重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則與的大小關(guān)系為A. B.C. D.不確定2．在空間四邊形中，，，，且，則（）A. B.C. D.3．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.4．若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.5．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.86．在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.7．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，令.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.9．中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔，以算為主的原則.例如《周髀算經(jīng)》里對(duì)二十四節(jié)氣的晷影長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其它節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的.二十四節(jié)氣中，從冬至到夏至的十三個(gè)節(jié)氣依次為：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至.已知《周髀算經(jīng)》中記錄某年的冬至的晷影長(zhǎng)為13尺，夏至的晷影長(zhǎng)是1.48尺，按照上述規(guī)律，那么《周髀算經(jīng)》中所記錄的立夏的晷影長(zhǎng)應(yīng)為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺10．若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.12．圓心在x軸負(fù)半軸上，半徑為4，且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與的交點(diǎn)為，以為圓心作圓，圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S＝__.15．已知兩平行直線與間的距離為3，則C的值是________.16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)，是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，記，的斜率分別是，．當(dāng)，都存在且不為時(shí)，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.19．（12分）已知直線，，分別求實(shí)數(shù)的值，使得：（1）；（2）；（3）與相交.20．（12分）大學(xué)生王蕾利用暑假參加社會(huì)實(shí)踐，對(duì)機(jī)械銷(xiāo)售公司月份至月份銷(xiāo)售某種機(jī)械配件的銷(xiāo)售量及銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷(xiāo)售單價(jià)和銷(xiāo)售量之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份銷(xiāo)售單價(jià)（元）銷(xiāo)售量（件）（1）根據(jù)至月份數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程；（2）若剩下的月份的數(shù)據(jù)為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，并規(guī)定由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)元，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問(wèn)（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？（注：，，參考數(shù)據(jù)：，）21．（12分）共享電動(dòng)車(chē)（sharedev）是一種新的交通工具，通過(guò)掃碼開(kāi)鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來(lái)到中國(guó)傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動(dòng)車(chē)，這些電動(dòng)車(chē)分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動(dòng)車(chē)中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動(dòng)車(chē)中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動(dòng)車(chē)中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動(dòng)車(chē)中橙色的電動(dòng)車(chē)的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點(diǎn)為，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由,所以.2、A【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】..故選:A.3、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，則不等式不成立；對(duì)于B，若，則不等式不成立；對(duì)于C，若均為負(fù)值，則不等式不成立；對(duì)于D，不等號(hào)的兩邊同乘負(fù)值，不等號(hào)的方向改變，故正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，需熟練掌握性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.5、A【解析】利用空間向量的模公式求解.【詳解】因向量，所以，故選：A6、B【解析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，求出，然后即可解答.【詳解】解：因?yàn)榭臻g四邊形OABC如圖，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，所以.所以.故選：B.7、C【解析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根，等價(jià)于與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，，令，解得當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.8、D【解析】由已知條件推導(dǎo)出，．由此利用裂項(xiàng)求和法能求出【詳解】解：由，可得，解得，則.∴，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列定義求得公差，再求解立夏的晷影長(zhǎng)在數(shù)列中所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)即可【詳解】設(shè)從冬至到夏至的十三個(gè)節(jié)氣依次為等差數(shù)列的前13項(xiàng)，則所以公差為，則立夏的晷影長(zhǎng)應(yīng)為(尺)故選：B10、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A11、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C12、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離，解得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，圓的半徑為4，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標(biāo)為，故所求圓的方程為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)圓的半徑為，圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為1求得的值，由此可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）對(duì)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，可得切線方程為，驗(yàn)證即可；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值，綜合可得出所求切線的方程.【詳解】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)設(shè)圓的半徑為，由于圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為，則，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則所求切線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；若切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為，即，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，整理得，解得或故所求切線方程為或【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，同時(shí)也考查了過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、【解析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可求解得答案【詳解】解：S＝S+＝S+，第一次循環(huán)，S＝1+1﹣，k＝2；第二次循環(huán)，S=1+1﹣，k＝3；第三次循環(huán)，S＝1+1，k＝4；第四次循環(huán)，S＝1，k＝5；第五次循環(huán)，S＝1+1，k＝6，循環(huán)停止，輸出；故答案為：.15、【解析】根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式即可得解.【詳解】?jī)善叫兄本€與間的距離為3，所以，所以故答案為：16、證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫(xiě)出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立則有，解得．所以選①③作條件證明②：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)?，所以是等差?shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，解得或；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：因?yàn)椋?，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.【整體點(diǎn)評(píng)】這類(lèi)題型在解答題后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根據(jù)給定條件探求得，再借助橢圓定義直接求得軌跡的方程.(2)設(shè)出直線的方程，再與軌跡的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】圓：的圓心，半徑，因線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，則，而，于是得，因此，點(diǎn)的軌跡是以C，A為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，短半軸長(zhǎng)有，所以軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線的方程為：，，由消去y并整理得：，，則且，設(shè)，則有，，因直線，的斜率，都存在且不為，因此，且，，，所以直線，的斜率，都存在且不為時(shí)，是定值，這個(gè)定值是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值18、（1）（2）1280【解析】（1）直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由，則時(shí)，，時(shí)，；然后去掉絕對(duì)值，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，可知，∴;【小問(wèn)2詳解】由（1）知，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由，則時(shí)，，時(shí)，；.19、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根據(jù)直線一般式平行的條件列式計(jì)算；（2）根據(jù)直線一般式垂直的條件列式計(jì)算；（3）根據(jù)相交和平行的關(guān)系可得答案.【小問(wèn)1詳解】，，解得或又時(shí)，直線，，兩直線不重合；時(shí)，直線，，兩直線不重合；故或；【小問(wèn)2詳解】，，解得或；【小問(wèn)3詳解】與相交故由（1）得且.20、（1）（2）回歸直線方程是理想的【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)求得，利用最小二乘法可求得回歸直線方程；（2）令回歸直線中的可求得估計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)比檢驗(yàn)數(shù)據(jù)即可確定結(jié)論.小問(wèn)1詳解】由表格數(shù)據(jù)可知：，，，則，關(guān)于的回歸直線方程為；【小問(wèn)2詳解】令回歸直線中的，則，，（1）中所得到的回歸直線方程是理想的.21、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動(dòng)車(chē)各有多少輛，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進(jìn)而求出概率并列出分布列，然后根據(jù)期望公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閺?0輛共享電動(dòng)車(chē)中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動(dòng)車(chē)有4輛，熒光綠的電動(dòng)車(chē)有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車(chē)中恰好有一輛是橙色”，則.【小問(wèn)2詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數(shù)學(xué)期望.22、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析