高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2026屆高三上學(xué)期部分學(xué)生調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，故選：D．2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】令，解得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知向量的夾角為，，則＝（）A.4 B. C.6 D.【答案】C【解析】由，得，而向量的夾角為，，則，所以.故選：C.4.設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，則＝（）A.－63 B.－31 C.31 D.63【答案】D【解析】因為，所以，所以，，其中,而，結(jié)合可得，此時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以.故選：D.5.已知，則＝（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】因為，所以，即，，.故選：B.6.已知函數(shù)的定義域為R，是奇函數(shù)，，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為是奇函數(shù)，且，在中，令，可得，所以，所以，，故B錯誤，D正確.在中，令，可得，因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，，所以A錯誤，C錯誤.故選：D.7.已知雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為，過原點O的直線與E的左、右兩支分別交于A，B兩點，點C在E上，，若以AB為直徑的圓過點，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，，，由以AB為直徑的圓恰好過左焦點可得，由雙曲線的對稱性得四邊形為矩形，可設(shè)，則，在直角三角形中，可得，即為，解得，又在直角三角形中，，即為，即為，即有，故選：C．8.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，各頂點都在以O(shè)為球心，半徑為的球面上，并且A，B，C，D在同一平面內(nèi)，點Q為此八面體表面上的動點，且，則點Q的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】考慮點在側(cè)面上運動時點的軌跡長度，如下圖所示：易知，且是邊長為的等邊三角形，則三棱錐是正三棱錐，則點在底面內(nèi)的射影點為的中心，取為的中點，連接、，則，因為，，故，則，所以，為等腰直角三角形，且，，因為為等邊的中心，則，所以，，因為平面，平面，所以，則，所以，點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓在內(nèi)的圓弧，如圖，設(shè)圓與交于兩點，由于在中，則，所以，則，所以圓在內(nèi)的一段弧的長為，則點Q的軌跡長度為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，圓O：，則（）A.，直線l均與圓O有兩個公共點B.，使直線l是圓O的一條對稱軸C.直線l被圓O截得的弦長可能為2D.圓O上至少存在三個點到直線l的距離為1【答案】AD【解析】對于A分析，直線恒過定點，定點到圓心O的距離為，即定點在圓內(nèi)，所以無論a取何值，直線都與圓O相交，即有兩個公共點，故A正確；對于B，若直線是圓O的對稱軸，則直線必須過圓心，也即直線方程滿足，即直線不過圓心，因此，不存在這樣的a，使直線l是圓O的一條對稱軸，故B錯誤；對于C，設(shè)圓心O到直線的距離為d，，直線被圓截得的弦長公式為，若弦長，則，解得，所以，推得，顯然無實數(shù)解，因此直線被圓O截得的弦長不可能為2，故C錯誤；對于D，圓O的半徑，若圓上至少存在三個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離對于d需滿足：，也即，當(dāng)時，圓上恰好存在三個點到直線的距離為1，如圖所示，又，滿足，故圓上到直線距離為1的點至少有三個，故D正確．故選：AD．10.在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列說法中正確的有（）A.若點O為△ABC的重心，則B.若點O為△ABC的外心，則C.若點O為△ABC的垂心，則D.若點O為△ABC的內(nèi)心，且，則【答案】ACD【解析】A選項，如圖1，設(shè)BC中點為D，則，由于點O為△ABC的重心，則，所以，A選項正確；B選項，如圖2，設(shè)AB中點為E，由于點O為△ABC的外心,則垂直，，B選項錯誤；C選項，如圖3，作，垂足為，則在上，在△ABC中由余弦定理可得，在直角△ACF中，，所以，C選項正確；D選項，如圖4，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為，由可得，則，，由，且為三角形內(nèi)角，可得，，則，延長交于點，則即，則，則，由于B、C、G三點共線，則，，D選項正確；故選：ACD.11.用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，用表示不小于x的最小整數(shù)．用表示實數(shù)a，b中最小者，如：．記函數(shù)則（）A.函數(shù)的值域為B.C.函數(shù)圖象的對稱軸方程為D.若集合，則A中有12個元素【答案】ABD【解析】由題可知，當(dāng)時，，.解得；解，得.所以.簡圖如下：當(dāng)時，.因為函數(shù)是周期為1的函數(shù)，所以函數(shù)的值域和函數(shù)的值域相同，所以函數(shù)的值域為.所以選項A正確；因為，所以；因為，所以.