第5節(jié)空間向量及空間位置關(guān)系[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示,掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能判斷向量的共線和垂直.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.空間向量及其有關(guān)概念(1)空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量長度為

的向量0單位向量模為

的向量—相等向量方向

且模

的向量

.相反向量方向

且長度

的向量a的相反向量-a01相同相等a=b相反相等共線向量(平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相

的向量

.共面向量平行于同一個

的向量—平行或重合a∥b平面(2)空間向量中的有關(guān)結(jié)論①任意兩個空間向量a與b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使得a=λb;②如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.③空間向量基本定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空間的一個

.基底2.空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個非零空間向量的數(shù)量積①a·b=

;②a⊥b?

;③設(shè)a=(x,y,z),|a||b|cos<a,b>a·b=0(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算項目a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=

.向量差a-b=

.數(shù)量積a·b=

.共線a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)垂直a⊥b?

.夾角公式cos<a,b>=

.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=01.空間向量基本定理(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.(2)由于0與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,故0不能作為基向量.(3)基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示.2.證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點(diǎn)共線:3.證明空間四點(diǎn)共面的方法對空間四點(diǎn)P,M,A,B除空間向量基本定理外,也可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面:1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)對于非零向量b,若a·b=b·c,則a=c.(

)(2)對空間任意兩個向量a,b,a∥b?存在λ∈R,使a=λb.(

)(3)若{a,b,c}是空間的一個基底,則a,b,c中至多有一個零向量.(

)(4)在空間直角坐標(biāo)系中,在yOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0,b,c).(

)××√×√√2.(選擇性必修第一冊P12練習(xí)T1改編)若{a,b,c}為空間的一個基底,則下列各項中能構(gòu)成空間的基底的一組向量是(

)A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}解析:對于A,因為(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能構(gòu)成基底,排除A;對于B,因為(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能構(gòu)成基底,排除B;對于D,a+2b=(a+b)-(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能構(gòu)成基底,排除D;對于C,若c,a+b,a-b共面,則c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),則a,b,c共面,與{a,b,c}為空間的一個基底相矛盾,故c,a+b,a-b可以構(gòu)成空間的一個基底.故選C.3.下列各組向量中,不是平行向量的是(

)A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)解析:對于A,有b=-2a,所以a與b是平行向量;對于B,有d=-3c,所以c與d是平行向量;對于C,f是零向量,與e是平行向量;對于D,不存在實數(shù)λ使g=λh,所以g與h不是平行向量.故選D.√02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實四翼考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算√√√用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.[針對訓(xùn)練](1)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,則實數(shù)m的值為(

)√√考點(diǎn)二共線定理、共面定理的應(yīng)用(2)如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在B1B和D1D上,且|BE|=|BB1|,|DF|=|DD1|.求證:A,E,C1,F四點(diǎn)共面.(1)利用共線向量定理可以判斷證明直線的平行與三點(diǎn)共線問題.(2)利用共面向量定理可以判定空間四點(diǎn)是否共面以及證明線面平行問題.(1)已知空間四個點(diǎn)A(-3,x,3),B(-2,-1,4),C(0,3,0),D(1,1,1)在同一個平面內(nèi),則實數(shù)x等于(

)A.1 B.-2 C.0 D.-1[針對訓(xùn)練]√(2)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,則實數(shù)λ等于

.(3)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三點(diǎn)共線,則m+n=

.

-3[例3](1)(2024·山東聊城質(zhì)檢)設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,則|a+b|等于(

)考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用√(2)(2023·河北滄州質(zhì)檢)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,則a與c的夾角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°√因為0°≤α≤180°,所以α=60°.因為a+b=-a,即a+b與a的方向相反,所以a與c的夾角為120°.故選C.(3)(2024·湖北襄陽質(zhì)檢)已知空間向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),則向量b在向量a上的投影向量是

.(2,0,2)(1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系,也可以利用垂直關(guān)系,通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置.(2)利用夾角公式,可以求空間角.(3)可以通過|a|=,將向量