湖南省長(zhǎng)沙市開福區(qū)長(zhǎng)沙一中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)，為銳角，且，則（）A. B.C. D.2．若用面積為48的矩形ABCD截某圓錐得到一個(gè)橢圓，且該橢圓與矩形ABCD的四邊都相切.設(shè)橢圓的方程為，則下列滿足題意的方程為（）A. B.C. D.3．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．設(shè)為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.5．我國(guó)新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序進(jìn)行疫苗接種工作，下面是我國(guó)甲、乙兩地連續(xù)11天的疫苗接種指數(shù)折線圖，根據(jù)該折線圖，下列說法不正確的是（）A.這11天甲地指數(shù)和乙地指數(shù)均有增有減B.第3天至第11天，甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%C.在這11天期間，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量D.第9天至第11天，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量6．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.7．知點(diǎn)分別為圓上的動(dòng).點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，則的最小值（）A. B.C. D.8．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長(zhǎng)為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸9．若命題p為真命題，命題q為假命題，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A.99 B.131C.139 D.14111．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，，，，則點(diǎn)B到平面PCD的距離為（）A. B.C. D.12．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，，則的面積為_________14．若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則___________.15．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.16．若，是雙曲線與橢圓的共同焦點(diǎn)，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠修建一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元．設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?18．（12分）已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，命題：關(guān)于的方程無實(shí)根（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”為假命題，"”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足*（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn20．（12分）設(shè)二次函數(shù).（1）若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且最小值為.①求證：；②當(dāng)且僅當(dāng)a在什么范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值?（2）若任意實(shí)數(shù)t，在閉區(qū)間上總存在兩實(shí)數(shù)m，n，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.22．（10分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且（為原點(diǎn)），求直線的斜率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)角終邊上有一點(diǎn)，得到，再根據(jù)為銳角，且，求得，再利用兩角差的正切函數(shù)求解.【詳解】因?yàn)榻墙K邊上有一點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以，故選：C2、A【解析】由橢圓與矩形ABCD的四邊都相切得到再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由于橢圓與矩形ABCD的四邊都相切，所以矩形兩邊長(zhǎng)分別為，由矩形面積為48，得，對(duì)于選項(xiàng)B，D由于，不符合條件，不正確.對(duì)于選項(xiàng)A，，滿足題意.對(duì)于選項(xiàng)C，不正確.故選：A.3、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件得到，再由，，的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點(diǎn)在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A4、A【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得到兩圖形離心率之間的關(guān)系，再根據(jù)橢圓的離心率范圍可得雙曲線的離心率取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則有已知，兩式相減得，即，，因?yàn)椋獾霉蔬x：A.5、C【解析】由折線圖逐項(xiàng)分析得到答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，從折線圖中可以直接觀察出甲地和乙地的指數(shù)有增有減，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，從第3天至第11天，甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，從折線圖上可以看出這11天甲的增量大于乙的增量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，從折線圖上可以看出第9天至第11天，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量，故D正確；故選：C.6、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進(jìn)行排列，然后丙、丁從3個(gè)空中選2個(gè)空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A7、B【解析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∴若與關(guān)于x軸對(duì)稱，則，即，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，所以同理(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào))所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，∴.故選：B.8、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長(zhǎng)，公差為，則，所以立夏日影長(zhǎng)丈，即四尺五寸.故選：D9、B【解析】根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，一假則假，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷直接即可判斷.【詳解】邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，一假則假.因?yàn)槊}p為真命題，命題q為假命題，所以為假命題，為真命題.所以，為假，故A錯(cuò)誤；為真，故B正確；為假，故C錯(cuò)誤；為假，故D錯(cuò)誤.故選：B10、D【解析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D11、D【解析】為中點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形，進(jìn)而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線面垂直的性質(zhì)確定線線垂直，在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求相關(guān)線段長(zhǎng)，即可得△為直角三角形，最后應(yīng)用等體積法求點(diǎn)面距即可.【詳解】若為中點(diǎn)，連接，又E為PA的中點(diǎn)，所以，，又，，則且，所以為平行四邊形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，則面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；綜上，，故，又，則.所以B到平面PCD的距離為.故選：D12、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)求出，由向量數(shù)量積得到，使用余弦定理得到方程組，求出，利用面積公式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，而因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，整理得：①，其中，即，因?yàn)?，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，則的面積為.故答案為：14、【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：115、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，且，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，，成等比?shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知：，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣(5)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.(6)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解16、【解析】根據(jù)給定條件求出兩曲線的共同焦點(diǎn)，再由橢圓、雙曲線定義求出a，b即可計(jì)算作答.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓、雙曲線的對(duì)稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)榈妊切危蓹E圓的定義知：，則，，由雙曲線定義知：，即，，，所以雙曲線的漸近線為：.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線(a>0,b>0)漸近線方程為，而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1)1600,（平方米）；（2）池底設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)40米的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低造價(jià)為268800元.【解析】（1）根據(jù)題意，由于修建一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時(shí)池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米，則可知總造價(jià)s=,x=40時(shí)，則.故可知當(dāng)x=40時(shí)，則有可使得總造價(jià)最低,最低造價(jià)是268800元.考點(diǎn)：不等式求解最值點(diǎn)評(píng)：主要是考查了不等式求解最值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解析】(1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)得，即可求m的范圍；(2)當(dāng)q命題為真時(shí)，方程無實(shí)根，判別式小于零，求得m的范圍，再由復(fù)合命題的真假得和一真一假，列出不等式組運(yùn)算可得解【小問1詳解】∵方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，∴，解得【小問2詳解】若為真命題，則，解得，∵“”為假命題，”為真命題，∴一真一假當(dāng)真假時(shí)，“”且“或”，則；當(dāng)假真時(shí)，，則綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，再由等差數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問1詳解】（1），即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以，即.【小問2詳解】令，所以，所以20、（1）①證明見解析；②（2）【解析】（1）①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程的求根公式，求得，即可證得；②由①知，區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（2）存在兩實(shí)數(shù)，使得成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上，有成立，設(shè)﹐結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：①由題意，函數(shù)二次函數(shù)，因?yàn)樽钚≈禐?，可得，即，因?yàn)?，所以根?jù)求根公式得，所以.②由①知，區(qū)間因?yàn)?，?duì)稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，所以，因?yàn)?，所以解得，所以，即a的取值范圍為.【小問2詳解】解：存在兩實(shí)數(shù)，使得成立，則在區(qū)間上，有成立，設(shè)﹐函數(shù)對(duì)稱軸為①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)減，，此時(shí)；②當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)③當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)；④當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)；綜合①②③④得，且最小值為，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，所以只需，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.21、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（