南京大學(xué)自主招生委員會(huì)高中畢業(yè)生研究生入學(xué)考試試卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱(chēng)：南京大學(xué)自主招生委員會(huì)高中畢業(yè)生研究生入學(xué)考試試卷考核對(duì)象：高中畢業(yè)生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.集合{1,2,3}與{3,2,1}表示同一個(gè)集合。2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，則其反函數(shù)f?1(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減。3.矩陣乘法滿足交換律，即AB=BA。4.線性方程組Ax=b若有唯一解，則矩陣A的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。6.若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。7.圓的切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直。8.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a?+a?)/2。9.歐拉公式e^(iπ)+1=0揭示了復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的聯(lián)系。10.勾股定理適用于任意三角形。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=|x-1|在x=0處的導(dǎo)數(shù)為（）A.-1B.0C.1D.不存在2.拋擲一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面的概率為（）A.1/2B.1/3C.1/4D.13.在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C為（）A.銳角B.直角C.鈍角D.不確定4.若復(fù)數(shù)z=3+4i，則其模長(zhǎng)為（）A.5B.7C.25D.15.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=256，公比q=2，則首項(xiàng)a?為（）A.4B.8C.16D.326.函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值為（）A.-1B.0C.1D.π7.矩陣M=[12;34]的轉(zhuǎn)置矩陣為（）A.[13;24]B.[24;13]C.[12;34]D.[43;21]8.某班級(jí)有50名學(xué)生，其中30%喜歡數(shù)學(xué)，則喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生人數(shù)為（）A.10B.15C.20D.309.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，則a·b=（）A.7B.8C.9D.1010.圓的方程(x-1)2+(y+2)2=9的圓心坐標(biāo)為（）A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(-2,1)三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的是（）A.f(x)=x2B.f(x)=1/xC.f(x)=sin(x)D.f(x)=log(x)2.矩陣乘法滿足的性質(zhì)有（）A.結(jié)合律B.交換律C.分配律D.單位元存在3.下列命題中，正確的是（）A.若A?B，則P(A)≤P(B)B.若事件A與B獨(dú)立，則P(A∩B)=P(A)P(B)C.若事件A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)D.若事件A與B對(duì)立，則P(A)+P(B)=14.直角三角形中，下列關(guān)系成立的是（）A.勾股定理B.正弦定理C.余弦定理D.三角形面積公式S=1/2ab5.復(fù)數(shù)z=a+bi的模長(zhǎng)公式為（）A.√(a2+b2)B.a2+b2C.√(a+b)D.|a|+|b|6.等差數(shù)列的性質(zhì)有（）A.d=(a?-a?)/n-1B.a?=a?+(n-1)dC.Sn=n(a?+a?)/2D.Sn=na?+(n(n-1))/2d7.函數(shù)f(x)=cos(x)在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)有（）A.x=0B.x=π/2C.x=πD.x=3π/28.矩陣M=[10;01]的性質(zhì)有（）A.單位矩陣B.對(duì)角矩陣C.正交矩陣D.可逆矩陣9.概率論中，事件的關(guān)系有（）A.互斥B.獨(dú)立C.對(duì)立D.包含10.圓的方程(x-h)2+(y-k)2=r2中，參數(shù)的意義有（）A.h：圓心x坐標(biāo)B.k：圓心y坐標(biāo)C.r：半徑D.(h,k)：圓心坐標(biāo)四、案例分析（每題6分，共18分）1.案例：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為10元，每件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為15元。生產(chǎn)每件產(chǎn)品A需要1小時(shí)機(jī)器時(shí)間，生產(chǎn)每件產(chǎn)品B需要2小時(shí)機(jī)器時(shí)間，每天機(jī)器總時(shí)間為40小時(shí)。若工廠決定每天至少生產(chǎn)10件產(chǎn)品A，求工廠每天的最大利潤(rùn)。要求：-列出約束條件。-建立利潤(rùn)最大化模型。-求解最優(yōu)解。2.案例：在一個(gè)袋中有5個(gè)紅球、3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)綠球，隨機(jī)抽取3個(gè)球，求至少有2個(gè)紅球的概率。要求：-列出所有可能的基本事件。-計(jì)算至少有2個(gè)紅球的事件數(shù)。-求概率。3.案例：已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2，求其在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。要求：-求導(dǎo)數(shù)f'(x)。-找出所有駐點(diǎn)和端點(diǎn)。-比較函數(shù)值，確定最值。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述題：試述函數(shù)單調(diào)性的定義及其判定方法，并舉例說(shuō)明。2.論述題：結(jié)合實(shí)際案例，解釋概率論中獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別，并說(shuō)明兩者在生活中的應(yīng)用。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×解析：3.矩陣乘法不滿足交換律，例如A=[10;11],B=[11;01],則AB≠BA。10.勾股定理適用于直角三角形，非直角三角形不適用。二、單選題1.C2.A3.B4.A5.A6.C7.A8.C9.A10.A解析：4.復(fù)數(shù)z=3+4i的模長(zhǎng)為√(32+42)=5。9.向量a·b=1×3+2×4=11，選項(xiàng)有誤，正確答案應(yīng)為11（題目選項(xiàng)設(shè)置錯(cuò)誤，實(shí)際應(yīng)為11）。三、多選題1.A,C2.A,C,D3.A,B,C,D4.A,C,D5.A6.B,C,D7.A,C,D8.A,C,D9.A,B,C,D10.A,B,C,D解析：5.復(fù)數(shù)z=a+bi的模長(zhǎng)公式為√(a2+b2)。6.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為B，前n項(xiàng)和公式為C。四、案例分析1.約束條件：-x≥10（產(chǎn)品A至少生產(chǎn)10件）-y≤20（機(jī)器時(shí)間不超過(guò)40小時(shí)，y為產(chǎn)品B數(shù)量）-x,y∈N利潤(rùn)模型：maxZ=10x+15ys.t.x≥10x+2y≤40最優(yōu)解：當(dāng)x=10,y=15時(shí)，Z=10×10+15×15=275（元）。2.基本事件：{紅紅紅,紅紅藍(lán),紅紅綠,紅藍(lán)藍(lán),紅藍(lán)綠,紅綠綠,藍(lán)藍(lán)綠}至少2紅事件：{紅紅紅,紅紅藍(lán),紅紅綠}概率：3/(C(10,3))=3/120=1/403.導(dǎo)數(shù)：f'(x)=3x2-3駐點(diǎn)：x=±1端點(diǎn)：x=-2,2比較：f(-2)=-8,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=0→最大值3，最小值-8五、論述題1.函數(shù)單調(diào)性：-定義：若對(duì)區(qū)間I內(nèi)任意x?<x?，有f(x?)≤f(x?)，則f(x)單調(diào)遞增；反之單調(diào)遞減。-判定：通過(guò)