十字對開，可謂八面來風。登塔遠眺，縣城風光一覽無余，湫川風景盡收眼底。某綜合與實踐小組開展了測量文峰塔塔身的高度項目化學習活動，活動報告如下：項目主題測量文峰塔塔身的高度活動目的經(jīng)歷項目化活動過程，引導學生在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，運用三角函數(shù)知識解決實際問題活動工具測角儀、皮尺等測工具示意圖

測量步驟如圖：（1）利用測角儀在塔底D處測得文峰塔頂點A的仰角為；（2）利用測角儀在塔底C處測得的文峰塔頂點A的仰角為；（3）利用皮尺測量每個臺階的高度計算出兩處臺階的高度均為2m（即點B和點C，點C和點D的垂直距離均為2m），利用皮尺測量每個臺階的寬度及點C和點D到臺階邊緣的距離計算出點C和點D的水平距離為18m（已知A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)）請運用所學知識，根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，計算文昌閣閣身的高度．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）【答案】43m【分析】過點作于點于點，則四邊形是矩形．設，則，AG=AB+BG=x+2,AE=AG+GE=x+4再求得，得到x+2≈1.54x(x-18)解方程即可得到文峰塔塔身的高度．【詳解】解：過點作于點于點，如圖所示，則四邊形是矩形．

∴．由題意，可知．BG=GE=CH=2DH=18,∠ADE=45°,∠ACG=57°設，則AG=AB+BG=x+2,AE=AG+GE=x+4．∵，∴DE=AE=x+4，∴．CG=HE=DE-DH=x-14在中，∵，∴，即x+2~1.54x(x-14)解得x≈43.6．答：文峰塔塔身的高度約為43.6m．20．（9分）【閱讀與思考】平移是初中幾何變換之一，它可以將線段和角平移到一個新的位置，從而把分散的條件集中到一起，使問題得以解決．【問題情景】如圖1，在正方形中中，E、F、G分別是、、上的點，于點O，求證：．小明嘗試平移線段到，構(gòu)造≌，使問題得到解決．(1)【閱讀理解】按照小明的思路，證明≌的依據(jù)是_______；(2)【嘗試應用】如圖2，在5×6的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D為格點，交于點M．則的度數(shù)為_________；(3)如圖3，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，與相交于點P，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】對于（1），根據(jù)正方形的性質(zhì)得出兩組角及夾邊對應相等，即可得出答案；對于（2），平移至，根據(jù)勾股定理可得是直角三角形，進而求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案；對于（3），平移至，根據(jù)勾股定理可知是直角三角形，即可得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，，∴．∵，且，∴，∴，∴．∵，，∴≌．故答案為：；（2）將平移至，設正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理可知，，，∴，且，∴是直角三角形，且，∴．∵，∴．故答案為：；（3）將平移至，設正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理，得，，，∴，，，∴是直角三角形，且，則．∵，∴，∴．21.（8分）項目化學習為提高學生的勞動技能和實踐水平，某學校經(jīng)過多方努力，準備用柵欄圍建一塊的勞動實踐基地，并向全校發(fā)布了基地設計方案征集公告．為此，九年級（1）班開展了“我為創(chuàng)建勞動實踐基地建言獻策”的項目化學習．在進行“任務一：規(guī)劃實踐基地形狀”時，“智慧小組”欲將基地設計為矩形，以便分割區(qū)域進行種植．這樣的設計合理嗎？也就是，是否存在滿足學校所給條件的矩形呢？該小組的同學們積極思索，想到了如下解決方法：【問題解決】慧慧的思路是：利用一元二次方程解決．假設存在這樣的矩形，設矩形的其中一條邊長為，根據(jù)題意，可得到一個一元二次方程，通過判斷方程是否有解即可確定是否存在這樣的矩形．敏敏的思路是：利用函數(shù)圖象解決．假設存在這樣的矩形，設矩形相鄰兩邊長分別為，，可得，，滿足要求的可以看作是反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點坐標．于是，可以通過看函數(shù)圖象中是否有這樣的交點確定矩形的存在性．(1)請你分別按照以上兩位同學的思路解決問題：是否存在滿足學校所給條件的矩形？(2)在解決問題（1）的過程中，你獲得什么啟示？（寫出一點即可）【答案】(1)存在，見解析(2)見解析【分析】本題主要考查一元二次方程以及函數(shù)的圖像性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）根據(jù)兩種思路分別計算即可；（2）根據(jù)題意進行總結(jié)即可．【詳解】（1）解：假設存在這樣的矩形，且相鄰兩邊的長分別為和，根據(jù)題意，可得，化簡，得．在這里，，，．原方程有實數(shù)根．存在滿足學校所給條件的矩形．解法二．假設存在這樣的矩形，其相鄰兩邊長分別為，，則，，在同一直角坐標系中，的圖象如下：因為兩個函數(shù)圖象有交點，所以存在滿足學校所給條件的矩形．（2）解：答案不唯一，如：方程和函數(shù)是解決實際問題常用的數(shù)學模型；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的一種常用思想方法；方程和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系等．22．（12分）綜合與實踐【問題情境】綜合與實踐課上，老師發(fā)給每位同學一張正方形紙片．在老師的引導下，同學們在邊上取中點E，取邊上任意一點F（不與C，D重合），連接，將沿折疊，點C的對應點為G，然后將紙片展平，連接并延長交所在的直線于點N，連接．探究點F在位置改變過程中出現(xiàn)的特殊數(shù)量關系或位置關系．【探究與證明】（1）如圖1，小亮發(fā)現(xiàn)：．請證明小亮