河南省唐河縣友蘭實驗高中2026屆高二上數學期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.2．用1，2，3，4這4個數字可寫出（）個沒有重復數字的三位數A.24 B.12C.81 D.643．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.4．把點隨機投入長為，寬為的矩形內，則點與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.5．某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m6．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點．若，則橢圓的離心率是A. B.C. D.7．平面與平面平行的充分條件可以是（）A.平面內有一條直線與平面平行B.平面內有兩條直線分別與平面平行C.平面內有無數條直線分別與平面平行D平面內有兩條相交直線分別與平面平行8．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點M是雙曲線右支上一點，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產.第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.11．已知：，：，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.12．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標原點，則以下說法正確的是（）A.過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B.橢圓上存在點，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為314．若，且數列是嚴格遞增數列或嚴格遞減數列，則實數a取值范圍是______15．如圖，棱長為2的正方體中，E，F分別為棱、的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為___________.16．不透明袋中裝有完全相同，標號分別為1，2，3，…，8的八張卡片．從中隨機取出3張．設X為這3張卡片的標號相鄰的組數（例如：若取出卡片的標號為3，4，5，則有兩組相鄰的標號3、4和4、5，此時X的值是2）．則隨機變量X的數學期望______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數列中，，前10項和（1）求列通項公式；（2）若數列是首項為1，公比為2的等比數列，求的前8項和18．（12分）已知拋物線的焦點為，點為坐標原點，直線過定點（其中，）與拋物線相交于兩點（點位于第一象限.（1）當時，求證：；（2）如圖，連接并延長交拋物線于兩點，，設和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.19．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍20．（12分）已知拋物線C：，過點且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點.（1）設點B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為.若，求點B的坐標；（2）過拋物線C的焦點F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點，求的值.21．（12分）某書店剛剛上市了《中國古代數學史》，銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷，每種單價（元）試銷l天，得到如表單價（元）與銷量（冊）數據：單價（元）1819202122銷量（冊）6156504845（l）根據表中數據，請建立關于的回歸直線方程：（2）預計今后的銷售中，銷量（冊）與單價（元）服從（l）中的回歸方程，已知每冊書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤，該冊書的單價應定為多少元？附：，，，.22．（10分）已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：B2、A【解析】由題意，從4個數中選出3個數出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個數中選出3個數出來全排列，共可寫出個三位數.故選：A3、D【解析】根據不等式的性質即可判斷.【詳解】對于A，若，則不等式不成立；對于B，若，則不等式不成立；對于C，若均為負值，則不等式不成立；對于D，不等號的兩邊同乘負值，不等號的方向改變，故正確；故選：D【點睛】本題主要考查不等式的性質，需熟練掌握性質，屬于基礎題.4、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點構成的區(qū)域，由幾何概型面積型的公式計算可得結果.【詳解】若點與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區(qū)域內，所求概率.故選：A.5、A【解析】根據題意先建立恰當的坐標系，可設出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上設拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.6、D【解析】由于BF⊥x軸，故，設，由得，選D.考點：橢圓的簡單性質7、D【解析】根據平面與平面平行的判定定理可判斷.【詳解】對A，若平面內有一條直線與平面平行，則平面與平面可能平行或相交，故A錯誤；對B，若平面內有兩條直線分別與平面平行，若這兩條直線平行，則平面與平面可能平行或相交，故B錯誤；對C，若平面內有無數條直線分別與平面平行，若這無數條直線互相平行，則平面與平面可能平行或相交，故C錯誤；對D，若平面內有兩條相交直線分別與平面平行，則根據平面與平面平行的判定定理可得平面與平面平行，故D正確.故選：D.8、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因為，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因為，所以可設，，則，解得，所以，由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率故選：A9、B【解析】直線傾斜角的范圍是[0°,180°)，直線斜率為傾斜角(不為90°)的正切值，據此即可判斷求解.