六校聯(lián)盟學年第一學期期中聯(lián)考高二數(shù)學試題卷（）命題：溫嶺市箬橫中學（張芳芳呂陳佳）審題：溫嶺市箬橫中學（鄭芳）考生須知：考試范圍：選擇性必修第一冊第一章至第三章（拋物線方程）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分全卷共4頁，滿分分，考試時間分鐘.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名?準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.選擇題部分一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共分每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分）1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定直線方程，直接求出傾斜角作答.【詳解】直線垂直于x軸，所以直線的傾斜角為.故選：C2.雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程，得到雙曲線的焦點在軸上，且，即可求解雙曲線的漸近線方程．【詳解】由雙曲線，可知雙曲線的焦點在軸上，且，第1頁/共21頁所以其漸近線方程為.故選：B．3.已知兩條平行直線，則和間的距離為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】由兩平行線間距離公式求解即可；【詳解】，所以由兩平行線間的距離公式可得，故選：D4.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標運算求出數(shù)量積及模長，再結(jié)合投影向量公式計算即可.【詳解】由已知可得，所以向量在向量上的投影向量是.故選：D.5.中，，，，，為線段等于（）第2頁/共21頁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解．【詳解】由已知，故選：D．6.在中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，4，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為2和490°中異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第3頁/共21頁【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解異面直線與所成角的余弦值．【詳解】圖，設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，，，，則，，，又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：A．7.在平面直角坐標系中，一道光線沿直線：經(jīng)軸反射，反射光線與圓：恰有一個公共點，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知直線過定點，斜率為，根據(jù)直線與圓相切列式求解即可.【詳解】圓：的圓心為，半徑，第4頁/共21頁因為直線：即為，令，可得，即直線過定點，根據(jù)對稱性可知，直線過定點，斜率為，則直線：，即，則，整理可得，解得.故選：C.8.已知橢圓的直線與橢圓交于，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，根據(jù)橢圓的定義可得，理列方程可得，進而結(jié)合余弦定理可求得，進而求解即可.【詳解】因為，設(shè)，如圖所示，由橢圓的定義可知，，則，同理，則，因為，則，則，化簡可得，則，則（舍去）或，所以，所以為橢圓的上（或下）頂點，第5頁/共21頁又，所以中，，解得，即.故選：A二?多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共分每小題列出的四個備選項中至少有一個是符合題目要求的全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.已知直線，則下列說法正確的是（）A.直線過點B.直線的斜率為C.直線的縱截距為3D.直線不經(jīng)過第一象限【答案】BD【解析】【分析】利用代入法判斷A；將直線的一般式化為斜截式方程判斷BC；畫出圖象判斷D.【詳解】已知直線，即，則直線的斜率為，縱截距為，B正確，C錯誤；再令，得，所以直線不過點，A錯誤；作出直線，可知直線不經(jīng)過第一象限，D正確.故選：BD第6頁/共21頁10.已知圓，則下列命題正確的是（）A.圓心坐標為B.過點引圓的兩條切線，切點記為，則四邊形的面積為C.若經(jīng)過點的直線與圓相交，且弦長為4，則直線方程為D.圓上恰有三個點到直線的距離為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，將圓的一般方程化為標準方程即可判斷；對于B，由題意，可得，，C的斜率不存在時直線D到直線的距離為徑即可判斷.【詳解】對于A，由圓，即，則圓心為，半徑為，故A正確；對于B，由題意，，且，而，，則，則四邊形的面積為，故B正確；對于C，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線與圓相交于點，弦長為4，滿足題意，故C錯誤；對于D，圓心到直線的距離為，由于，則圓上恰有三個點到直線的距離為，故D正確.故選：ABD隨著我國航天科技的快速發(fā)展，雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測中具有重要作用.雙曲線的光學性質(zhì)第7頁/共21頁是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知分別為雙曲線的左?右焦點，，點的坐標為，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為2B.若從射出一道光線，經(jīng)雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為C.D.過雙曲線左支上點作雙曲線的切線交軸于，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意求離心率即可；對于B，由題意知反射光所在直線為直線，斜率介于兩條漸近線斜率之間；對于C，可得，，直線的斜率不存在，進而得到，然后可得；對于D，可設(shè)切線方程，聯(lián)立得到點坐標即可求解．【詳解】對于A，雙曲線，焦點軸，則，所以雙曲線的離心率，故A錯誤；對于B，如圖：反射光所在直線為直線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知斜率介于兩條漸近線斜率之間，第8頁/共21頁又漸近線斜率，所以反射光線所在直線的斜率的取值范圍為，故B正確；對于C，由題意得，又，，則，，直線的斜率不存在，所以，，又,所以，故C正確；對于D，由題意知，切線斜率不為零，可設(shè)方程為，聯(lián)立得：，，解得，即切點的縱坐標，，解得，又點在左支上，所以，，故D錯誤；故選：BC．