河北省邢臺市質(zhì)檢聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．橢圓上一點到該橢圓的一個焦點的距離為3，則到另一個焦點的距離為（

）A．8 B．7 C．6 D．52．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．14．已知是拋物線的焦點，是上的一動點，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．85．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點在上，且，的面積為18，則（

）A．9 B．18 C． D．6．已知過點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點，且為線段的中點，則（

）A．2 B． C．4 D．7．已知，分別是橢圓的左、右頂點，點滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，平面，為垂足，為棱的中點，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．若是空間直角坐標系中的一點，則（

）A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標為B．點關(guān)于軸對稱的點的坐標為C．點到平面的距離為3D．點到軸的距離為10．已知，曲線，則下列判斷正確的是（

）A．可能表示圓B．可能表示焦點在軸上的雙曲線C．若表示雙曲線，則D．若表示焦點在軸上的橢圓，則的焦距的取值范圍為11．如圖，在等腰梯形中.為線段上的一點.以，為頂點的雙曲線經(jīng)過點，且，則的離心率可能為（

）A． B． C．2 D．三、填空題12．已知點到拋物線的準線的距離為，則.13．某理發(fā)店的鏡子如圖1所示，它的平面圖是一個離心率為的橢圓被一條橫線截去一小部分后剩下的圖形，如圖2所示.已知該鏡子的寬度為.底部的寬度為.則該鏡子的高度為.14．已知是等軸雙曲線的右焦點，關(guān)于原點對稱的點，均在上，且，則.四、解答題15．已知點，直線.(1)求過，且與平行的直線的一般式方程；(2)求過，且與垂直的直線的斜截式方程；(3)已知直線，直線經(jīng)過點，且，，三線共點，求的傾斜角.16．已知圓的半徑為.(1)求；(2)若為圓上的一個動點，，求的取值范圍；(3)若過點的直線與圓交于兩點，且，求的方程.17．已知點，動點在直線上，過且垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點，記點的軌跡為曲線.(1)求的方程.(2)已知經(jīng)過點的直線與交于，兩點.①求，縱坐標的乘積；②若的面積為，求的斜率.18．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，平面與平面的夾角的余弦值為，.

(1)證明：平面平面.(2)求三棱柱的體積.(3)求平面與平面夾角的余弦值.19．已知橢圓經(jīng)過，兩點.(1)求的方程.(2)若點，是上一動點，求的最小值.(3)若直線與交于與點不重合的，兩點，且在以為直徑的圓上，，垂足為，判斷是否存在點，使得為定值.若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.

