2026屆北京朝陽陳經(jīng)綸中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高三年級抽取的學(xué)生數(shù)為（）A.10 B.15C.20 D.302．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為的面積，則（）A. B.C. D.3．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)4．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.5．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-16．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A. B.C. D.7．已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．已知是等比數(shù)列，，，則（）A. B.C. D.10．過點(diǎn)（-2，1）的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長的直線的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=011．雙曲線的虛軸長為（）A. B.C.3 D.612．設(shè)圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________14．若點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則P滿足性質(zhì)：點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點(diǎn)Q，使得Q到左焦點(diǎn)的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______15．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則______.16．?dāng)?shù)列滿足，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)：函數(shù)的定義域?yàn)?；：不等式對任意的恒成立?）如果是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由19．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）一臺(tái)還可以用的機(jī)器由于使用的時(shí)間較長，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺陷，每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速率而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果:轉(zhuǎn)速(轉(zhuǎn)/秒)1615129每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)（件）10985通過觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)與有線性相關(guān)關(guān)系:（1）求關(guān)于的回歸直線方程；（2）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個(gè)，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(參考:回歸直線方程為，其中，）21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應(yīng)從高三年級抽取的學(xué)生數(shù)為，故選：C.2、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)及余弦定理化簡求即可.【詳解】由，∴，在中，，∴，解得.故選：A.3、A【解析】根據(jù)圖象，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知B錯(cuò)誤，A正確；是極大值點(diǎn)，沒有極小值，和不是函數(shù)的極值點(diǎn)，可知C，D錯(cuò)誤故選：A4、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，而，所?因?yàn)?，且，所?即.故選：A5、C【解析】把看成動(dòng)點(diǎn)與所確定的直線的斜率，動(dòng)點(diǎn)在所給曲線上.【詳解】就是點(diǎn)，所確定的直線的斜率，而在上，因?yàn)椋?故選：C6、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)7、A【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，進(jìn)而得時(shí)，，在上為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因?yàn)榈亩x域是，所以，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，是充分條件；反之，在上為增函數(shù)或，不是必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.8、C【解析】先舉例說明ABD不成立，再根據(jù)不等式性質(zhì)說明C成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以D錯(cuò)；因?yàn)樗?，又，因此同向不等式相加得，即C對；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】由，，可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項(xiàng)公式，則可求出，得數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列.所以=.故選：D10、A【解析】當(dāng)直線被圓截得的最弦長最大時(shí)，直線要經(jīng)過圓心，即圓心在直線上，然后根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得所求【詳解】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標(biāo)為∵直線被圓截得的弦長最大，∴直線過圓心，又直線過點(diǎn)（-2，1），所以所求直線的方程為，即故選：A11、D【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程求出的值，即可得答案【詳解】因?yàn)?，所以，所以雙曲線的虛軸長為.故選：D.12、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)閳A：①和圓：②交于A，B兩點(diǎn)所以由①-②得：,即，故坐標(biāo)滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)為：，由，所以過該切點(diǎn)的切線斜率為：，于切線方程為：，因此有：，設(shè)曲線的切點(diǎn)為：，由，所以過該切點(diǎn)的切線斜率為：，于是切線方程為：，因此有：，因?yàn)椋?，即，因此，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.14、【解析】若Q到的距離為有，由題設(shè)有，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)，即可求離心率的范圍.【詳解】由題意，，即，整理有，所以或，若Q到的距離為，則Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，又Q在C的右支上，所以，則，又，綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若Q到的距離為，根據(jù)給定性質(zhì)有Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，再由雙曲線性質(zhì)及已知條件列不等式組求離心率范圍.15、2或10【解析】求出在處的導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，與聯(lián)立，利用可求.【詳解】令，，則，，可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為.聯(lián)立，得，，解得或.故答案為：2或10.16、【解析】對遞推關(guān)系多遞推一次，再相減，可得，再驗(yàn)證是否滿足；【詳解】∵①時(shí)，②①-②得，時(shí)，滿足上式，.故答案為：.【點(diǎn)睛】數(shù)列中碰到遞推關(guān)系問題，經(jīng)常利用多遞推一次再相減的思想方法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）利用基本不等式，求得當(dāng)命題是真命題，得到，結(jié)合“”為真命題，“”為假命題，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)槭钦婷}，所以對任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式，顯然在不能恒成立；當(dāng)時(shí)，則滿足解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立若是真命題，則；因?yàn)椤啊睘檎婷}，“”為假命題，所以與一真一假當(dāng)真假時(shí)，所以；當(dāng)假真時(shí)，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為18、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線的單位向量，從而可證明線面平行.(2)令，，設(shè)，求出，結(jié)合已知條件可列出關(guān)于的方程，從而可求出的值.【詳解】證明：過作于點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，

，，，∵為的中點(diǎn)．∴．則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，設(shè)，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量為.∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化簡得，即，∵，∴，故【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量證明線面平行，考查了平面法向量的求解，屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，即可證得；（2）以A為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量公式即可求出【小問1詳解】如圖，連接，由已知可得四邊形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交線為，在中，可知，所以平面，于因?yàn)?，所以平面，而平面，所以【小?詳解】如圖所示，以A為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，于是設(shè)平面的法向量為，則，可取而平面的一個(gè)法向量為，所以故平面與平面所成銳二面角的余弦值為20、(1);(2)控制在16轉(zhuǎn)/秒內(nèi).【解析】(1)結(jié)合已知數(shù)據(jù)，代入公式中，先求出，然后求出，進(jìn)而可求出，從而可得回歸方程.(2)由題意得，即可求出轉(zhuǎn)速的最高速度.【詳解】解：(1)由題意知，，所以，則，即關(guān)于的回歸直線方程為.(2)由可得，解得，所以機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在16轉(zhuǎn)/秒內(nèi).21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進(jìn)而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，過點(diǎn)且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因?yàn)樗倪呅沃?，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因?yàn)槠矫鍼AB，所以，因?yàn)?，，所以平面PBD因?yàn)槠矫鍼BD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面底面，平面底面，所以底?以為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，過點(diǎn)且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，，所以，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，即平面與平面的夾