高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省宿遷市沭陽縣2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)B：代入檢驗(yàn)均可，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得，不合題意；故選：B.2.若方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1)【答案】D【解析】因?yàn)榉匠?，即表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．3.已知，為正整數(shù)，且直線與直線互相平行，則的最小值為（）A.7 B.9 C.11 D.16【答案】B【解析】由題意，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足是正整數(shù)）時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是9．故選：B．4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9+3a11＜0，a10?a11＜0，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n＝（）A.20 B.17 C.19 D.21【答案】C【解析】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9+3a110，設(shè)公差為d，則有4a1+38d0，即2a1+19d0，故有（a1+9d）+（a1+10d）＝a10+a110，且a1﹣9.5d.再由前n項(xiàng)和Sn有最大值，可得數(shù)列為遞減數(shù)列，公差d0.結(jié)合a10?a110，可得a10＝a1+9d0，a11＝a1+10d0，故﹣9da1﹣10d.綜上可得﹣9da1﹣9.5d.令Sn0，且Sn+10，可得，且（n+1）a10.化簡(jiǎn)可得a1d0，且a1d0.即，且n.再由﹣9da1﹣9.5d，可得，∴19n19，∴n＝19，故選：C5.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，則，得，即，故點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓心為?半徑為的圓，又點(diǎn)在圓上，兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)有2個(gè).故選：B.6.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是A B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為．因?yàn)樗渣c(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓．與因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部，所以，所以，所以，所以，故選C．7.已知圓的方程為，直線為圓的切線，記兩點(diǎn)到直線的距離分別為，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，分別過點(diǎn)做直線的垂線，垂足分別為，則，，切點(diǎn)為因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，,所以是梯形的中位線，所以，又因?yàn)閳A的方程為，，所以，所以，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，所以，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.8.已知，是圓上兩點(diǎn)，且，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知:圓的圓心為，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，則，且，可得，又因?yàn)?，可知為等腰直角三角形，則，可得，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)使得，即直線與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離，解得或.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的斜率為B.經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程均可用表示C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)有，則，，，四點(diǎn)共面D.當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為1【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因是直線的一個(gè)方向向量，故該直線的斜率為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程為，即；若，，則直線方程為，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，故可以用表示；若，，則直線方程為，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，故可以用表示，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，即，所以四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，將直線方程變形為，由得，直線過定點(diǎn)，斜率為.當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大.因?yàn)楣?，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于，不同的兩點(diǎn)，分別作圓在點(diǎn)，處的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的面積為C.當(dāng)時(shí)，的外接圓半徑為D.當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】依題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離為，則，對(duì)于選項(xiàng)A，由，，則當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，解得，則，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，即直線的方程為，則，則，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)，由，，所以，，，四點(diǎn)共圓，且以為直徑，則該圓的方程為，即，聯(lián)立，整理得直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，則，解得，即點(diǎn)的軌跡方程為，又當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，即的外接圓半徑為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，結(jié)合選項(xiàng)C有，則當(dāng)時(shí)，有，又，則，所以，所以，又，即，得，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)為，，為橢圓上異于，的一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（）A.存在點(diǎn)，使B.的最大值為4C.的最小值為D.當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的內(nèi)心的軌跡方程為【答案】BCD【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，由橢圓，可知，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，（?dāng)時(shí)等號(hào)成立），故B正確；依題意點(diǎn)，所以，將代入可得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確；設(shè)的內(nèi)心，點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓分別與,，相切于點(diǎn)(如圖所示)，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)橥?hào)，所以.由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，，，所以，所以，即，將代入可得：又因?yàn)?，所以，因?yàn)橥?hào)，所以.將與代入可得，又因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為______．【答案】或【解析】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入得，，解得，故直線的方程為，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入得，，解得，故直線的方程為，故直線的方程為或.故答案為：或.13.已知函數(shù)，給出三個(gè)條件：①；②；③.從中選出一個(gè)能使數(shù)列成等比數(shù)列的條件，在這個(gè)條件下，數(shù)列的前n項(xiàng)和_________.【答案】或【解析】因函數(shù)，條件①，，則有，而不是常數(shù)，即數(shù)列不是等比數(shù)列；條件③，，則有，而不是常數(shù)，即數(shù)列不是等比數(shù)列；條件②，，則有，是常數(shù)，即數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比2，所以.故答案為：.14.過橢圓的中心的直線分別交橢圓于、兩點(diǎn)，的垂直平分線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于，于，則四邊形的面積的取值范圍為______【答案】．【解析】由已知，（1）若直線斜率不存在，如圖1，，，，，，所以，（2）若直線的斜率為0，如圖2，，，，所以，（3）若直線的斜率存在且不為0，如圖3，由已知是的垂直一部分線，則，分別是邊上的高，則，，所以，，設(shè)直線的方程為，，由，得，，取，即，直線的方程為，同理可得，，，，直角中，，，，因?yàn)?，所以，，，即，所以，綜上，，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）已知直線的傾斜角為，另一直線的傾斜角，且過點(diǎn)，求的方程；（2）已知直線過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程.解：（1）直線的傾斜角，則，于是得直線的斜率，而直線過點(diǎn)，則，整理得，所以直線的方程是：.（2）依題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為：，則直線交x軸于，交y軸于，于是得面積，即或，方程，即，無解，解，即，得或，當(dāng)時(shí)，直線方程是：.當(dāng)時(shí)，直線方程是：，所以直線的方程是：或.16.設(shè)圓滿足：①截軸所得弦長為2；②被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為，假設(shè)圓心為，其坐標(biāo)．（1）請(qǐng)求出之間滿足的等量關(guān)系；（2）在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．解：（1）設(shè)圓的圓心為，半徑為，則點(diǎn)到軸，軸的距離分別為，．圓截軸所得劣弧對(duì)的圓心角為，即圓截軸所得的弦長為，故，又圓截軸所得的弦長為2，所以有．從而得．（2）點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)，從而取得最小值．由此有，解得或由于知．所求圓的方程是或．17.已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．（1）解：依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）證明：因?yàn)闄E圓方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.18.已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）在（2）的條件下，記，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求整數(shù)m的最大值．解：（1）∵數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，n∈N*．∴①當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝T1＝1；②當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2；∴bn＝3n﹣2，n∈N*．（2）由（1）可得：；∴Sn＝c1+c2+…+cn，.（3）由（2）可知：n；∴；設(shè)f（n）；則f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（）0.所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值為f（1）；∵對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，∴恒成立，即m＜12；故整數(shù)m的最大值為11．19.已知曲線上任意一點(diǎn)滿足.（1）求曲線的方程；（2）曲線上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)P，E，F(xiàn)滿足PE與PF的傾斜角互補(bǔ)，且P不與曲線的頂點(diǎn)重合，過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，記線段EF的中點(diǎn)為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：Q，H，O三點(diǎn)共線.（1