高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市四區(qū)聯(lián)考2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)傾斜角為，直線的斜率為，所以，∴，故選．2.已知向量，分別是直線，方向向量，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】因為，所以，可得，解得，則，故D正確.故選：D.3.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由題意得，則，設(shè)，因為的面積為，所以，解得，即.可得，解得，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，故B正確.故選：B.4.若，，，四點(diǎn)共面，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】因為，，，，所以，，，若四點(diǎn)共面，則，可得，解得，故選項A正確.故選：A.5.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，則，解得，．由軸對稱的性質(zhì)得新圓的半徑為，對稱的圓的方程為，故A正確.故選：A.6.若點(diǎn)在圓外，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為方程表示圓，所以，解得，因為點(diǎn)在圓外，所以，解得，則，故C正確.故選：C.7.正四棱錐中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以底面中心為原點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，易知兩兩垂直，以方向為建立空間坐標(biāo)系，如下圖：，，由，正方形對角線長度為2，可得，為中點(diǎn)，則，，，，，點(diǎn)到直線的距離.故選：C.8.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與相交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，作出符合題意圖形，找到橢圓的右焦點(diǎn)，連接，由橢圓的對稱性可得四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形是矩形，可得，因為，所以，則是等邊三角形，由矩形性質(zhì)得，由等邊三角形性質(zhì)得，，結(jié)合題意可得，由橢圓的定義得，可得，化簡得，故A正確.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則（）A.過定點(diǎn)B.當(dāng)時，與直線垂直C.當(dāng)時，與直線平行D.當(dāng)時，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】ABC【解析】對于A，令，解得，則過定點(diǎn)，故A正確，對于B，當(dāng)時，得到，可得，得到與直線垂直，故B正確，對于C，當(dāng)時，得到，而，，則與直線平行，故C正確，對于D，當(dāng)時，得到，令，解得，令，解得，可得在兩坐標(biāo)軸上截距不相等，故D錯誤.故選：ABC.10.在正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.，，，四點(diǎn)共面C.在線段上存在一點(diǎn)，使得平面D.在線段上存在一點(diǎn)，使得在上的投影向量為【答案】ABD【解析】如圖，作出符合題意的圖形，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，連接，由題意得所求結(jié)論與正方體邊長無關(guān)，不妨設(shè)正方體邊長為，則，，，，，，，，，，，對于A，由題意得，，則，因為平面，平面，所以平面，故A正確，對于B，設(shè)，則，所以，解得，故，即，，，四點(diǎn)共面，故B正確；對于C，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意，設(shè)（），則，若平面，則，,因為，，所以，此方程組無解，所以在線段上不存在點(diǎn)，使得平面，故C錯誤；對于D，由投影向量公式得在上的投影向量為，若在上的投影向量為，則，令，可得，，由模長公式得，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得，滿足，故D正確.故選：ABD.11.已知，，，動點(diǎn)滿足、是直線上一點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作的兩條切線、切點(diǎn)分別為，，則（）A.的方程為 B.的最小值為C.的最小值為2 D.直線恒過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】對于A選項，已知，即，整理得，A選項正確；對于B選項，在直線上，圓心到直線距離，圓的半徑為2，所以的最小值為，即B選項正確；對于C選項，設(shè)，切點(diǎn)弦的方程：.圓心到的距離：，弦長：，，，令，則，，，最小值為，C選項錯誤；對于D選項，直線即，對任意成立?過定點(diǎn)滿足：，解得定點(diǎn)，D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.圓與圓的公切線的條數(shù)為_____.【答案】2【解析】對于圓，可得圓心為，半徑為，對于圓，可得圓心為，半徑為，由兩點(diǎn)間距離公式得圓心之間的距離為，而，則兩圓相交，可得兩圓的公切線條數(shù)為2.故答案為：2.13.