高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽(yáng)市南陽(yáng)六校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線斜率為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)傾斜角為，依題意，由于，所以.故選：A.2.下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C．3.記橢圓：，雙曲線：的離心率分別為，，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】由題意知，，因?yàn)椋?，即，解?故選：B.4.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即.故選：A.5.已知P為拋物線上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為.如圖，過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為Q，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.由拋物線的定義得，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.|故選：C.6.已知圓與直線：相交于兩點(diǎn)，若為正三角形，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】圓C：，即，圓心為，半徑，因?yàn)閳A與：相交于兩點(diǎn)，且為正三角形，所以圓心到直線的距離，，則，解得.故選：A.7.已知圓O：，直線l：，將圓O在l下方的部分沿著l向上翻折，如圖，若直線與折疊后得到的兩段弧恰有4個(gè)交點(diǎn)，則m的值可以是（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】由題意知圓O與l交于B，C兩點(diǎn)，且，，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，由對(duì)稱性可知，折疊后的弧BC對(duì)應(yīng)的圓的方程為，當(dāng)與劣弧BC相切時(shí)，有，所以，其中舍去，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線與兩段弧恰有4個(gè)交點(diǎn).結(jié)合選項(xiàng)知B符合題意.故選：B.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上且位于第一象限，若直線的斜率為，則的內(nèi)切圓面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，.如圖，設(shè)圓與線段，，分別相切于點(diǎn)，則，，，所以，所以，從而可知內(nèi)切圓的圓心C在直線上.因?yàn)榈男甭蕿椋詢A斜角為，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以直線的傾斜角為，方程為，將代入，得，所以，即圓C的半徑為，得圓C的面積為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.若直線的斜率，則傾斜角B.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為C.過(guò)任意兩點(diǎn)，的直線都可以用方程表示D.直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的任意直線都可以用方程表示【答案】AD【解析】對(duì)于A，由條件可知，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，A正確；對(duì)于B，直線的斜率為，其垂線的斜率為3，所以過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，不能用方程表示，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，任何直線的方程都有一般式，故D正確.故選：AD.10.橢圓光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)該橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，一條光線從出發(fā)，經(jīng)過(guò)橢圓的若干次反射，第二次經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)光線走過(guò)的路程為8c，則該橢圓的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.①若光線從沿長(zhǎng)軸向左射出，則第二次經(jīng)過(guò)時(shí)，光走過(guò)的路程為，所以，得；②若光線從沿長(zhǎng)軸向右射出，則第二次經(jīng)過(guò)時(shí)，光走過(guò)的路程為2a，所以，得；③若光線從沿其他方向射出，則第二次經(jīng)過(guò)時(shí)，光走過(guò)的路程為6a，所以，得.故選：BCD.11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.面積的最小值為2B.當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，C.線段的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離等于D.在x軸上存在一點(diǎn)，使直線與的斜率之和為定值【答案】ACD【解析】由題意知，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得消去整理得，則，.對(duì)于A，，故時(shí)，的面積取得最小值，為2，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)直線AB的傾斜角為時(shí)，直線AB的方程為，將代入，得，解得，，所以，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知C的準(zhǔn)線方程為，由前面的分析，知，，所以，又，所以，故C正確；對(duì)于D，由前面的分析，知，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，為定值0，即存在，使為定值，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得，解得故答案為：.13.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)橢圓上除A，B外任意一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為Q，若，則橢圓的焦距為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意知，，設(shè)，則，，所以，整理得，對(duì)照橢圓方程可知，所以，故橢圓的焦距為.故答案為：.14.已知P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意，得圓C：的圓心到直線l：的距離，所以l與圓C相離，如圖，可知當(dāng)取得最大值時(shí)，取最小值，的最小值為點(diǎn)C到l的距離，即，此時(shí)，所以，故的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)直線與交于點(diǎn)P，已知直線l過(guò)點(diǎn)P.（1）若l與直線平行，求l的方程；（2）若l在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)，求l的方程.解：（1）聯(lián)立得，解得，即.若l與直線平行，則l的斜率，所以l的方程為，即.（2）若l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)l：，代入P點(diǎn)坐標(biāo)，解得，所以l的方程為.若l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)l：，代入P點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，所以l的方程為，即.所以l的方程為或.16.已知點(diǎn)，，，的外接圓為圓C.（1）求圓C的方程；（2）設(shè)的AB邊上的高所在的直線為l，求l被圓C所截得的弦長(zhǎng).解：（1）設(shè)圓C的方程為，將，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得故圓C的方程為，即.（2）由題意得，與AB垂直的高線的斜率為1，又過(guò)，所以：.圓的圓心到的距離，則被圓截得的弦長(zhǎng)為.17.已知橢圓C：的離心率，以C的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為.（1）求的方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)C的半焦距為.由題意得得C的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，得化簡(jiǎn)得，，..18.已知直線l：與拋物線C：相切于點(diǎn)P.（1）求C的方程以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線L與C交于A，B兩點(diǎn)（均不與點(diǎn)P重合），AB的中點(diǎn)為M.（i）當(dāng)軸時(shí)，求L的方程；（ii）設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，證明：為定值.（1）解：由可得（*），由題意知，解得（舍去），所以C的方程為.將代入（*）式可得，解得，將代入C的方程可得：，即.（2）（i）解：易知L的斜率存在且不為0，設(shè)，與C的方程聯(lián)立，得.由及點(diǎn)P不在L上，得或或.設(shè)，，則，.當(dāng)軸時(shí)，，即，滿足題意，所以L的方程為.（ii）證明：由（i）可得，.所以，即為定值.19.已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為.（1）求C的方程.（2）若動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn)（M在第一象限，N在第四象限），過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為D.（i）證明：