遼寧省阜新市重點高中2025~2026學年高三上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題1．設(shè)全集且，集合，則真子集的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．15 D．162．若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．如圖所示的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（

）

A． B．C． D．4．若，，則（

）A． B． C． D．5．已知非零向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．7．已知橢圓和圓分別為橢圓和圓上的動點，若為橢圓的左焦點，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．9 D．88．在棱長為1的正方體中，點在正方形內(nèi)，且不在棱上，又，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．四棱錐的體積不變B．總有C．點在一條定線段（不含端點）上D．記直線分別與平面和平面所成角為，則可以為二、多選題9．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．C．的最小正周期為6 D．在上至少有9個零點10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，，是的2個零點，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱B．的最小值為C．當取最小值時，的最大值為D．若在區(qū)間上至少有10個零點，則的最小值為11．已知邊長為2的菱形，且，沿對角線折起，使點不在平面內(nèi)，為的中點，在翻折過程中，則（

）A．平面平面B．當時，直線與平面所成角的余弦值為C．當二面角的大小為時，點在三棱錐的表面上運動，且，則點運動軌跡長度為D．當二面角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為三、填空題12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是．13．已知正方體的棱長為2，點在正方體的內(nèi)切球表面上運動，且滿足平面，則的最小值為．14．已知A，B是橢圓的左右頂點，是雙曲線在第一象限上的一點，直線分別交橢圓于另外的點．若直線MN過橢圓右焦點F，且，則橢圓的離心率為．四、解答題15．已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若在上的最小值是1，求的取值集合.16．已知，，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求.17．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，，點P在底面的射影點Q在線段AC上.(1)過A作，H為垂足，證明：面PCD；(2)若，證明：，并求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值.18．已知函數(shù)，，(1)若關(guān)于的不等式的解集為{或}，求實數(shù)，的值；(2)當（1）的情況下，，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍；在(3)當時，求關(guān)于的不等式的解集.19．已知橢圓的離心率為，是上的點.(1)求橢圓的方程；(2)過作兩條傾斜角互補的直線，分別交橢圓在軸上方部分于，兩點.（i）求面積的最大值；（ii）過延長線上的點作橢圓的兩條切線，，若與交于點，與交于點，求證：直線過定點.

參考答案1．C【詳解】全集且，則，共4個元素，所以真子集的個數(shù)為.故選：C2．A【詳解】當時，不等式，由不等式在區(qū)間上有解，得不等式在上有解.而，當且僅當時取等號，所以的最小值為，所以a的取值范圍是.故選：A3．B【詳解】由圖可知函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，中，，，不相等，所以C選項錯誤；中，，，不相等，所以D選項錯誤；對于，當時，，與圖象不符，故排除A.故選：B4．B【詳解】由，可得，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以.故選：B.5．D【詳解】，所以，不妨設(shè)，則，，所以，故，又，故與的夾角為.故選：D6．D【詳解】因為，所以，所以.故選：7．A【詳解】易知橢圓中，即可得，又圓的圓心為，半徑，易知橢圓右焦點，顯然在圓上，如下圖：

易知橢圓上一點到圓上任意一點的最小距離為，因此可將的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由橢圓定義可得；此時點在處，使得的最小值為6.故選：A8．D【詳解】根據(jù)正方體可建立如圖所示的空間直角坐標系，其中，因為點在正方形內(nèi)，且不在棱上，故設(shè)，對于C，因為，故，故，故，取的中點為，的中點為，則的軌跡為（不含兩點），故C正確；對于A，因為，故到平面的距離為1，而正方形的面積為定值，故四棱錐的體積為為定值，故A正確；對于B，又，故，故B正確；對于D，，設(shè)平面的法向量為，則，取，而，故.而，設(shè)平面的法向量為，則，取，故.因為，故，，故，令，整理得，故，而，故，而，故在無解，故D錯誤，故選：D.9．ABD【詳解】對于A，由得的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；對于B，由，令可得，得，故B正確；對于C，因為是奇函數(shù)，由，可知3是的一個周期，則其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C錯誤；對于D，，，，，在上至少有9個零點，故D正確．故選：ABD.10．ABD【詳解】由圖象知，，則，根據(jù)周期公式，可得.又因為函數(shù)的最大值為3，最小值為，所以當時，取得最小值，即，解得..A：根據(jù)余弦函數(shù)的對稱中心公式，令可得的對稱中心為，當時，對稱中心為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故A正確。B：因為是的兩個零點，令，則，所以或，解得，或，根據(jù)題意，取，，所以，當時，，故其相鄰零點的最小間距為，故B正確.C：當取最小值時，，不妨設(shè)，所以，則=所以的最大值為，故C錯誤.