所以選項B正確；因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于，即對稱.所以選項C錯誤；因為函數(shù)是周期為1的函數(shù)，所以由，得，或即，或.由函數(shù)的周期性及對稱性分析可知，有12個不同的取值，分別如下：當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.所以集合所以集合A中有12個元素，所以選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．12.寫出過坐標(biāo)原點且與曲線相切的一條直線方程______________．【答案】y＝2ex（或y＝－2ex）【解析】當(dāng)時，，，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，解得，所以此時切點坐標(biāo)為，切線方程為，即.因為為偶函數(shù)，所以它的圖象關(guān)于軸對稱，則它的過原點的切線也關(guān)于軸對稱，所以它的另一條切線方程為.故答案為：（或）.13.設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為______________．【答案】【解析】由題意可得，則有，解得，則的最小值為.故答案為：.14.在斜邊為AC的中，的平分線交于點，且，平面于點，點，，當(dāng)四面體體積最大時，直線與所成角的正弦值為______________．【答案】【解析】在中，平分，根據(jù)三角形的角平分線定理可得.設(shè)，則，由勾股定理.以為原點，所在平面為平面，平面所在平面為平面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：則，，，，可設(shè)（）.所以，，因為，所以.所以（）.又，所以當(dāng)或時，三棱錐體積最大.根據(jù)對稱性取，此時，.設(shè)直線與所成的角為，則，所以.即直線與所成角的正弦值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．（1）求A；（2）求△ABC面積的最大值．解：（1）由余弦定理得，所以，因為△ABC為銳角三角形，所以，所以，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，由正弦定理得，所以，，所以，因為，所以．（2）由（1）知，則，由正弦定理得，所以，所以△ABC的面積為，由，得，從而得，故當(dāng)，即時，△ABC的面積取得最大值．16.已知函數(shù)．（1）若是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，證明：．（1）解：法一：因為是單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，所以恒成立，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．法二：由題意得，，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，，即，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時，，使得在時，，即，所以在定義域上單調(diào)遞減不成立．所以．（2）證明：法一：令，所以，因為，所以，令，則，因為，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．法二：因為，所以，欲證，所以只需證，所以只需證，令，則，令，則，因為，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，令，則的最小值為，所以，即．17.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，E，O分別是BC，的中點，平面與平面的交線為l，連接EO并延長交l于點P，，．（1）證明：，，P三點共線；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：在直四棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面＝l，則，，即，又，則，，四邊形是平行四邊形，于是且，取AD中點為Q，連接、EQ，由且，且，得且，則四邊形是平行四邊形，且，又且，因此且，即PD與共面，P平面，又Pl，l平面則P平面，又平面平面，即P，所以三點共線.（2）解：由（1）知，四邊形是平行四邊形，則，，在中，，由余弦定理得，則，故，，又平面，以D為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則點P到平面的距離為，由，得邊上的高，因此的面積，所以三棱錐的體積.18.已知M，N是橢圓上的兩個動點，M在x軸上方，N在x軸下方，直線與x軸、y軸分別交于S，T兩點．（1）若直線與斜率之積為，證明：為定值；（2）點關(guān)于x軸的對稱點為H，設(shè)的面積分別為，且．①求直線的斜率；②是否存在直線，使？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．（1）證明：設(shè)，由題意得，所以，又M，N在橢圓上，所以，，得，代入得，所以.（2）解：①因為，得，即．所以AM與AN關(guān)于直線x＝1對稱，所以，整理得，由題意得直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為，與橢圓聯(lián)立得，所以，，，代入得，整理得，解得或（MN不過點A，舍去），得直線的斜率為．②由①知直線MN的方程為，聯(lián)立與橢圓得，，，且應(yīng)滿足，，得，過M，N兩點分別向x軸作垂線，垂足分別為，則，得，解得（舍）或，所以存在直線MN，其方程為或．19.（1）已知數(shù)列，，，求最小的正整數(shù)，使得；（2）證明：；（3）已知函數(shù)