第二課時(shí)解三角形的綜合問(wèn)題提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一以多個(gè)三角形為載體的解三角形問(wèn)題[例1](2024·江蘇南通質(zhì)量監(jiān)測(cè))在△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,AB=3,AC=2.(1)若AD是∠BAC的平分線,求BD∶DC;解:(1)法一因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上,AB=3,AC=2,所以在△ABD和△ACD中,由正弦定理,得因?yàn)锳D是∠BAC的平分線,所以sin∠BAD=sin∠DAC,sin∠ADB=sin(180°-∠ADC)=sin∠ADC,所以BD∶DC=3∶2.法二因?yàn)锳D平分∠BAC,所以sin∠BAD=sin∠CAD,所以BD∶DC=S△BAD∶S△CAD=(AD·AB·sin∠BAD)∶(AD·AC·sin∠CAD)=AB∶AC=3∶2.(2)若AD是邊BC上的中線,且AD=,求BC的長(zhǎng).解:(2)因?yàn)锳D是邊BC上的中線,所以設(shè)BD=CD=x,因?yàn)椤螧DA+∠ADC=π,(1)解三角形角平分線、中線問(wèn)題的求解思路①在△ABC中,若D是BC邊上的點(diǎn),則∠BDA+∠CDA=π?cos∠BDA+cos∠CDA=0.(2)多邊形背景解三角形問(wèn)題的求解思路①把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形,然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.②尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系,交叉使用公共條件,求出結(jié)果.解題時(shí),有時(shí)要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn),如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的性質(zhì),要把這些知識(shí)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合,才能順利解決問(wèn)題.[針對(duì)訓(xùn)練]在①△ABC面積S△ABC=2,②∠ADC=這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,求AC.如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=,∠BAC=∠DAC,

,CD=2AB=4,求AC.

考點(diǎn)二解三角形中的最值與范圍問(wèn)題[例2](2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知=(1)若C=,求B;所以cosAcosB=sinB+sinAsinB,所以cos(A+B)=sinB,(2)求的最小值.(1)求解三角形中的最值(范圍)問(wèn)題時(shí),常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式,建立a+b,ab,a2+b2之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系,然后利用函數(shù)或基本不等式求解.(2)解決三角形中的某個(gè)量的最值或范圍問(wèn)題,除了利用基本不等式外,再一個(gè)思路就是利用正弦定理、余弦定理,把該量轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù),利用函數(shù)思想求解,此時(shí)要特別注意題目隱含條件的應(yīng)用,如銳角三角形、鈍角三角形、三角形內(nèi)角和為π等.[針對(duì)訓(xùn)練](2024·山東青島模擬)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosB+b·cosA=2ccosC.(1)求C;解:(1)因?yàn)閍cosB+bcosA=2ccosC,所以由正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,即sin(A+B)=2sinCcosC,所以sinC=2sinCcosC,因?yàn)?<C<π,故sinC≠0,所以cosC=,所以C=.(2)若△ABC為銳角三角形,求的取值范圍.考點(diǎn)三解三角形中的證明問(wèn)題[例3]已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c2=2(a2-b2).(1)求證:sinC=4sinBcosA;(1)證明:由正弦定理可得sin2C=2(sin2A-sin2B)=2=cos2B-cos2A=cos(B+A+B-A)-cos[B+A-(B-A)]=2sin(A+B)sin(A-B),所以sin2C=2sinCsin(A-B).因?yàn)閟inC≠0,所以sinC=2sin(A-B),所以sin(A+B)=2sin(A-B),所以sinAcosB=3cosAsinB,所以sinAcosB+cosAsinB=4cosAsinB,所以sin(A+B)=4cosAsinB,即sinC=4sinBcosA.(2)若tan(A-B)=,求tanA.(2)解:由(1)中sinAcosB=3cosAsinB得tanA=3tanB,對(duì)于解三角形的證明問(wèn)題,要仔細(xì)觀察所給的條