高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省新時代高中教育聯(lián)合體2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】全集，，故，由韋恩圖得圖中的陰影部分表示的集合為.故選：A.2.命題：，的否定是（）．A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】，的否定是，.故選：D.3.若存在，使得成立，則m的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】存在，使得成立，所以，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值5，所以．故選：C.4.兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的購買方案，第一種是不考慮物品單價的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品單價的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，哪種購買方案更實(shí)惠（）．A.第一種 B.第二種 C.都一樣 D.與物品價格有關(guān)【答案】D【解析】設(shè)兩次購買此種商品的單價分別為，，方案一中每次購買這種物品數(shù)量為x，方案二中每次購買這種物品所花的錢數(shù)為y，其中，，x，y均為正數(shù)，∴方案一的平均單價為；方案二的平均單價為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)相等時，兩種方案一樣，當(dāng)時，第二種購買方案更實(shí)惠．綜上，哪種購買方案更實(shí)惠與物品價格有關(guān).故選：D．5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B. C. D.[0，1]【答案】B【解析】由條件可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，且在分界點(diǎn)處滿足，得，所以.故選：B6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ瓵. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，則，所以，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.7.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B. C.4 D.8【答案】D【解析】由，解得，則.所以，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以.故選：D.8.已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）．A.若，，則的圖象經(jīng)過四個象限B.若，則的圖象經(jīng)過三個象限C.若，，則的圖象能經(jīng)過第四象限D(zhuǎn).若，則的圖象能經(jīng)過第一象限【答案】D【解析】∵，∴的圖象過點(diǎn)，又，對于A，若，，則，，函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位得到，如下圖，故正確；對于B，若，則，，函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位得到，如下圖，故正確；對于C，若，，則，，函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位得到，如下圖，故正確；對于D，若，則，，函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位得到，如下圖，故錯誤；故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）．A.已知集合，則集合A有7個真子集B.“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的必要不充分條件C.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t其值域?yàn)镈.若，則【答案】BD【解析】對于A，集合，集合A的真子集有，，共3個，A錯誤；對于B，方程有一個正根和一個負(fù)根，則，若則，但若，則不一定成立，所以“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的必要不充分條件，B正確；對于C，，令，則原函數(shù)化為，∵，∴，由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值1，∴，∴，∴原函數(shù)的值域?yàn)?，C錯誤；對于D，∵，∴，D正確．故選：BD．10.已知，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.D.【答案】BD【解析】對于A，不等式的同向同正可乘，未強(qiáng)調(diào)正，例如：，故A錯誤；對于B，，，則，即，故B正確；對于C，，則，故C錯誤；對于D，，則，所以，故D正確；故選：BD.11.對于函數(shù)，若存在常數(shù)a，b，使得函數(shù)為“奇函數(shù)”，則稱函數(shù)為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，已知，以下說法正確的是（）．A.為“準(zhǔn)奇函數(shù)”B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.D.函數(shù)的最大值與最小值的和為6【答案】ACD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則，對于A，由，得為奇函數(shù)，則為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，A正確；對于B，由為奇函數(shù)，得，則，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B錯誤；對于C，由B選項(xiàng)的分析可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故，則，又，因此，C正確；對于D，由B選項(xiàng)的分析可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故函數(shù)的最大值與最小值的和為6，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)集合.若，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得或，若，則，此時，符合題意；若，則，此時，不符合題意.故的值為.故答案為：.13.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，若正數(shù)滿足，求的最小值______.【答案】24【解析】由于是冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時，，在上遞減，符合題意.當(dāng)時，在上遞增，不符合題意.所以的值為1，則，依題意為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最小值為24.故答案為：24.14.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以“高斯”命名的數(shù)學(xué)概念、定理、公式有很多，比如我們教材中所學(xué)習(xí)的“高斯函數(shù)”其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，.現(xiàn)有函數(shù)，如果該函數(shù)既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________.【答案】【解析】設(shè)，則，得.，令，則，所以，得，又既有最大值又有最小值，當(dāng)時，的圖象如圖所示，在上有最小值，無最大值，不符合題意；當(dāng)時，的圖象如圖所示，在上有最小值，無最大值，不符合題意；當(dāng)時，的圖象如圖所示，在上有最大值和最小值，符合題意；當(dāng)時，的圖象如圖所示，在上有最大值，無最小值，不符合題意；綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)全集，集合，集合．（1）求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若命題“，則”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋曰?（2）由“”是“”的充分不必要條件，得是的真子集，又，，因此或，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）命題“，則”是真命題，則有，當(dāng)時，，解得，符合題意，因此當(dāng)時，而，則，無解，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知二次函數(shù)．（1）若的解集為，求ab的值；（2）解關(guān)于x的不等式．解：（1）若的解集為，則1，b是方程的根，由，解得：，由解得：，所以；（2）由二次函數(shù)知，不等式整理得，即，由得①當(dāng)時，不等式等價于：，若，即時，解集為；若，即時，解集為：；若，即時，解集為；②當(dāng)時，不等式等價于：，解集為綜上，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．17.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意正?shí)數(shù)都有，且當(dāng)時，．（1）求的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并證明；（3）若，求的取值范圍．解：（1）令，得，解得；（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：不妨設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；（3）由（2）知在上單調(diào)遞減，若，即，所以，解得或，即的取值范圍是．18.設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的值域；（2）若對，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對于定義域?yàn)镮的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”.如果函數(shù)在上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）令，則，于是，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，的值域?yàn)?（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，設(shè)，在上遞增，則，因?qū)?，，使得成立，可得，故?shí)數(shù)的取值范圍是.（3）函數(shù)在上遞減，在上遞增，設(shè)是一個優(yōu)美區(qū)間，則或，當(dāng)時，有，則方程，即有兩個不等的非負(fù)根，設(shè)方程兩根分別為，由，得，又由，得，因此；當(dāng)時，有，則，兩式相減得，因，則，于是，則方程，即有兩個不等的非正根，由，解得，又，可得，因此.綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.若，，，則不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.這個不等式叫做權(quán)方和不等式，稱為該不等式的權(quán)，它的特點(diǎn)是分子的冪指數(shù)比分母的冪指數(shù)高1次.權(quán)方和不等式是數(shù)學(xué)中一個重要的不等式.（1）若，證明二維形式的權(quán)