高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省哈爾濱市道外區(qū)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)和點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，且，所以的傾斜角故選：B.2.某校高三年級(jí)共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考試結(jié)束后，學(xué)校采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為的樣本，已知樣本中男生比女生人數(shù)多8人，則（）A.20 B.30 C.40 D.48【答案】C【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，樣本中男生人數(shù)為：，樣本中女生人數(shù)為：，由題意，所以，所以.故選：C.3.某袋中有編號(hào)為的個(gè)小球（小球除編號(hào)外完全相同），甲先從袋中摸出一個(gè)球，記下編號(hào)后放回，乙再從袋中摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，則甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的概率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】甲先從袋中摸出一個(gè)球，有4種可能的結(jié)果，乙再從袋中摸出一個(gè)球，有4種可能的結(jié)果，如果按（甲，乙）方法得出總共的結(jié)果為：16個(gè)，甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的結(jié)果為12個(gè)，甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的概率是.故選：A．4.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)金牌榜前8名的金牌數(shù)依次為40，40，20，18，16，15，14，13，這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為（）A.13 B.14 C.14.5 D.15.5【答案】C【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：13，14，15，16，18，20，40，40，由于，故這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，故選：C.5.在全球高鐵技術(shù)競爭中，中國站到了前沿.全國政協(xié)委員、中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗(yàn)，預(yù)計(jì)將在一年后投入商業(yè)運(yùn)營.小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，則小張的購票方案種數(shù)為（）A.14 B.19 C.90 D.200【答案】B【解析】按照分類加法計(jì)數(shù)原理可得小張的購票方案種數(shù)為.故選：B.6.直線（為常數(shù)）恒過定點(diǎn)，直線與直線垂直，且過點(diǎn)，其中直線，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可以化為，解方程組，得.故直線恒過定點(diǎn).直線斜率，直線與直線垂直，則直線斜率為，則直線的方程：，即，故選：A.7.與橢圓共焦點(diǎn)，且與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓，焦點(diǎn)在x軸上，且，又因?yàn)樗鶠殡p曲線與雙曲線共漸近線，所以設(shè)所求雙曲線，即則，解得.所以所求雙曲線為.故選：B.8.已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且直線的斜率，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，設(shè)該橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的斜率，所以設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則有，因?yàn)椋?，所以有，消去，得，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙兩人分別從云臺(tái)山、青天河、神農(nóng)山、月山寺這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)去旅游，已知甲、乙兩人選擇哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，則下列說法正確的是（）A.甲去云臺(tái)山的概率為B.甲、乙兩人都去云臺(tái)山的概率為C.甲、乙兩人中恰有一人去云臺(tái)山的概率為D.甲、乙兩人中至少有一人去云臺(tái)山的概率為【答案】AC【解析】將甲、乙兩人去云臺(tái)山、青天河、神農(nóng)山、月山寺旅游分別記為，依題意可知樣本空間為：，共含有16個(gè)樣本點(diǎn).甲去云臺(tái)山的情況為，樣本點(diǎn)有4個(gè)，概率為，故A正確；甲、乙兩人都去云臺(tái)山的情況為，樣本點(diǎn)有1個(gè)，概率為，故B錯(cuò)誤；甲、乙兩人中恰有一人去云臺(tái)山的情況為，樣本點(diǎn)有6個(gè)，概率為，故C正確；甲、乙兩人中至少有一人去云臺(tái)山的情況為，樣本點(diǎn)有7個(gè)，概率為，故D錯(cuò)誤.故選：AC．10.已知一組樣本數(shù)據(jù)、、、，下列說法正確的是（）A.該樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為B.若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則其平均數(shù)大于中位數(shù)C.剔除某個(gè)數(shù)據(jù)后得到新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差D.若、、、平均數(shù)為，方差為，、、、的平均數(shù)為，方差為，則、、、的方差為【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，向右邊“拖尾”，則其平均數(shù)大于中位數(shù)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若剔除的數(shù)據(jù)為，則新樣本數(shù)據(jù)的極差為，原樣本數(shù)據(jù)的極差為，因?yàn)?，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，即新樣本數(shù)據(jù)極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差；若剔除的數(shù)據(jù)為，則新樣本數(shù)據(jù)的極差為，原樣本數(shù)據(jù)的極差為，因?yàn)?，則，即新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差；若剔除的數(shù)據(jù)為，則新樣本數(shù)據(jù)的極差為，原樣本數(shù)據(jù)的極差為，即新樣本數(shù)據(jù)的極差等于原樣本數(shù)據(jù)的極差；綜上可知剔除某個(gè)數(shù)據(jù)后得到新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由，則，所以、、、的方差為，D錯(cuò).故選：BC.11.關(guān)于統(tǒng)計(jì)量，下列說法正確的是（）A.統(tǒng)計(jì)量的值越大，兩個(gè)分類變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)B.若求出統(tǒng)計(jì)量，由于6.31比較接近，因此能推斷兩個(gè)分類變量有關(guān)系，且犯錯(cuò)誤概率不超過0.01C.獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測(cè)值與期望值之間的差異，由統(tǒng)計(jì)量所代表的這種差異的大小是通過確定適當(dāng)?shù)男「怕手祦磉M(jìn)行判斷的D.根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造過程可知，的值越小，零假設(shè)成立的可能性越大．