【詳解】直線的斜率不大于0，則直線l斜率可能等于零，此時直線傾斜角為0°，不為鈍角，故“直線的斜率不大于0”不是“直線的傾斜角為鈍角”充分條件；直線的傾斜角為鈍角時，直線的斜率為負，滿足直線的斜率不大于0，即“直線的傾斜角為鈍角”是“直線的斜率不大于0”的充分條件，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要條件；綜上，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.10、D【解析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數列是以2為首項，2為公差的等差數列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數列在實際問題中的應用，注意根據題設條件概括出數列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.11、C【解析】由是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件，再根據對應集合的包含關系可得答案.【詳解】由，即，設,由是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件所以，則故選：C12、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、ABD【解析】結合橢圓定義判斷A選項的正確性，結合向量數量積的坐標運算判斷B選項的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項的正確性，結合兩點間距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】對于選項：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項正確；對于選項：設，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項正確；對于選項：因為，，所以，即，所以離心率，所以選項錯誤；對于選項：設，，則點到圓的圓心的距離為，因為，所以，所以選項正確，故選：ABD14、【解析】根據數列遞增和遞減的定義求出實數a的取值范圍.【詳解】因為數列是嚴格遞增數列或嚴格遞減數列，所以.若數列是嚴格遞增數列，則，即，即恒成立，故；若數列是嚴格遞減數列，則，即，即恒成立，由，故；綜上，實數a的取值范圍是故答案為：15、【解析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設，球心，得到外接球半徑關于的函數關系，求出的最小值，即可得到答案；【詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設，球心，，又.聯立以上兩式，得，所以時，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.16、##【解析】設為這3張卡片的標號相鄰的組數，則的可能取值為0，1，2，利用列舉法分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的數學期望【詳解】解：不透明袋中裝有完全相同，標號分別為1，2，3，，8的八張卡片從中隨機取出3張，共有種，設為這3張卡片的標號相鄰的組數，則的可能取值為0，1，2，的情況有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6個，，的情況有：取，另外一個數有5種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有5種取法的情況一共有：，，，隨機變量的數學期望：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）347.【解析】（1）設等差數列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項和為18、（1）證明見解析；（2）是定值，定值為.【解析】（1）設直線方程為，聯立直線與拋物線的方程得到韋達定理，再利用韋達定理求出，即得證；（2）設直線方程為，聯立直線與拋物線的方程得到韋達定理，再求出，，即得解.【詳解】（1）設直線方程為，聯立直線與拋物線的方程，消去，得，所以.所以即.（2）設直線方程為，聯立直線與拋物線的方程，消去，得，故.設的方程為，聯立直線與拋物線的方程，消去得，從而，則，同理可得，，即定值.19、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點在雙曲線上及得到關于、、的方程組，進而求出雙曲線的標準方程；（2）聯立直線和雙曲線的方程，得到關于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關系、根與系數的關系得到兩個交點坐標間的關系，利用A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數量積為0得到、的關系，進而消去得到的不等式進行求解.【小問1詳解】解：因為過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為，所以點在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】解：聯立，得，因為直線與該雙曲線C交于不同的兩點，所以且，即且，設，，的中點，則，，因為A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，所以，即，因為，，所以，即，將代入，得，解得或，即m的取值范圍為或.20、（1）（2）【解析】（1）直線的方程為，其中，聯立直線與拋物線方程，由韋達定理結合已知條件可求得點的坐標；（2）直線的方程為，利用傾斜角定義知，，聯立直線與拋物線方程，利用弦長公式求得，進而得解.小問1詳解】由題意，直線的方程為，其中.設，聯立，消去得..，，即.，即.，，∴點的坐標為.【小問2詳解】由題意，直線的方程為，其中，為傾斜角，則，設.聯立，消去得...21、(1)(2)當單價應定為22.5元時，可獲得最大利潤【解析】（l）先計算的平均值，再代入公式計算得到（2）計算利潤為：計算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對的回歸直線方程為：（2）設獲得的利潤為，，因為二次函數的開口向下，所以當時，取最大值，所以當單價應定為22.5元時，可獲得最大利潤【點睛】本題考查了回歸方程，函數的最值，意在考查學生的計算能力.22、（1）（2）【解析】設出，由直線的斜率為求得，結合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點軸時，不合題意；當直線斜率存在時，設直線，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設，因