2025年大三（統(tǒng)計(jì)學(xué)）數(shù)理統(tǒng)計(jì)考核題

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______第I卷（選擇題共30分）答題要求：本大題共10小題，每小題3分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，X?為樣本均值，S2為樣本方差，則下列說(shuō)法正確的是（）A.X?服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)B.nS2/σ2服從自由度為n-1的χ2分布C.(X?-μ)/(S/√n)服從自由度為n-1的t分布D.以上都不對(duì)答案：A2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平α的意義是（）A.原假設(shè)H?成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率B.原假設(shè)H?成立，經(jīng)檢驗(yàn)不能被拒絕的概率C.原假設(shè)H?不成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率D.原假設(shè)H?不成立，經(jīng)檢驗(yàn)不能被拒絕的概率答案：A3.已知總體X的均值μ和方差σ2都存在，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，樣本均值X?和樣本方差S2，則μ的無(wú)偏估計(jì)量是（）A.X?B.S2C.(X?+X?)/2D.以上都不是答案：A4.對(duì)于回歸直線方程?=b?+b?x，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.b?表示x每變動(dòng)一個(gè)單位，?的平均變動(dòng)值B.b?是回歸直線在y軸上的截距C.回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x?,y?)D.回歸直線方程是通過(guò)最小二乘法得到的，使得樣本點(diǎn)到直線的垂直距離平方和最小答案：D5.設(shè)X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，總體均值為μ，樣本均值為X?，則樣本均值X?的方差為（）A.σ2/nB.σ2C.σ2/(n-1)D.以上都不對(duì)答案：A6.在一元線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是（）A.[0,1]B.(-∞,1]C.[0,+∞)D.(-∞,+∞)答案：A7.已知樣本容量n=16時(shí)，樣本均值X?=20，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=4，則總體均值μ的置信度為0.9置信區(qū)間為（）（t?.??(15)=1.7531）A.(18.2469,21.7531)B.(19.7531,20.2469)C.(18.3469,21.6531)D.(19.6531,20.3469)答案：A8.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，則λ的最大似然估計(jì)量是（）A.X?B.S2C.1/X?D.以上都不是答案：A9.在方差分析中，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的值越大，說(shuō)明（）A.組間方差越大B.組內(nèi)方差越大C.因素的影響越顯著D.因素的影響越不顯著答案：C10.已知總體X服從正態(tài)分布N(0,1)，X?,X?,X?是來(lái)自總體X的數(shù)據(jù)，則Y=X?2+X?2+X?2服從（）分布A.正態(tài)分布B.χ2分布，自由度為1C.χ2分布，自由度為3D.t分布，自由度為3答案：C第II卷（非選擇題共70分）（一）填空題（共15分）答題要求：本大題共5小題，每小題3分。請(qǐng)將答案填寫在題中的橫線上。1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，樣本均值X?=10，樣本方差S2=4，n=25，則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為________________。（t?.???(24)=2.0639）答案：(9.1653,10.8347)2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若原假設(shè)H?為真，拒絕原假設(shè)的概率稱為________________。答案：第一類錯(cuò)誤（或棄真錯(cuò)誤）3.已知總體X的概率密度函數(shù)為f(x)=2x,0<x<1，則總體均值E(X)=________________。答案：2/34.在一元線性回歸模型y=β?+β?x+ε中，ε服從________________分布。答案：正態(tài)分布5.設(shè)總體X服從參數(shù)為p的0-1分布，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，則p的最大似然估計(jì)量是________________。答案：X?（二）簡(jiǎn)答題（共15分）答題要求：本大題共3小題，每小題5分。簡(jiǎn)要回答問(wèn)題。1.簡(jiǎn)述無(wú)偏估計(jì)量的定義。答案：設(shè)θ?是總體參數(shù)θ的估計(jì)量，若E(θ?)=θ，則稱θ?是θ的無(wú)偏估計(jì)量。即無(wú)偏估計(jì)量的均值等于被估計(jì)的總體參數(shù)。2.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答案：（1）提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?；（2）選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；（3）確定顯著性水平α；（4）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；（5）根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值比較，作出拒絕或接受原假設(shè)的決策。3.簡(jiǎn)述方差分析的基本思想。答案：方差分析的基本思想是將總變異分解為各個(gè)因素的變異，通過(guò)比較各因素變異與隨機(jī)誤差變異的大小，來(lái)判斷各因素對(duì)觀測(cè)變量是否有顯著影響。通過(guò)計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，比較組間方差與組內(nèi)方差的比值，若F值大于臨界值，則認(rèn)為因素對(duì)觀測(cè)變量有顯著影響。（三）計(jì)算題（共20分）答題要求：本大題共2小題，每小題10分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,1)（μ未知），X?,X?,X?是來(lái)自總體X的樣本，考慮μ的三個(gè)估計(jì)量：θ??=(X?+X?)/2，θ??=(X?+2X?)/3，θ??=(X?+X?+X?)/3。（1）證明θ??,θ??,θ??都是μ的無(wú)偏估計(jì)量；（2）比較θ??,θ??,θ??的有效性。答案：（1）證明：E(θ??)=E((X?+X?)/2)=(E(X?)+E(X?))/2=(μ+μ)/2=μ，所以θ??是的無(wú)偏估計(jì)量；同理可證E(θ??)=μ，E(θ??)=μ，所以θ??,θ??都是μ的無(wú)偏估計(jì)量。（2）計(jì)算方差：D(θ??)=D((X?+X?)/2)=(D(X?)+D(X?))/4=(1+1)/4=1/2；D(θ??)=D((X?+2X?)/3)=(D(X?)+4D(X?))/9=(1+4)/9=5/9；D(θ??)=D((X?+X?+X?)/3)=(D(X?)+D(X?)+D(X?))/9=(1+1+1)/9=1/3。因?yàn)镈(θ??)<D(θ??)<D(θ??)，所以θ??最有效。2.對(duì)某地區(qū)10戶家庭