已知，，直線，相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的商是2，則點(diǎn)的軌跡方程是_____.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則，整理得，顯然.所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.14.已知平面四邊形，，，，，沿直線將翻折成，則直線與直線所成角的余弦值最大為_____.【答案】或0.5【解析】平面四邊形，，，則，過作于，取中點(diǎn)，連接，則，，過作平面的垂線，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角的大小為，在翻折過程中始終垂直于，則，，設(shè)直線與直線所成角為，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以直線與直線所成角的余弦值的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知，.（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）若圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）因為，，所以的中點(diǎn)為，直線的斜率，所以線段的垂直平分線的斜率為，即的直線方程為，化簡得.（2）由垂徑定理得，圓心在的中垂線上，聯(lián)立，解得，，即圓心為，所以圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.如圖，四棱柱的底面是矩形，，，，為棱的中點(diǎn).（1）求的長；（2）求直線與直線所成角的余弦值.解：（1）設(shè)，則，，所以，所以．（2），，，設(shè)直線與所成角為，則，所以直線與所成角的余弦值為．17.如圖，三棱柱的側(cè)面為菱形，平面平面，，.（1）證明：；（2）點(diǎn)到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，不妨設(shè)，因為四邊形為菱形，所以，則，得到三角形是等邊三角形，，面，因為平面平面，所以平面，而，可得，作，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意得，，，，則，，，因為，所以，可得，解得，而，得到，化簡得，解得（負(fù)根舍去），故，而，得到，故.（2）解：設(shè)，可得，，，，同理可求，則，，，設(shè)平面的法向量，可得，令，解得，，得到，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由點(diǎn)到平面的距離公式得，因為點(diǎn)到平面的距離為，所以，解得，此時，，，，可得，，設(shè)面的法向量為，可得，令，解得，，得到，設(shè)直線與平面所成角為，可得.18.如圖，橢圓的長軸長為4，離心率為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）矩形的頂點(diǎn)，在軸上，，在上，與的另一個交點(diǎn)為，與的另一個交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，與的另一個交點(diǎn)為.設(shè)直線，的斜率分別為，.（i）求的值；（ii）求直線的斜率的最小值.解：（1）因為橢圓的長軸長為4，離心率為，所以，，解得，，，可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）如圖，由對稱性設(shè)，，，，則，得，故，，則，可得為定值；（ii）由，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，所以，可得，又，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，所以，可得，所以，由圖知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.所以直線的斜率k的最小值為．19.用一個平面截圓錐，若圓錐的軸與該平面所成角大于圓錐軸截面的半頂角時，所得截口曲線是橢圓.在直角三角形中，，，，點(diǎn)在線段上，為的平分線，直線與平面垂直，垂足為.點(diǎn)，，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）說明：曲線為橢圓；（2）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求曲線的方程；（3）當(dāng)四面體體積最大時，求平面與平面夾角的大小.解：（1）曲線W是橢圓的幾何理由：可將“的點(diǎn)”視作以為頂點(diǎn)、為軸為母線的圓錐面上的點(diǎn)，圓錐軸截面的半頂角為，點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為此圓錐面與平面的交線.因為已知直線與平面垂直，垂足為，，所以，因為在直角三角形中，，，點(diǎn)在線段上，為的平分線，所以與平面所成的角為，，若圓錐的軸與平面所成角（）大于圓錐軸截面的半頂角（），按圓錐曲線的判定規(guī)律可知該截線必為橢圓.（2）可取空間直角坐標(biāo)系：令為原點(diǎn)，令平面為平面，由于平面，可令過點(diǎn)平行于的直線為軸，又知中，，，因為點(diǎn)在上且平分，由角分線定理得，則，.設(shè)平面內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)為.向量，.由可用向量夾角公式，所以，化簡可得，所以曲線的方程為；（3）四面體的底面可取三角形(其平面即)，面積為.若在上一步所求橢圓上，則其到平面的距離即.四面體體積，要使最大，需在橢圓上使取最大值.下面用兩種方法計算求解.法一：