非選擇題部分三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共分）12.若向量，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標計算可得，進而結(jié)合模的坐標公式求解即可.第9頁/共21頁【詳解】由，則，解得，則，所以.故答案為：.13.已知F是拋物線C：P是拋物線CQ是曲線上一動點，則的最小值為______【答案】5【解析】【分析】由拋物線定義，將最小值轉(zhuǎn)化為點所在圓的圓心到準線的距離減圓半徑.【詳解】曲線，即，設(shè)其圓心為，則.拋物線的準線，過點作，垂足為，則，所以.當共線時，最小，此時最小值為點到直線的距離.設(shè)到直線的距離為，則，則的最小值為.所以的最小值為.故答案為：.第10頁/共21頁的軌跡是圓.將此性質(zhì)類比到空間中，解決下列問題.已知點為空間中四個定點，，且兩兩的夾角都是，若動點滿足，動點滿足，則的最大值是__________.【答案】6【解析】的軌跡是過的終點且垂直的平面的軌跡是以線段為直徑的球的最大值就是球心到平面的距離加上球的半徑離與半徑進行計算即可.與記作點，則，所以動點的軌跡是過的終點且垂直的平面，動點的軌跡是以線段為直徑的球，的最大值就是球心到平面的距離加上球的半徑..，第11頁/共21頁.故答案為：.四?解答題（本題共5小題；其中第小題分，第小題分，第小題分，第小題分，第小題分；共分）15.已知點，（1）求的面積；（2）是否存在點，使四邊形為直角梯形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，或【解析】1）先求直線方程，在根據(jù)點到直線的距離公式求高，最后利用面積公式計算即可；（2）分和兩種情況，利用平行，垂直列方程組求解坐標即可【小問1詳解】，則，即，，點到直線的距離，則；【小問2詳解】設(shè)點．，，與不垂直，若，則，第12頁/共21頁，解得，點．若，則，，解得，點，綜上，存在點，使四邊形為直角梯形，或.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，是的中點.（1）證明：平面；（2）若平面平面，，，求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）連接輔助線，利用中位線定理可得，根據(jù)線面平行判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出向量的坐標，平面的法向量坐標，根據(jù)直線與平面所成角的向量公式求解線面角的正弦值即可.第13頁/共21頁【小問1詳解】如圖，連接與相交于點，連接，正方形的對角線和交于點，又，，又平面，平面，平面.【小問2詳解】平面平面在平面內(nèi)作的垂線，可得垂線垂直于平面，又因為，則以為坐標原點，向量，方向分別為，軸的正方向，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，又由，，，可得點的坐標為，點的坐標為，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個法向量為，又由，有，故直線與平面所成的角的正弦值為.17.如圖，2025年中國機器人及人工智能大賽總決賽中，主辦方設(shè)計了一個矩形坐標場地（包含邊長為12米，點6米的點3米的處放置一個機器人，機器犬行走的速度為機器人行走的速度的兩倍，若機器犬和機器人在場地第14頁/共21頁內(nèi)沿著直線方向同時到達場地內(nèi)某點（即叫成功點.（1）請建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笤谶@個矩形場地內(nèi)（包含邊界）成功點的軌跡方程；（2點處安裝一臺監(jiān)測設(shè)備用來追蹤機器犬被捕獲的過程.若該設(shè)備發(fā)射的信號覆蓋范圍呈圓形，請問信號范圍至少為多少米？【答案】（1）（2）【解析】1）建立平面直角坐標系，設(shè)，由求解；（2）設(shè)出C為圓心的圓的方程，由兩圓內(nèi)含或內(nèi)切求解.【小問1詳解】建立如圖所示平面直角坐標系：設(shè)，則，因為，所以，化簡得，成功點的軌跡方程為；【小問2詳解】由（1）知：，設(shè)以C為圓心的圓的方程為，第15頁/共21頁因為信號覆蓋追蹤機器犬被捕獲的過程，即覆蓋成功點，所以兩圓內(nèi)含或內(nèi)切，所以，解得，所以信號范圍至少為米.18.已知橢圓，焦距為，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為4.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過右頂點的直線與橢圓的另一個交點為，點關(guān)于軸的對稱點為（與直線與軸的交點分別為和.若，求線段的長.【答案】（1）（2）【解析】1）由題意可得，解方程組即可求解；（2）設(shè)，進而求出坐標，再根據(jù)可求出，，進而求解即可．【小問1詳解】由題意得，，解得，則橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，如圖：第16頁/共21頁所以直線的方程為，令，得，同理直線的方程為，令，得，又，因為，所以，所以，由題意知，，則，所以，則，所以.19.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標.設(shè)為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點和平面為多面體的所有以為公共點的面.已知三棱錐如圖所示.第17頁/共21頁（1）求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；（2）若平面為中點，三棱錐在頂點處的離散曲率為.求點到平面的距離；（3）在（2）的前提下，又知為側(cè)面內(nèi)一動點，記二面角為，直線與平面所成角為，若，求三棱錐體積的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由離散曲率的定義求、、、，即可得；（2）由線面垂直的性質(zhì)和判斷得，結(jié)合求得，由為中點，確定的長，結(jié)合三棱錐等體積轉(zhuǎn)換求解點到平面的距離即可；（3在平面上的射影的軌跡是以為準線的拋物線一部分，再結(jié)拋物線與直線相交、等體積法，即可求解棱錐體積的最大值．【小問1詳解】由離散曲率的定義得：，第18頁/共21頁，，，所以，故三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和為；【小問2詳解】由平面，平面，得，又，，，平面，則平面，又平面，所以，即，又，即，解得，由平面，平面，得，則為等腰直角三角形，所以，，因為為中點，所以，，又，所以，因為，則，則，故，第19頁/共21頁設(shè)點到平面的距離為，在三棱錐中，有，所以，則，故點到平面的距離為；【小問