【答案】CD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：統(tǒng)計(jì)量的值越大，兩個(gè)分類變量的相關(guān)的可能性越大，與線性相關(guān)程度無關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下，沒有足夠條件推斷兩個(gè)分類變量有關(guān)系，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想可知：獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測(cè)值與期望值之間的差異，由統(tǒng)計(jì)量所代表的這種差異的大小是通過確定適當(dāng)?shù)男「怕手祦磉M(jìn)行判斷的，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想可知：的值越小，零假設(shè)成立的可能性越大，故D正確；故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.已知和之間的一組數(shù)據(jù)如右表；與線性相關(guān)，且回歸方程為，為的方差的0.6倍，則當(dāng)時(shí)，___________.01235【答案】或【解析】由表格可得的平均值，則，由表格可得的平均值，將代入回歸直線，可得，解得，則，當(dāng)，則.故答案為：.13.已知事件，相互獨(dú)立，且，，則____________.【答案】或【解析】因?yàn)?，相互?dú)立，所以，也相互獨(dú)立，又因?yàn)?，，所以，故答案為?14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則_____________.【答案】8【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，焦點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)，，，即，可得：，即，代入解得：，即由兩點(diǎn)間距離公式可得:.故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生動(dòng)手操作能力的培養(yǎng)，將素質(zhì)教育落到實(shí)處，某校開展了剪紙、刺繡、草藝、泥塑民間工藝活動(dòng)，學(xué)校要求每名學(xué)生至少參加其中一項(xiàng)活動(dòng)．為了解上述活動(dòng)的開展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：工藝活動(dòng)編號(hào)1234工藝活動(dòng)名稱剪紙刺繡草藝泥塑高一學(xué)生參加活動(dòng)人數(shù)50303060高二學(xué)生參加活動(dòng)人數(shù)40258050高三學(xué)生參加活動(dòng)人數(shù)40104040以頻率作為概率．（1）從樣本中隨機(jī)選取了1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生參加了剪紙活動(dòng)的概率；（2）從高一、高二、高三學(xué)生樣本中各隨機(jī)選取了1名學(xué)生，估計(jì)這3名學(xué)生中恰有2人參加了剪紙活動(dòng)的概率；（3）為了進(jìn)一步了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)以上各項(xiàng)工藝活動(dòng)的喜愛程度，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生樣本中各隨機(jī)選取了1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，設(shè)這3名學(xué)生均參加了第項(xiàng)工藝活動(dòng)的概率為，求的最大值．解：（1）樣本中學(xué)生共有300人，參加了剪紙活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為，所以這名學(xué)生參加了剪紙活動(dòng)的概率為．（2）從高一、高二、高三學(xué)生樣本中各隨機(jī)選取了1名學(xué)生，估計(jì)這3名學(xué)生中恰有2人參加了剪紙活動(dòng)的概率為:．（3）由題意可知，，，，，故最大，且為0.12．16.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且過點(diǎn)（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）若直線過點(diǎn)，且與圓交于，兩點(diǎn)，滿足，求直線的方程．解：（1）由題意：.所以圓：.所以圓的圓心為，半徑.（2）因?yàn)椋詧A心到直線的距離為：.設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為：，即.由或.所以直線的方程為：或.17.某小區(qū)的住房結(jié)構(gòu)有A和B兩種戶型，從中各隨機(jī)抽取40戶，調(diào)查他們的月平均電費(fèi)，所得數(shù)據(jù)如下：月平均電費(fèi)低于200元不低于200元A戶型328B戶型1822（1）分別估計(jì)該小區(qū)A戶型和B戶型居民的月平均電費(fèi)低于200元的概率；（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為該小區(qū)居民的月平均電費(fèi)與所居住的戶型有關(guān)？附：，其中.0.10000500.0102.7063.8416.635解：（1）A戶型居民的月平均電費(fèi)低于200元的概率，B戶型居民的月平均電費(fèi)低于200元的概率.（2）根據(jù)列聯(lián)表．∴有99%的把握認(rèn)為該小區(qū)居民的月平均電費(fèi)與所居住的戶型有關(guān).18.隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動(dòng)力的新一代無繩類電動(dòng)工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應(yīng)多種應(yīng)用場(chǎng)景下的工作等優(yōu)勢(shì)，被廣泛使用.在消費(fèi)者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動(dòng)下，鋰電類無繩電動(dòng)工具及配套充電器市場(chǎng)有望持續(xù)擴(kuò)大.某公司為適應(yīng)市場(chǎng)并增強(qiáng)市場(chǎng)競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對(duì)2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計(jì)，如下圖：2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對(duì)應(yīng)2017~2021年）（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該公司研發(fā)人數(shù)與年份代碼的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷其相關(guān)性的強(qiáng)弱；（2）試求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：相關(guān)系數(shù).線性回歸方程的斜率，截距.附：相關(guān)性弱一般強(qiáng)解：（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖，得，，所以，.所以.因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，所以與具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān).（2），所以，所以由題意知，2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼，當(dāng)時(shí)，，故預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人.19.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；（3）如圖所示，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)．判斷點(diǎn)是否為線段的中點(diǎn)，說明理由．解：（1）由題可知，得．