1．B由橢圓的定義即可求解.【詳解】由橢圓方程可得，由橢圓的定義得到另一個焦點的距離為.故選：B2．D化雙曲線方程為標準方程即可求解.【詳解】由題意得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：D3．A根據(jù)兩個圓的位置關(guān)系直接判斷可得.【詳解】由題意得，圓的半徑為，圓的半徑為3，圓心.因為，所以圓與圓外離，所以圓與圓的公切線的條數(shù)為4.故選：A.4．B根據(jù)拋物線的定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離即可得．【詳解】設(shè)到的準線的距離為，則，所以的最小值為6.故選：B.5．C由題意得到，求解即可.【詳解】如圖：設(shè)的焦距為，由題意得，又，可得，得.故選：C6．A設(shè)，，由點差法即可求解.【詳解】設(shè)，，則，由：作差得，得.故選：A7．C構(gòu)造直角三角形，利用角度關(guān)系和正切函數(shù)建立聯(lián)系，進而求得離心率.【詳解】過作垂直于軸，垂足為，易得，得，則.在中，由，得，得.故選：C.8．C選擇恰當?shù)幕?，由空間向量的線性運算及數(shù)量積運算的法則求解即可.【詳解】由題可知，,.分別取的中點，連接，則.所以，.所以，因為，，所以.因為，，，所以故選：C.9．BC由空間直角坐標系點的概念逐項判斷即可.【詳解】點關(guān)于平面對稱的點的坐標為，A錯誤.點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，B正確.點到平面的距離為3，C正確.點到軸的距離為，D錯誤.故選：BC10．ACD根據(jù)圓、雙曲線、橢圓的標準方程的特點，依次判斷即可.【詳解】當時，，曲線的方程化為：，表示圓，故A正確.由，得，所以不可能表示焦點在軸上的雙曲線，故B錯誤.若表示雙曲線，因為，所以須使，得，故C正確.若表示焦點在軸上的橢圓，則，得，得，所以，，所以的焦距為，故D正確.故選：ACD.11．BCD如圖，建系，設(shè)，通過題中條件寫出的坐標，得到的坐標，求出.設(shè)，則有，代入坐標得到用表示的的坐標，將的坐標代入，得到，利用在上單調(diào)遞減，得到離心率的范圍.【詳解】如圖，以的中點為原點，建立直角坐標系，如圖所示，設(shè)，得，易得，則.設(shè)，則，得，則，將，代入的方程，得，得，則.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：BCD.12．由題知的準線為直線，再根據(jù)距離公式求解即可.【詳解】由題意得的準線為直線，所以點到拋物線的準線的距離為：，解得.所以.故答案為：13．9建立平面直角坐標系，根據(jù)已知條件求得橢圓方程，進而計算出鏡子的高度.【詳解】如圖，以橢圓的中心為原點，建立直角坐標系，設(shè)橢圓的方程為，焦距為.由，得，所以橢圓的方程為.當時，，得.由圖可知，鏡子的高度為（）.故答案為：14．設(shè)的左焦點為，得四邊形是平行四邊形，則，結(jié)合雙曲線定義可求得，在中，利用余弦定理求得，進而得到求得答案.【詳解】等軸雙曲線，則，則.設(shè)的左焦點為，根據(jù)對稱性易得四邊形是平行四邊形，則.由得或在中，，則，得.故答案為：.15．(1)(2)(3)本題主要考查直線的平行、垂直關(guān)系以及直線傾斜角的計算，解題的關(guān)鍵在于掌握直線的斜率公式、平行和垂直直線斜率的關(guān)系以及傾斜角與斜率的關(guān)系.【詳解】（1）直線的斜率為；因為所求直線與平行，所以所求直線的斜率為因為所求直線過點，所以由點斜式方程得到所求直線的一般式方程為.（2）因為所求直線與垂直，所以所求直線的斜率為因為所求直線過點，所以由點斜式方程得到所求直線的斜截式方程為.（3）聯(lián)立直線方程得到，解得，依題意，直線，，的公共交點為，設(shè)的傾斜角為則，因經(jīng)過點，所以，因為，所以.16．(1)(2)(3)或（1）將圓的一般方程化為標準方程，根據(jù)半徑的值求出；（2）先求出圓心與點的距離，再結(jié)合圓的半徑得到的取值范圍；（3）分直線斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)弦長公式求出直線方程.【詳解】（1）由，得，則，得；（2）由題意得，得，則在圓外，所以.故的取值范圍為；（3）設(shè)到的距離為.由，得.當?shù)男甭什淮嬖跁r，，符合題意；當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，即.由，得，所以的方程為.故的方程為或；17．(1)；(2)①；②.（1）根據(jù)拋物線的定義求拋物線方程即可；（2）①設(shè)，，，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達定理求，縱坐標的乘積；②利用三角形面積公式列方程求參數(shù)，即可得斜率.【詳解】（1）由題意，得到的距離等于到直線的距離，所以是以為焦點，直線為準線的拋物線，故的方程為；（2）①易得的斜率不為0，設(shè)，，，由，得，得，故，縱坐標的乘積為.②由，所以，則，故的斜率為.18．(1)證明見解析(2)(3)（1）由線面垂直的定理證明平面，由面面垂直的判定定理證得平面平面；（2）建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，三棱柱的體積轉(zhuǎn)化為，可求結(jié)果；（3）根據(jù)兩平面夾角的計算方法，可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）在正方形中，.因為，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以為坐標原點，，的方向分別為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，.設(shè)，則.因為，，且，所以，即.因為，所以.設(shè)平面的法向量為.因為，，所以，令，則.易得平面的一個法向量為.因為平面與平面的夾角的余弦值為，所以，解得，，所以.（3）解：設(shè)平面的法向量為，因為，，所以，令，得.設(shè)平面與平面的夾角為.因為平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.19．(1)(2)(3)存在點【詳解】（1）由題意得，解得.所以的方程為.（2）設(shè).由，得，則，當時，取