2025年積分能力測(cè)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且∫??f(x)dx=0，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.f(x)在[a,b]上恒為0B.存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0C.f(x)在[a,b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)D.f(x)在[a,b]上的最大值與最小值異號(hào)2.設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則∫f(2x+1)dx=（）A.F(2x+1)+CB.2F(2x+1)+CC.(1/2)F(2x+1)+CD.F(x)+C3.反常積分∫?^+∞(lnx)/x?dx收斂的充要條件是（）A.p>1B.p>2C.p≥1D.p≥24.設(shè)f(x)為連續(xù)奇函數(shù)，且∫???f(x)dx=0，則∫??f(x)dx=（）A.∫???f(x)dxB.-∫???f(x)dxC.2∫???f(x)dxD.05.曲線y=sinx與y=cosx在區(qū)間[0,π/2]內(nèi)圍成的圖形面積為（）A.√2-1B.2(√2-1)C.√2+1D.2(√2+1)二、填空題（每題4分，共20分）6.∫(x3+2x)/(x2+1)dx=__________。7.設(shè)F(x)=∫??2t√(1+t3)dt，則F’(x)=__________。8.∫?π^πx?sinxdx=__________。9.反常積分∫?1lnxdx=__________。10.由曲線y=√x，直線x=1，x=4及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為_(kāi)_________。三、計(jì)算題（每題8分，共40分）11.計(jì)算不定積分∫x2e^(-x)dx。12.計(jì)算定積分∫?^π/2sin3xcos2xdx。13.計(jì)算∫(x+3)/(x2-2x-3)dx。14.計(jì)算反常積分∫?^+∞e^(-√x)dx。15.求∫?2|x2-1|dx。四、應(yīng)用題（每題9分，共27分）16.某湖泊的污染物濃度隨深度x（單位：米）的變化規(guī)律為c(x)=0.5e^(-0.2x)+0.1x，求深度0到5米范圍內(nèi)污染物的平均濃度（提示：平均濃度=總污染物量/深度范圍）。17.一彈簧原長(zhǎng)1米，當(dāng)拉伸至長(zhǎng)度為1+x米時(shí)，拉力為F(x)=20x（單位：牛），求將彈簧從1.2米拉伸至1.5米時(shí)外力所做的功。18.求由曲線y=x2和y=2-x2圍成的平面圖形的質(zhì)心坐標(biāo)（密度均勻）。答案與解析一、單項(xiàng)選擇題1.C。由積分中值定理，存在ξ∈[a,b]使得∫??f(x)dx=f(ξ)(b-a)=0，故f(ξ)=0。但f(x)不一定恒為0（如f(x)=x在[-1,1]），A錯(cuò)；ξ可能在端點(diǎn)，B錯(cuò)；D不一定成立（如f(x)=x在[-2,2]，積分0，但最大值2和最小值-2異號(hào)；若f(x)=x3在[-1,1]，積分0，最大值1和最小值-1異號(hào)，但f(x)=sinx在[0,2π]積分0，最大值1和最小值-1異號(hào)，但若構(gòu)造f(x)=x-1在[0,2]，積分∫?2(x-1)dx=0，最大值1（x=2），最小值-1（x=0），仍異號(hào)，但嚴(yán)格來(lái)說(shuō)D不是“一定”成立，而C是“至少有一個(gè)零點(diǎn)”，正確。2.C。令u=2x+1，則du=2dx，dx=du/2，故∫f(u)·(du/2)=(1/2)F(u)+C=(1/2)F(2x+1)+C。3.B。當(dāng)x→+∞時(shí)，lnx增長(zhǎng)慢于x^ε（ε>0），故(lnx)/x?~1/x^(p-ε)，要使積分收斂，需p-ε>1，即p>2（取ε=1時(shí)，p-1>1→p>2）。4.B。