第2節(jié)等差數(shù)列[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義:如果一個(gè)數(shù)列從

起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.用符號(hào)表示為

(n∈N*,d為常數(shù)).(2)等差中項(xiàng):數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是

,其中A叫做a,b的

.第2項(xiàng)差an+1-an=d等差中項(xiàng)2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式:an=

.(2)前n項(xiàng)和公式:Sn=

=.a1+(n-1)dna1+d(1)當(dāng)公差d≠0時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是關(guān)于n的一次函數(shù),且一次項(xiàng)系數(shù)為公差d.若公差d>0,則為遞增數(shù)列,若公差d<0,則為遞減數(shù)列.3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+

(n,m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列,則①2an=an-1+an+1(n∈N*,n>1).②2an=an-k+an+k(n,k∈N*,n>k).③k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則

.(n-m)dak+al=am+an(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}和{a2n+1}也是等差數(shù)列,公差為

.(4)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為

的等差數(shù)列.(5)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數(shù)列.2dmd(6)公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則{}也為等差數(shù)列,且公差為.1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).3.若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列.4.若兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則

5.關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)(2)若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,(1)若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式為n的二次函數(shù).(

)(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).(

)√×××2.已知等差數(shù)列{an}中,a2=5,a6=10,則數(shù)列{an}的公差為(

)A.-1 B.- C. D.1√解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.3.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a6=2且S5=30,則S8等于(

)A.31 B.32 C.33 D.34√4.已知數(shù)列{an}中,a1=1且(n∈N*),則a10=

.

02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算[例1]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1≠0,a2=3a1,則=

.

解析:由a1≠0,a2=3a1,可得d=2a1,所以S10=10a1+d=100a1,S5=5a1+d=25a1,所以=4.4等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知量和未知量是常用方法.[針對(duì)訓(xùn)練]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為(

)A.1 B.2 C.4 D.8√考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明[例2]若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.(1)求證:{}成等差數(shù)列;(1)證明:當(dāng)n≥2時(shí),由an+2SnSn-1=0,(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個(gè)常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2.(3)通項(xiàng)公式法:得出an=pn+q后,再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.[針對(duì)訓(xùn)練]已知數(shù)列{an},a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)角度一等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)[例3]已知{an}是等差數(shù)列,ak=10,a3k=20(k∈N*),則a9k=

.

50解析:ak,a3k,a5k,a7k,a9k構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)公差為m,則m=a3k-ak=10,a9k=ak+(5-1)m=50.[例4](1)一個(gè)正項(xiàng)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為3,前3n項(xiàng)的和為21,則前2n項(xiàng)的和為(

)A.18 B.12 C.10 D.6角度二等差數(shù)列和的性質(zhì)√解析:(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列,即2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),因?yàn)镾n=3,S3n=21,所以2(S2n-3)=3+21-S2n,解得S2n=10.故選C.A.1 B.-1 C.2 D.√(1)項(xiàng)的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq.因此,若出現(xiàn)am-n,am,am+n等項(xiàng)時(shí),可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件;若求am項(xiàng),可由am=(am-n+am+n)轉(zhuǎn)化為求am-n,am+n或am-n+an+m的值.(2)和的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,則①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).②S2n-1=(2n-1)an.③依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列.[針對(duì)訓(xùn)練](1)(角度一)(2023·全國(guó)甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5等于(

)A.25 B.22 C.20 D.15解析:(1)a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以a4=5,a8=9,d==1,于是a3=a4-d=5-1=4,所以S5=5a3=20.故選C.√(2)(角度二)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=-2020,

則S2023等于(

)A.2023 B.-2023C.4046 D.-4046√考點(diǎn)四等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值[例5]在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值.解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1=20,S10=S15,所以10×20+d=15×20+d,所以d=-.得a13=0.即當(dāng)n≤12時(shí),an>0,當(dāng)n≥14時(shí),an<0.所以當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn取得最大值,且最大值為S12=S13=12×20+=130.因?yàn)閚∈N*,所以當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值的常用方法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn=an2+bn(a≠0,n∈N*),通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)的最值.(2)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),進(jìn)而求Sn的最值.①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm(當(dāng)am+1=0時(shí),Sm+1也為最大值);②當(dāng)a1<0,d>0時(shí),滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm(當(dāng)am+1=0時(shí),Sm+1也為最小值).[針對(duì)訓(xùn)練]在等差數(shù)列{an}中,若<-1,且其前n項(xiàng)和Sn有最小值,則當(dāng)Sn>0時(shí),n