2026屆天津市蘆臺一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.3．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的下焦點(diǎn)重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.4．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B.C. D.6．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的極大值點(diǎn)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.是函數(shù)的最小值點(diǎn)D.曲線在處切線的斜率小于零8．直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且，則（）A.2 B.6C.8 D.109．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．已知拋物線上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.2C.3 D.411．饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長為一個(gè)單位長度，有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點(diǎn)經(jīng)過3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的概率為（）A. B.C. D.12．拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程是___________.14．中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的關(guān)注.某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取400名學(xué)生，對他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個(gè)小組的頻率之比為，則抽取的這400名高一學(xué)生中視力在范圍內(nèi)的學(xué)生有______人.15．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于__________.16．已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若直線l直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為，，則的值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）在水平桌面上放一只內(nèi)壁光滑的玻璃水杯，已知水杯內(nèi)壁為拋物面型（拋物面指拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的面），拋物面的軸截面是如圖所示的拋物線.現(xiàn)有一些長短不一、質(zhì)地均勻的細(xì)直金屬棒，其長度均不小于拋物線通徑的長度（通徑是過拋物線焦點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸垂直的直線被拋物線截得的弦），若將這些細(xì)直金屬棒，隨意丟入該水杯中，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)細(xì)棒重心最低時(shí)，達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)細(xì)棒交匯于一點(diǎn).（1）請結(jié)合你學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)的位置；（2）以玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.設(shè)玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線方程為，將細(xì)直金屬棒視為拋物線的弦，且弦長度為，以細(xì)直金屬棒的中點(diǎn)為其重心，請從數(shù)學(xué)角度解釋上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.20．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)滿足：到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的2倍.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求的最大值.21．（12分）為深入學(xué)習(xí)貫徹總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上的重要講話精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動(dòng)教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學(xué)在校師生理想信念教育，引導(dǎo)師生學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，以昂揚(yáng)的狀態(tài)迎接中國共產(chǎn)黨建黨周年，哈工大附中高二年級組織本年級同學(xué)開展了一場黨史知識競賽．為了解本次知識競賽的整體情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識競賽成績的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）已知該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中，男生占，女生占現(xiàn)從該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中隨機(jī)抽出人，求至少有人是女生的概率.22．（10分）年月日，中國向世界莊嚴(yán)宣告，中國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，個(gè)貧困縣全部摘帽，萬個(gè)貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務(wù)，困擾中華民族幾千年的絕對貧困問題得到了歷史性的解決！為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合種植、兩種經(jīng)濟(jì)作物，可以通過種植這兩種經(jīng)濟(jì)作物鞏固脫貧成果，通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量約為公斤，其收購價(jià)格處于上漲趨勢，最近五年的價(jià)格如下表：年份編號年份單價(jià)（元/公斤）經(jīng)濟(jì)作物的收購價(jià)格始終為元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）若經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)年經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)；（2）用上述頻率分布直方圖估計(jì)經(jīng)濟(jì)作物的平均畝產(chǎn)量（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），若不考慮其他因素，試判斷年該村應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物還是經(jīng)濟(jì)作物？并說明理由附：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.2、D【解析】先設(shè)，代入化簡，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.3、D【解析】求出橢圓的下焦點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點(diǎn)為，即為拋物線焦點(diǎn)，∴，∴.故選：D.4、C【解析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特例法和作差比較法，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對于A中，當(dāng)時(shí)，，所以不正確；對于B中，因?yàn)?，根?jù)不等式的性質(zhì)，可得，對于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.5、C【解析】，故，即，故漸近線方程為.【考點(diǎn)】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.6、B【解析】利用求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B7、B【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)，即可判斷；【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值即最小值，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)與最小值點(diǎn)，因?yàn)?，所以曲線在處切線的斜率大于零，故選：B8、C【解析】根據(jù)漸近線可求出a，再由雙曲線定義可求解.【詳解】因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，所以，，又或，或（舍去），故選：C9、D【解析】對選項(xiàng)A，令即可檢驗(yàn)；對選項(xiàng)B，令即可檢驗(yàn)；對選項(xiàng)C，令即可檢驗(yàn)；對選項(xiàng)D，設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后作差即可.【詳解】若，則可得：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；不妨設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則有：則有：，故選項(xiàng)D正確故選：D10、B【解析】利用拋物線的定義求解即可【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，所以，得，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，故選：B11、B【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長度，跳3次，則樣本空間{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，記“3次跳動(dòng)后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B”為事件，則{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故選：B12、A【解析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而求出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線為，則，解得：，準(zhǔn)線方程為：.故答案為：14、50【解析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.【詳解】第五組的頻率為，第一組所占的頻率為，則隨機(jī)抽取400名學(xué)生視力在范圍內(nèi)的學(xué)生約有人.故答案為：50.15、【解析】先將拋物線方程，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程是，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以拋物線開口方向向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程為：，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、##0.25【解析】求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線l與橢圓方程，借助韋達(dá)定理即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，點(diǎn)，直線AB斜率為，因直線l直線AB，則設(shè)直線l方程為：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，設(shè)，則，有，因此，，所以的值為.故答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得平面與平面所成角的余弦值.【小問1詳解】由于平面，所以，由于,所以平面.【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)平面與平面所成角為，則.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.【小問1詳解】證明：∵，，∴△≌△,∴,設(shè)，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點(diǎn)，分別以，為軸、軸，過作軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，的中點(diǎn)，則，，∵，∴.【小問2詳解】由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.19、（1）拋物線的焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn)（2）答案見解析【解析】（1）結(jié)合通徑的特點(diǎn)可猜想得到結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，只要過點(diǎn)，則中點(diǎn)到的距離最小，根據(jù)，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)通徑的特征，知通徑會(huì)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，則可猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)位置為：拋物線焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn).【小問2詳解】解釋上述現(xiàn)象，即證：當(dāng)（為拋物線通徑）時(shí)，只要過點(diǎn)，則中點(diǎn)到的距離最?。蝗鐖D所示，記點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是，，由拋物線定義知：，當(dāng)過拋物線焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到準(zhǔn)線距離取得最小值，最小值為的一半，此時(shí)點(diǎn)到軸距離最小.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)到軸距離最小問題的證明，通過拋物線的定義可證得結(jié)論.20、（1）（2）【解析】（1）直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)點(diǎn)，列方程即可.（2）點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)問題，可以先求出點(diǎn)到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點(diǎn)的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設(shè)，由題意，得：，化簡得，所以點(diǎn)軌跡方程為【小問2詳解】方法一：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，則點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓，即上運(yùn)動(dòng)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為：21、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數(shù)的定義求出知識競賽成績的第50百分位數(shù)；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數(shù)，利用古典概型求概率.【小問1詳解】，由，解得設(shè)該次知識競賽成績的第50百分位數(shù)為x，則，解得：.即該次知識競賽成績的第50百分位數(shù)為【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知：分?jǐn)?shù)在）的人數(shù)有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有人，記為、、、從這人中隨機(jī)選取人，基本事件為：、、、、、、、、、、、、