因f(x)為奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)，故∫???f(x)dx=∫??f(-t)(-dt)=∫??f(t)dt，即∫??f(x)dx=-∫???f(x)dx。5.B。交點(diǎn)在x=π/4，面積=∫?^π/4(cosx-sinx)dx+∫π/4^π/2(sinx-cosx)dx=[sinx+cosx]?^π/4+[-cosx-sinx]π/4^π/2=(√2/2+√2/20-1)+(-0-1+√2/2+√2/2)=2(√2-1)。二、填空題6.(1/2)x2+(1/2)ln(x2+1)+C。分子拆分：x3+2x=x(x2+1)+x，故∫[x+x/(x2+1)]dx=∫xdx+(1/2)∫d(x2+1)/(x2+1)=(1/2)x2+(1/2)ln(x2+1)+C。7.2x·x2√(1+x?)=2x3√(1+x?)。由變上限積分求導(dǎo)公式，F(xiàn)’(x)=x2√(1+(x2)3)·(x2)’=x2√(1+x?)·2x=2x3√(1+x?)。8.0。被積函數(shù)x?sinx為奇函數(shù)（x?偶，sinx奇，乘積奇），在對(duì)稱區(qū)間[-π,π]上積分為0。9.-1。∫?1lnxdx=lim?→0?[xlnxx]?1=lim?→0?(01(alnaa))=-1（因alna→0）。10.(15π)/2。體積=π∫??(√x)2dx=π∫??xdx=π·(1/2)x2|??=π·(16/21/2)=15π/2。三、計(jì)算題11.分部積分：令u=x2，dv=e^(-x)dx，則du=2xdx，v=-e^(-x)?！襵2e^(-x)dx=-x2e^(-x)+2∫xe^(-x)dx。對(duì)∫xe^(-x)dx再分部：u=x，dv=e^(-x)dx，du=dx，v=-e^(-x)，得-xe^(-x)+∫e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)+C。故原式=-x2e^(-x)+2(-xe^(-x)-e^(-x))+C=-e^(-x)(x2+2x+2)+C。12.利用三角恒等式sin3x=sinx(1-cos2x)，令t=cosx，dt=-sinxdx，當(dāng)x=0時(shí)t=1，x=π/2時(shí)t=0。積分=∫??(1-t2)t2(-dt)=∫?1(t2-t?)dt=(t3/3t?/5)|?1=1/31/5=2/15。13.分解部分分式：分母x2-2x-3=(x-3)(x+1)，設(shè)(x+3)/[(x-3)(x+1)]=A/(x-3)+B/(x+1)，解得A=(3+3)/(3+1)=6/4=3/2，B=(-1+3)/(-1-3)=2/(-4)=-1/2。故積分=(3/2)∫dx/(x-3)(1/2)∫dx/(x+1)=(3/2)ln|x-3|(1/2)ln|x+1|+C。14.令t=√x，x=t2，dx=2tdt，當(dāng)x→0時(shí)t→0，x→+∞時(shí)t→+∞。積分=∫?^+∞e^(-t)·2tdt=2∫?^+∞te^(-t)dt=2Γ(2)=2×1!=2（Γ函數(shù)性質(zhì)）。15.分段計(jì)算：x2-1=0時(shí)x=1，故∫?2|x2-1|dx=∫?1(1-x2)dx+∫?2(x2-1)dx=[xx3/3]?1+[x3/3x]?2=(11/3)+[(8/32)-(1/31)]=2/3+[(2/3)-(-2/3)]=2/3+4/3=2。四、應(yīng)用題16.總污染物量=∫??[0.5e^(-0.2x)+0.1x]dx=0.5∫??e^(-0.2x)dx+0.1∫??xdx=0.5×(-5)(e^(-1)-1)+0.1×(25/2)=2.5(1e^(-1))+1.25≈2.5×(1-0.3679)+1.25≈2.5×0.6321+1.25≈1.5803+1.25=2.8303。平均濃度=2.8303/5≈0.566（單位：濃度·米/米=濃度）。17.功W=∫?.?^0.5F(x)dx=∫?.?^0.520xdx=10x2|?.?^0.5=10×(0.250.04)=10×0.21=2.1（焦耳）。18.聯(lián)立y=x2和y=2-x2，解得x=±1，y=1。圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，故質(zhì)心橫坐標(biāo)x?=0。面積A=∫??1(2-