D：令，則，所以或，解得，或，所以在上的10個零點依次為：，，，，.由在區(qū)間上至少有10個零點，則故的最小值為，故D正確；故選：ABD.11．ABD【詳解】由題可知，，所以.由，得，所以，所以.折起如圖2.對于選項A，由圖1知，菱形中，圖2中平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.所以選項A正確；對于選項B，由題可知，是等邊三角形，取的中點E，連接，則，且.因為平面，所以平面，又平面，所以.所以.因為，所以，所以.所以.所以.因為，所以點A到平面的距離為.所以直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為.故選項B正確.對于選項C，當二面角的大小為時，由選項A可知，.因為，所以.因為，所以點C到平面的距離為，所以中，點運動軌跡為一個點；點在三棱錐的側(cè)面上運動，且時，點運動軌跡分別為三棱錐的三個側(cè)面上的三段圓弧.中，，所以點運動軌跡長度為；中，.所以，所以，所以點運動軌跡長度大于；同理中，，所以，所以點運動軌跡長度大于；所以點運動軌跡長度大于；所以選項C錯誤.對于選項D，當二面角的余弦值為時，由選項A可知，.所以，所以，記棱的中點為F，則.記三棱錐的外接球球心為T，因為O為的中點，且平面，所以T在等腰三角形的中線上.設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，則，解得.所以三棱錐的外接球的表面積為.所以選項D正確.故選：ABD.12．【詳解】令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：13．【詳解】在正方體中，，且平面，平面，所以平面，平面.因為，且平面，所以平面平面，因為平面，平面ACD1，所以平面，所以點的軌跡是平面與正方體內(nèi)切球的交線，此交線為圓，記圓心為.如圖，以為原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以球心到平面的距離.如圖，因為正方體的內(nèi)切球半徑，所以圓的半徑.因為，所以，即，所以，所以的最小值為.故答案為：.14．/0.5【詳解】由題，，設(shè).則，又點P在雙曲線上，則.，又點M在橢圓上，則.注意到，則.即直線MB與直線NB關(guān)于x軸對稱，又橢圓為軸對稱圖形，則M，N兩點關(guān)于x軸對稱，故.設(shè)橢圓右焦點坐標為，其中，因直線MN過橢圓右焦點F，則，將其代入橢圓方程可得.則，又，則.則.故答案為：.15．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，則，從而，故.（2）由（1）可知，則.當，即時，在上單調(diào)遞增，則，解得；當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，解得（舍去）；當，即時，在上單調(diào)遞減，則，則.綜上，的取值集合是.16．(1)(2)【詳解】（1），由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1），所以，即，所以，故.17．(1)證明見解析；(2)證明見解析，；【詳解】（1）連接，平面，所以.在中，.同理，在中，有.又因為，所以，所以，，故，即.又因為，，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.因為，平面，則平面，又因為平面，所以平面，又因為平面平面，，平面平面，所以平面.（2）連接，因為平面，面，所以，由勾股定理得，同理可得，即，因為，所以，故為的交點，且由平行線性質(zhì)得，得到，故，過作直線的平行線，則兩兩垂直，如圖，以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，得到，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，，故，設(shè)平面與平面所成角為，則，故平面與平面所成角的余弦值為．18．(1)，；(2)；(3)答案見解析【詳解】（1），可化為，移項整理得，不等式的解集為或，或是方程的兩個跟，且.將代入方程，可得，解得.把代入方程，得到，因式分解為，即，故，.（2）由（1）知，，則，，，，當且僅當時，即時，等號成立，，恒成立，，，，，，故的取值范圍是.（3）不等式，即，因式分解為，，的兩根為，，①當，即時，不等式，不等式的解集為；②當，即時，不等式的解集為；③當，即時，不等式的解集為.綜上可知，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.19．(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）已知橢圓