高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省湘潭市部分學校2025-2026學年高二上學期12月學情檢測數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求．1.直線與直線的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能確定【答案】C【解析】因為直線與直線的斜率分別為和，顯然且，因此兩直線既不平行也不垂直；因此兩直線相交但不垂直.故選：C.2.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，令，解得，依題有，即，雙曲線方程為，從而，從而的焦點坐標為.故選：A.3.已知數(shù)列的一個通項公式為，且，則等于（）A. B. C.5 D.6【答案】B【解析】因為，即，解得，所以．故選：B.4.若直線經(jīng)過點，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時，（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】因為直線經(jīng)過點，則，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值為，此時，則.故選：D.5.雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】雙曲線的漸近線為，根據(jù)對稱性不妨取，圓的圓心為，半徑，可得圓心到漸近線的距離為，則弦長為.故選：D.6.法國天文學家喬凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星運動規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，并稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）小張同學受到啟發(fā)，提出類似疑問，若平面內(nèi)動點與兩定點所成向量的數(shù)量積為定值，則動點的軌跡是什么呢？設(shè)定點和，動點為，若，則動點的軌跡為（）A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線【答案】B【解析】設(shè)，以線段的中點為平面直角坐標系原點，為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則，設(shè)，則，即，所以的軌跡是以原點為圓心，半徑為的圓.故選：B.7.在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線的中點，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的個數(shù)為（）①圓的面積為；②橢圓的長軸長為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為；④拋物線的焦點到準線的距離為A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】對于①，M為母線的中點，因此截面圓的半徑為底面圓的半徑的，即截面圓半徑為2，則圓的面積為，故①正確；對于②，如圖，在圓錐的軸截面中，作,垂足為C，由題意可得M為母線的中點，則,故橢圓的長軸長為,②正確；對于③，如圖，在與平面垂直且過點M的平面內(nèi)，建立平面直角坐標系，坐標原點與點P到底面距離相等，則點M坐標為，雙曲線與底面圓的一個交點為D，其坐標為，則設(shè)雙曲線方程為，則，將代入雙曲線方程，得，設(shè)雙曲線的漸近線與軸的夾角為，則，故雙曲線兩漸近線的夾角正切值為，③錯誤；對于④，如圖，建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線與底面圓一個交點為H，則，則,設(shè)拋物線方程為，則，即拋物線的焦點到準線的距離為，④錯誤，故正確的命題有2個，故選：B.8.已知函數(shù)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對任意的x，均滿足：，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，得，代入，得，當x為正整數(shù)時，，所以，所以，代入，得，所以（且），又當時，也符合題意，所以（）．所以，令，則，所以，所以，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知公差為的等差數(shù)列是遞減數(shù)列，其前項和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則的最大值為7 D.取最大值時，【答案】ABC【解析】等差數(shù)列是遞減數(shù)列，則公差，A正確；由題意，∴，則，從而取最大值時，或，D錯誤；所以，B正確；，由得，C正確．故選：ABC．10.已知直線：和圓：，則（）A.直線恒過定點 B.存在使得直線與直線：垂直C.直線與圓相離 D.若，直線被圓截得的弦長為【答案】BD【解析】直線，即，則直線恒過定點，故A錯誤；當時，直線與直線垂直，故B正確；∵定點在圓O：x2+y2=9內(nèi)部，∴直線l與圓O相交，故C不正確：當時，直線l化為，即x+y+2=0，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故D正確，故選：BD.11.如圖是唐代紋八棱金杯，其主體紋飾為八位手執(zhí)樂器的樂工，分布于八個棱面，樂工手執(zhí)豎箜篌?曲項琵琶?排簫等，金杯無論造型還是裝飾風格都有著濃郁的域外特征，是唐代中外文化交流的見證?該杯的主體部分可近似看作是雙曲線與直線圍成的曲邊四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線與軸交于兩點，則（）A.的方程為B.的離心率C.的焦點到漸近線的距離為D.若為上任意一點，則的最大值為【答案】AC【解析】解：由題意知，代入的方程解得，所以的方程為，A正確；因為，所以離心率，B錯誤；的焦點為，漸近線為，所以焦點到漸近線的距離為，C正確；，當且僅當，即時取等號，但將代入的方程后，無解，D錯誤.故選：AC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列的前4項分別為，，，，則數(shù)列的一個通項公式可以為___________．【答案】【解析】由前四項可知，其分子為奇數(shù)，其分母后一項是前一項的二倍，所以數(shù)列通項公式為.故答案為：.13.已知圓，直線（、不同時為0），當、變化時，圓被直線截得的弦長的最小值為______.【答案】【解析】把直線化為，，恒過定點，當圓被直線l截得的弦長的最小值時，圓心到定點的距離為，圓心到直線距離最大值時即為，此時直線弦長為最小值.故答案為：.14.已知點是雙曲線的上焦點，是下支上的一點，點是圓上一點，則的最小值是______.【答案】6【解析】由圓可化為，則，半徑為1，設(shè)是的下焦點，則，由雙曲線定義可得，如圖：所以，又，當且僅當四點共線時，取得最小值，即的最小值是.故答案為：6.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列通項公式為．（1）計算的值；（2）是不是該數(shù)列中的項？若是，應(yīng)為第幾項？若不是，說明理由．解：（1）數(shù)列中，，，所以.（2）若為數(shù)列中的項，則，即，整理得，而，解得，所以是數(shù)列的第10項.16.如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中點．（1）求證：；（2）若，求直線BC與平面ADB所成角的正弦值．（1）證明：在中，，，，所以，所以，又平面平面ABC，平面平面，平面PAB，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又，，PB，平面PBC，所以平面PBC，又平面PBC，所以．（2）解：在中，，，，所以．以C為坐標原點，，，方向分別為x軸，y軸，z軸的正A方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，設(shè)平面ADB的一個法向量為，則取，則，所以．設(shè)直線BC與平面ADB所成的角為，則，所以直線BC與平面ADB所成角的正弦值是．17.在平面直角坐標系中，設(shè)向量，，．（1）若，求的值；（2）設(shè)，且，求的值．解：（1）因為，，，所以，，．因為，所以，即，所以，即．（2）由題，則，所以，又，，所以，即，整理得，所以或，所以或.18.已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于，兩點，如果，求直線的方程；（3）已知是圓上動點，求的最大值.解：（1）因為，，所以，的中點坐標為，所以的垂直平分線為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標為，又圓的半徑為，所以圓的方程為；（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以，滿足條件；若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，又，所以圓心到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為，即，綜上所述，直線的方程為或；（3）設(shè)，則求的最大值即求的最大值，當直線與圓相切時，能取最值，此時圓心到該直線的距離為，即，解得或，所以的最大值為，即的最大值為19.已知為坐標原點，是橢圓的左、右焦點，的離心率為，點是上一點，的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）已知是橢圓的左、右